文档内容
7.3 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
1.经历平行线的判定定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式和方法，发展几何推理能力。
2.能根据“同位角相等，两直线平行”推理并证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线
平行”。
教学重点：平行线判定三种方法的推理过程和综合法证明思路。
教学难点：在问题情境中灵活使用几何语言转化已知与结论、并选用适当的辅助线或角的等量代换等推理
手段完成证明。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P190-P191页的内容，思考：
【学法指导】
创设情景：
1.章节导读
2.情景引入
①小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解：对，因为同位角相等，两直线平行 .
②两条直线在什么情况下互相平行呢？
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.→平行线的定义
同位角相等，两直线平行.→九条基本事实之一
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
●探究一：内错角相等，两直线平行
◆1.基本事实 ：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
应用格式：
∵∠1=∠2 (已知)，
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行).
◆2.命题 ：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：∵∠1＝∠2 (已知)，
∠1＝∠3 (对顶角相等)．
∴∠3＝∠2 (等量代换)．
∴a∥b (同位角相等，两直线平行)．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司◆3.定理： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成： 内错角相等，两直线平行.
几何语言：
∵∠1＝ ∠ 2
∴a∥b
●探究二：同旁内角互补，两直线平行
◆1.议一议
定理 ： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
几何语言：
∵∠1+∠2=180°
∴a∥b
◆2.知识归纳
已给的基本事实、定义和已经证明的定理
以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
◆3.思考交流
（1）证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符
号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
（2）我们可以用如图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗?
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解答】解：同位角相等， 内错角相等， 同旁内角互补，
两直线平行。 两直线平行。 两直线平行。
（3）在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明，与同伴交流各自的折纸方法与证明过程
【解答】解：如图所示，将不规则四边形纸片OMPN折叠，使O落在O′处，折痕分别交MO，NO于点
A，C，再进行折叠，分别使AM与直线AO′，CN与直线CO′重合，折痕分别交MP于点B，交PN于点
D，即得到AB∥ CD.
【证明】：由折叠可以得到∠1=∠2，∠3=∠4.
∵ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∴ 2(∠2+∠3)=180°，即∠BAC=∠2+∠3=90°.
同理可得∠ACD=90°.
∵ ∠BAC+∠ACD=90°+90°=180°.
∴ AB∥ CD.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨平行线三种判定方法；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )
A.∠1=∠2
B.∠2=∠4
C.∠3=∠4
D.∠1+∠4=180°
解：D．
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( )
A.75°
B.95°
C.105°
D.115°
解：C．
3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：
①∠1=∠2； ②∠3=∠6；③∠2=∠8； ④∠5+∠8=180°，其中能判定AB∥CD的是( )
A.①③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解：B.
4.如图，已知直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别交于点E、F，且有∠1=70°，则∠2=_____.
解：110∘．
5. 如图，已知∠1=70°，如果CD//BE，那么∠B的度数为_____.
解：110∘.
5.如图:
（1）从∠1 = ∠4，可以推出_____∥_____，理由是_________________________.
（2）从∠ABC +∠_____= 180°，可以推出 AB∥CD，理由是_________________________.
（3）从∠_____=∠ 2 ，可以推出 AD∥BC，理由是_________________________.
（4）从∠5 =∠_____，可以推出 AB∥CD，理由是_________________________.
解：(1）AB，CD;内错角相等，两直线平行
(2)BCD,同旁内角互补，两直线平行
(3)3,内错角相等，两直线平行
(4)ABC,同位角相等，两直线平行
7.根据图形完成填空：
① ∵∠1 =_____（已知），
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ AB∥CE ( ).
② ∵∠1 +_____= 180°（已知），
∴ CD∥BF ( ).
③ ∵∠1 +∠5 = 180°（已知），
∴ _____∥_____ ( ).
④ ∵∠4 +_____= 180°（已知），
∴ AB∥CE ( ).
解: ①∠2,内错角相等,两直线平行
②∠3,同旁内角互补,两直线平行
③CE,AB,同旁内角互补,两直线平行
④∠3,同旁内角互补,两直线平行
8.如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF=DE. 求证：CF∥ AB.
证明：∵ 点E为边AC的中点，
∴ AE=EC.
在△AED和△CEF中，
∵ ED=EF，∠AED=∠CEF，AE=CE.
∴ △AED≌△CEF(SAS)，
∴ ∠DAE=∠FCE
9.如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别是B，D，∠FDC＝∠EBA.
(1)判断CD与AB的位置关系；(不需要证明)
(2)求证：DF∥BE.
解:(1)CD∥AB.
（2）证明：∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴∠CDM＝∠ABM＝90°，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵∠FDC＝∠EBA，
∴∠CDM－∠FDC＝∠ABM－∠EBA，
即∠FDM＝∠EBM，∴DF∥BE(同位角相等，两直线平行)．
10.如图，已知∠MCA= ∠ A， ∠ DEC= ∠ B，那么DE∥MN吗？为什么？
解:DE∥MN.
∵ ∠MCA= ∠ A（已知）,
∴ AB∥MN（内错角相等，两直线平行）.
又 ∵∠ DEC= ∠ B（已知）,
∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）.
∴ DE∥MN（如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行）
题型一：同位角相等，两直线平行
1．如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（ ）
A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠B=∠3，
∴AB∥EF，
故A不符合题意；
∵∠1=∠4，
∴AB∥EF，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故B不符合题意；
∵∠1=∠B，
∴DF∥BC，
故C符合题意；
∵∠B+∠2=180°，
∴AB∥EF，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
2．如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝ 时，a∥b．
【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可．
【解答】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下：
如图所示：
∵∠1＝50°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
当∠2＝40°时，∠2＝∠3，
∴a∥b．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．
3．如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．
【分析】根据对顶角相等得出∠1＝∠AGH，进而根据∠2＝∠AGH，即可得证．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解答】解：∵∠1＝∠AGH，∠1＝∠2＝70°，
∴∠2＝∠AGH，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
4．已知：如图，CF平分∠ACM，∠1＝72°，∠2＝36°，判断CM与DN是否平行，并说明理由．
【分析】首先根据角平分线的性质和已知条件可算出∠BCM的度数，进而得到∠2＝∠BCM，根据同位
角相等，两直线平行可得CM∥DN．
【解答】解：CM∥DN，理由为：
∵CF平分∠ACM，
∴∠ACM＝2∠1，
∵∠1＝72°，
∴∠ACM＝2∠1＝144°，
∴∠BCM＝180°﹣144°＝36°，
∵∠2＝36°，
∴∠2＝∠BCM，
∴CM∥DN．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同旁内角互补，两直线平行．
题型二：内错角相等，两直线平行
5．（2024•恩施市模拟）如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】根据平行线的判定定理即可直接判断．
【解答】解：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题考查了判定两直线平行的方法，正确理解同位角、内错角和同旁内角的定义是关键．
6．（2024•武侯区校级开学）如图，要得到BE∥CF，则需要条件（ ）
A．∠ABE＝∠DCF B．∠ABE＝∠BCF C．∠CBE＝∠BCF D．∠CBE＝∠DCF
【分析】根据内错角相等两直线平行可得：∠CBE＝∠BCF时BE∥CF．
【解答】解：∵∠CBE＝∠BCF，
∴BE∥CF，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等两直线平行．
7．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．
1 1
【分析】先利用角平分线定义得到∠3= ∠ADC，∠2= ∠ABC，而∠ABC＝∠ADC，则∠3＝∠2，加上
2 2
∠1＝∠2，则∠1＝∠3，于是可根据平行线的判定得到DC∥AB．
【解答】证明：∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
1 1
∴∠3= ∠ADC，∠2= ∠ABC，
2 2
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴∠1＝∠3，
∴DC∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互
补，两直线平行．
8．已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC＝∠A，
求证：BE∥CD．
【分析】根据垂直的定义得到∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，等量代换可得∠EBC＝∠BCD，再根据平行
线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵BC⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠EBC＝∠A，
∴∠EBC＝∠BCD，
∴BE‖CD．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
题型三：同旁内角互补，两直线平行
9．（2024春•唐县期末）如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD
C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ADC＝180°
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行
判断即可．
【解答】解：根据∠1＝∠2，可得AD∥BC；
根据∠BAD＝∠BCD，不能判断AB∥CD；
根据∠3＝∠4，可得AD∥BC；
根据∠BAD+∠ADC＝180°，可得AB∥CD．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线
平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．如图，已知∠B＝130°，∠D＝65°，当∠E＝ 度时，可以得到AB∥CD．
【分析】延长BE交DC于F，根据三角形外角的性质得到∠DFE＝50°，根据平行线的判定定理即可得
到结论．
【解答】解：当∠E＝115度时，可以得到AB∥CD．
理由：延长BE交DC于F，
∵∠BED＝115°，∠D＝65°，
∴∠DFE＝50°，
∵∠B＝130°，
∴∠B+∠DFE＝180°，
∴AB∥CD．
故答案为：115．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
11．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求证：BC∥GD．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】由已知等式等量代换得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°（已知），
∴∠BCD+∠CDG＝180°（等量代换），
∴BC∥GD（同旁内角互补，两直线平行）．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
12．已知：如图，E为AC上一点，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求证：AB∥CD．
【分析】由BE⊥DE，得到∠1+∠2＝90°，于是得到∠1+∠B+∠2+∠D＝180°，根据三角形的内角和得
到∠A+∠C＝360°﹣∠1﹣∠B﹣∠2﹣∠D＝180°，于是得到结论．
【解答】证明：∵BE⊥DE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝∠B，∠2＝∠D，
∴∠1+∠B+∠2+∠D＝180°，
∵∠A+∠1+∠B＝∠C+∠2+∠D＝180°，
∴∠A+∠C＝360°﹣∠1﹣∠B﹣∠2﹣∠D＝180°，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定，垂线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的判定定理是解题
的关键．
题型四：通过阅读推理过程填空
13．（2024春•平邑县期末）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，
∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴∠CHG＝90°（ ）
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）
∴∠4＝60°（ ）
又∵∠1＝60°（ ）
∴∠1＝∠4（ ）
∴AB∥CD（ ）
【分析】要证AB∥CD，只需证∠1＝∠4，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4＝60°，故
本题得证．
【解答】证明：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义），
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°，
∴∠4＝60°（对顶角相等），
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
14．如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，试说明：BF∥AC．
因为BE平分∠DBF（ ），
所以 ＝ （ ），
又因为∠1＝∠ACB（ ），
所以∠2＝∠ACB（ ）．
所以BF∥AC（ ）．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，结合已知，通过等量代换得到∠2＝∠ACB，即可证明．
【解答】解：因为BE平分∠DBF（已知），
所以∠1＝∠2（角平分线的定义），
又因为∠1＝∠ACB（已知），
所以∠2＝∠ACB（等量代换）．
所以BF∥AC（同位角相等，两直线平行）．
【点评】此题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
15．请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据．
如图，点 M 在直线 AB 上，MP⊥直线 CD，垂足为 P，MP 平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求证：
AB∥CD．
证明：∵MP平分∠NMQ，
∴∠NMP＝∠PMQ（ ）
∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，
∴∠AMN+ ＝ +∠PMQ．
∵∠AMB＝180°，
∴∠AMP＝90°，
∵MP⊥直线CD，
∴∠MPD＝90°（ ）．
∴AB∥CD（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】先根据角平分线的定义得出∠NMP＝∠PMQ，再由∠AMN＝∠BMQ得出∠AMN+∠NMP＝
∠BMQ+∠PMQ，根据补角的定义得出∠AMP＝90°，由此可得出结论．
【解答】证明：∵MP平分∠NMQ，
∴∠NMP＝∠PMQ（角平分线的定义）．
∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，
∴∠AMN+∠NMP＝∠BMQ+∠PMQ．
∵∠AMB＝180°，
∴∠AMP＝90°，
∵MP⊥直线CD，
∴∠MPD＝90°（垂直的定义），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；∠NMP，∠BMQ；垂直的定义；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
16．完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝ （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【分析】由角平分线的定义可得出得出∠BDC＝2∠1，∠ABD＝2∠2，结合∠1+∠2＝90°可得出
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∠BDC+∠ABD＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”即可证出AB∥CD．
【解答】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的定义），
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠2（角的平分线的定义），
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 等式的性质），
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换），
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：角平分线的定义；2∠2；等式的性质；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定以及角平分线的定义，牢记平行线的判定定理是解题的关键．
题型五：平行线判定方法的综合运用
17．已知：如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2＝90°．求证：
AB∥CD．
【分析】先根据垂直的定义可得∠APQ+∠2＝90°，再结合∠1+∠2＝90°可得∠APQ＝∠1，然后根据
“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．
【解答】证明：∵PM⊥EF（已知），
∴∠APQ+∠2＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠APQ＝∠1（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定、垂直的定义、同角的余角相等等知识点，掌握“内错角相等，
两直线平行”是解答本题的关键．\
18．如图，∠A＝59°，∠D＝121°，∠1＝3∠2，∠2＝24°，点P是BC上的一点．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求∠DFE的度数；
（2）若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行．
【分析】（1）根据同位角、内错角以及同旁内角的定义，即可得出结论；
（2）根据平行线 的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠A＝59°，∠D＝121°，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1，
∵∠1＝3∠2，∠2＝24°，
∴∠DFE＝72°；
（2）CE∥PF，
理由：∵∠DFE＝72°，
∴∠BFC＝72°，
∵∠BFP＝48°，
∴∠PFC＝72°﹣48°＝24°，
∵∠2＝24°，
∴∠PFC＝∠2，
∴CE∥PF．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、同位角、内错角以及同旁内角，解题的关键是：（1）能够
找出一个角的同位角、内错角以及同旁内角；（2）得出AB∥CD；（3）熟悉各平行线的判定定理．本
题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键．
19．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD．
（1）若∠D比∠B大30°，求∠B的度数；
（2）作∠D的平分线DE交BC于E，∠B的平分线BF交AD于F，求证：DE∥BF．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）根据四边形内角和为360°，结合AB⊥AD，BC⊥CD．得到∠B+∠D＝180°，又因为∠D
比∠B大30°，得到方程组，解方程组即可得到结果；
（2）由角平分线得到∠CDE和∠FBE的度数，通过同位角相等，得到两直线平行．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D比∠B大30°，
∴∠D﹣∠B＝30°，
{∠B+∠D=180°
，
∠D−∠B=30°
解得：∠B＝75°，∠D＝105°；
（2）证明：
∵∠D的平分线DE，
1 1
∴∠CDE= ∠CDA= ×105°=52.5°，
2 2
∴∠DEC＝90°﹣∠CDE＝37.5°，
∵∠B的平分线BF，
1 1
∴∠FBE= ∠ABC= ×75°=37.5°，
2 2
∴∠DEC＝∠FBE，
∴DE∥BF．
【点评】本题考查了求角度、两直线平行的判定，涉及到角平分线的性质应用，熟练掌握四边形内角和
以及两直线平行的判定定理是解题的关键．
20．如图1，线段BA⊥AC于点A，BD平分∠ABC，M为射线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME
的平分线交直线AB于点F．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）如图1，当M为线段AC上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由；
（2）如图2，M为线段AC延长线上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由．
【分析】（1）利用平行线的判定即可证明；
（2）利用各角之间的关系，证明BD所在的直线与MF的夹角为90°即可．
【解答】解：（1）BD∥MF，
理由：∵BA⊥AC，
∴∠A＝90°，
∵ME⊥BC，
∴∠A＝∠CEM，
∴∠CME＝∠ABC，
∴∠ABC+∠AME＝180°，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠AMF+∠ABD＝90°，
∴∠AFM＝∠ABD，
∴BD∥MF；
（2）BD⊥MF，
理由：延长BD，交MF于点G，
∵在Rt△ABC和Rt△CME中，∠BAC＝∠CEM，∠BCA＝∠MCE，
∴∠ABC＝∠CME，
又∵BD、MF分别为∠ABC和∠CME的平分线，
∴∠FBG＝∠AMF，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又∵∠AMF+∠AFM＝90°，
∴∠FBG+∠AFM＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴BD⊥MF．
【点评】本题考查了平行线的判定以及垂线的判定，熟练掌握平行线的判定以及垂线的判定是解题的关
键．
▲1．平行线的判定方法
判定方法1： 同位角相等，那么两直线平行 .
判定方法2： 同位角相等，那么两直线平行 .
判定方法3： 同旁内角互补，那么两直线平行 .
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