文档内容
7.3 平行线的证明
题型一 平行线的性质
1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线 ，直线 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在
于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出 ，用补角、余角、
对顶角推算出 的度数．
【详解】如下图
1 / 53
学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∴
∵直线
∴
∴
故选：B．
2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，太阳光线 与 是平行的，同一时刻垂直于地面的两根
木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断
的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据平行线的性质可得 ，根据题意可得 ， ，然后利用
判定 ．
【详解】解： ，
，
两根木杆的影子一样长，
，
又 ，
2 / 53
学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
，
，
故选：B．
3．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线 ，OG是 的平分线， ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解
题的关键．
结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得 的度数，再由角平分线的定义即可算出 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ．
故选：C．
4．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知 且 ， ，则判定
的依据是（ ）
3 / 53
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定方法．由平行线的性质，得到 ，再证明 ，利用
证明 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
故选：C．
5．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形 中， ， 平分 ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出
，根据角平分线的定义可得 ，再利用两直线平行，同旁内角互补求出 的度
数．
【详解】解： ，
，
4 / 53
学科网（北京）股份有限公司，
，
平分 ，
，
，
，
．
故选：C．
6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知 ， ，则 度，
度．
【答案】 120 60
【分析】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平
行线的性质得到 的度数，然后根据邻补角可进行求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为120；60．
7．（14-15七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图， 平分 ， ， ，则
°， °．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平
行，同位角相等”是解题的关键．先利用邻补角求出 的度数，再由角平分线的定义求出 和
5 / 53
学科网（北京）股份有限公司的度数，最后利用平行线的性质即可求解．
【详解】 ，
，
平分 ，
，
，
， ，
故答案为： ； ．
8．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形 中，点 是 上一点，过点 作 ，
，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题
的关键．
根据两直线平行，同位角相等，得 ， ，结合 和三角形内角和定理
即可求得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，四边形 中， ，点E是 上一点，且
， ，若 ， ，则 的长度为 ．
6 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】13
【分析】本题主要考查了平行线的性质和勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质得出 ，据此得出三角形 是直角三角形，结合 和 的长进行
计算即可．
【详解】解： ，
、
在 中，
故答案为：13．
10．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图， 相交于点 ， ．
若 ，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明 得到 ，再由 ，
得到 ，即可推出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
7 / 53
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
11．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，点A，C，F，B在同一条直线上， ， ，
．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．由 得 ，结合 ， 即可
证明 ．
【详解】证明： ，
（两直线平行，同位角相等），
在 和 中，
．
12．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，
．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，由 可得 ，由
可得 ，结合 可证 ，即可证明 ．
8 / 53
学科网（北京）股份有限公司【详解】证明： ，
，
，
，即 ，
在 和 中，
，
．
13．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图， 中， ， ，求证： 平分 ．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和定义是解题
的关键，利用等边对等角得 ，利用平行线的性质得 ， ，则
，即可求证．
【详解】证明： 在 中， ，
，
，
， ，
，
平分 ．
14．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）已知：如图， ， ， ．求证：
．
9 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方
法．
先由线段和得到 ，再由平行线的性质得到 ，再结合已知条件即可证明
．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
15．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)请判断 和 的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三
角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明 、 ，再运用 即可证明结论；
10 / 53
学科网（北京）股份有限公司（2）由全等三角形的性质可得 ， ，再根据内错角相等、两直线平行即可解答．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，即 ，
在 和 中，
，
．
（2）解： ， ，理由如下：
，
，
∴ ．
16．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在 中， ，延长 至点 使得
．
(1)请在图中连接 ，求证： ；
(2) 分别是 上的点，且 ，延长 至点 使得 ，求证： 三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
（1）根据“ ”证明 即可；
（2）证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，从而
11 / 53
学科网（北京）股份有限公司得出 ，说明射线 和 重合，即可证明结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴射线 和 重合，
∴ 三点共线．
12 / 53
学科网（北京）股份有限公司题型二 平行线的判定
1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，直线 被直线 所截，下列说法正确的是（ ）
A． 和 是内错角 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角的定义等知识，根据内错角的定义可判断选项A，根据平
行线的判定定理可判断选项B，C，D．
【详解】解： ． 和 不是内错角，故该选项不符合题意；
．若 ，则 ，推不出 ，故该选项不符合题意；
．若 ，则 ，推不出 ，故该选项不符合题意；
．若 ，则 ，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条 与 被木条 所截 若使木条 与 平
行，木条 过点 逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在 与 之间）
【答案】 /30度
【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关
系．
先确定 时 应满足的度数，再计算当前 与该度数的差值，得到木条 逆时针旋转的度数．
【详解】解：要使木条 与 平行，需满足同位角（或内错角）相等．
已知 ，当 时， 对应的同位角应为 ．
当前 ，因此木条 逆时针旋转的度数为 ．
13 / 53
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
3．（22-23七年级下·陕西铜川·期末）如图，若要使 ，则可以添加的一个条件是 ．
（只填一个）
【答案】∠B=∠CAF（答案不唯一）
【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线判定是解题关键.
【详解】解：当∠B=∠CAF，则 （同位角相等，两直线平行）；
当 ，则 （同旁内角互补，两直线平行）；
当 ，则 （同位角相等，两直线平行）；
当 ，则 （内错角相等，两直线平行）；
当 ，则 （同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：∠B=∠CAF或 或 或 或 （答案不
唯一）.
4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）若 ，则 ，理由是 ．（2）若
，则 ，理由是 ．
【答案】 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定．
（1）根据两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
（2）根据两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】解：（1）若 ，则 ，理由是内错角相等，两直线平行．
（2）若 ，则 ，理由是同旁内角互补，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）因为 ，所以 ；（2）因为 ，
14 / 53
学科网（北京）股份有限公司所以 ；（3）因为 ，所以 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的判定．
（1）根据内错角相等，两直线平行即可解答；
（2）根据同位角相等，两直线平行即可解答；
（3）根据同旁内角互补，两直线平行即可解答；
【详解】解：（1）因为 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ；
（3）因为 ，所以 ；
故答案为： ； ； ．
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线 ， 被直线 所截， 与 互补．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答．
根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可．
【详解】证明：如图，
与 互补，
．
，
15 / 53
学科网（北京）股份有限公司．
．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ，
．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，根据 ，得出 ，利用
全等三角形的判定得 ，进而得出 ，根据“同位角相等，两直线平行”即
可得出．
【详解】证明： ，
∴ ，即 ，
又 ， ，
，
则 ，
．
8．（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图，已知：在 中， ， ，点 、
分别为边 、 上的点，且 ．求证： ．
证明：∵ ，
∴ （______），
∴ ．
又∵ ，
∴ （______），
16 / 53
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
______．
∴
∴ （______）．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的判定定理，根据题意得出 是解答此题
的关键．先根据 得出 ，再根据 ，进而可得出
，由 ，可知 ，进而可得出结论．
【详解】证明： ，
（垂∵ 直的定义），
∴ ，
∴又 ，
∵ ，（同角的余角相等）
∴ ，
∵ ，
∴
（同位角相等，两直线平行）．
∴
9．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）如图，已知： ， ．
求证： ．
证明：∵ （已知），
_________（__________），
∴∴ （________），
∵ （已知），
_________ _________ （________），
∴∴ （_______）．
【答案】 ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； ； ；等量代换；同旁内角互补，
两直线平行
【分析】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；
17 / 53
学科网（北京）股份有限公司根据平行线的性质与判定直接求解即可得到证明．
【详解】证明：∵ （已知），
∴ （内错角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∵ （已知），
∴ （等量代换），
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
10．（25-26八年级上·北京·期中）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，
，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关
键．根据“ ”可得 ，即得 ，由邻补角的定义得到 ，然
后根据内错角相等，两直线平行即可得到结论．
【详解】证明：在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
11．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，若 ，求证： ．
18 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，先证明 ，根据
证明 ，得 ，从而可判断 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图， ， ， ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形的全等的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定与
性质．由 可得 ，证明 得到 ，进而得到 ，
即可得证．
19 / 53
学科网（北京）股份有限公司【详解】证明： ，即 ，
，
又 ， ，
，
，
，即 ，
．
13．（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图． 平分 ， 平分 ，
且 ．判断 与 是否平行，并说明理由．
【答案】 ；理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平
行．根据题中思路解答即可．
【详解】解： ．理由如下：
因为 平分 （已知），
所以 （角平分线的定义）．
因为 平分 （已知），
所以 （角的平分线的定义），
所以 （等式的性质）．
因为 （已知），
所以 （等量代换），
所以 （同旁内角互补两直线平行）．
题型三 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
1．（13-14七年级下·山东泰安·月考）在同一平面内，若 ， ，则 与 的关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对
【答案】D
20 / 53
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的
定义、平行线的判定即可得．
【详解】解：在同一平面内，若 ，则 ；
在同一平面内，若 与 相交但不垂直，则 与 相交但不垂直；
在同一平面内，若 ，则 ；
综上，在同一平面内， 与 的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直，
故选：D．
2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图， 与 交于点O， 和 关于直线 对称，点
A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；因此此题可根据轴对称的性
质进行排除选项即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
根据轴对称的性质可知： ， ， ，
∴ ，
∴不一定成立的是 ；
故选A．
3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）将一副三角尺如图放置， ， ，
，当 所在的直线与AC垂直时，∠CBE的度数是（ ）
21 / 53
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先根据平行线的判定得出 ，再根据平行线的性质，即
可求解．
【详解】解：∵ 所在的直线与AC垂直， ，
∴ ，
∴ ，
故 ．
故选：C．
4．（24-25七年级上·全国·课后作业）若 ，则A，B，C三点共线，理由是
．
【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】本题考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可解答．
【详解】解：理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原因如下：
，
这是过同一个点作同一条直线的垂线．
、 一定重合．
则 、 、 三点共线．
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ．
5．（20-21七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图， ，那么 三点在同一条直线上．根据
．
22 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】本题主要考查了垂直的性质，熟练掌握“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
直”是解题的关键．根据垂直的性质，判断三点共线的依据．
【详解】解：因为 ， ，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以 ， ， 三点在同一条直线上．
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
6．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图， ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据 ，得出 ，根据 ，
，可得 ，进而得出 ，根据两直线平行同旁内角互补，即可得证．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型一 平行公理的应用
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数
分别是m条和n条，则 的值为（ ）
23 / 53
学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．3 D．无数条
【答案】B
【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与
已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可．
【详解】解：由题意， ，
∴ ；
故选B．
2．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键．
根据平行线的定义进行逐一判定即可．
【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线
重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意；
B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意；
故选A．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试） 为直线 上的一点， 为 外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过点 可画垂直于 的直线 B．过点 可画 的垂线
C．连接 ，则 D．过点 可画直线与 平行
【答案】C
【分析】此题考查了平行线和垂线的性质，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此进行判断即可．
【详解】解：由在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知：A、B正确，过直线外一
24 / 53
学科网（北京）股份有限公司点有且只有一条直线与已知直线平行，可知D正确；
连接 ，则 不一定与 垂直，故C错误．
故选：C
题型二 平行公理推论的应用
1．（2025·陕西·模拟预测）如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作
，则可证 ，则 ， ，则题目可
解．
【详解】解：作 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ．
故选：A．
2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线 ，等腰直角三角形 的直角顶点 在直
线 上，点 在直线 上， ，则 的度数为（ ）
25 / 53
学科网（北京）股份有限公司A． B．20° C． D．40°
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识，过点 作 ，则
，得到 ， ，由等腰直角三角形的性质得到 ，即可求解，
掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 ，则 ，
∴ ， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
3．（17-18七年级下·湖北·期中）如图， ， ， ， ，
则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．设 ，
，则 ， ， ， ，过点 作 ，过点 作
26 / 53
学科网（北京）股份有限公司，根据平行线的性质可得 ， ，再根据平行公理推论可得
， ，根据平行线的性质可得 ， ，然后根据角的
和差可得 ，由此即可得．
【详解】解：设 ， ，则 ， ，
∴ ， ，
如图，过点 作 ，过点 作 ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）a，b，c是直线，且 ，则 ，理由是
【答案】平行于同一直线的两条直线平行
【分析】本题主要考查了平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互
相平行成为解题的关键．
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此即可解答．
【详解】解：∵ （已知），
∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：平行于同一直线的两条直线平行．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知直线 ，若 ，则 的度数是 ．
27 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】 /50度
【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得 ，根据两直线
平行，同位角相等，可得 ．
【详解】解： ，
，
，
，
故答案为： ．
6．（16-17七年级下·河北·期末）如图，张萌的手中有一张正方形纸片 （ ），点 ， 分
别在 和 上，且 ，此时张萌判断出 ，则张萌判断出该结论的理由是 ．
【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行
【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．
根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系．
【详解】解：∵ ， ，
∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行），
故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）若两根平行木条与钉子E的位置如图所示，求证：
．
【答案】证明见解析
28 / 53
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点 作
，先根据平行线的性质可得 ，再根据平行公理的推论可得 ，然后根
据平行线的性质可得 ，由此即可得证．
【详解】证明：如图，过点 作 ．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
8．（9-10七年级下·云南曲靖·期末）如图， ， ．试说明 与 之间的关系，并说明
理由．
【答案】互余，理由见详解
【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质、垂直的定义等知识，根据题意正确添加辅助线是解
题关键．作 ,即可证明 ，从而得到 ，根据 即
可证明 与 互余．
【详解】解： 与 互余，理由如下：
如图，作 ,
∵ ，
29 / 53
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 互余．
9．（11-12七年级下·天津·阶段练习）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使 ，
，试求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、垂直，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点 作
，先根据平行线的性质可得 ，再根据垂直的定义可得 ，则可得
，然后根据平行公理推论可得 ，最后根据平行线的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
10．（20-21七年级下·河北保定·期末）（1）发现：
平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添
加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决．
30 / 53
学科网（北京）股份有限公司请你根据上述思想解决下列问题：
如图 ， ， 点在 内部时，则 （用“ ”、“ ”或“ ”填空）
（2）探究：
如果（ ）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由．
（3）拓展：
如图 ，已知 ，若点 在直线 外部时， ， ， 满足怎样的数量关系？说明
理由．
【答案】（ ） ；（ ） 点在 内部时， ，则 ；是真命题；证明见解
析；（ ） ，理由见解析．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题真假，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关
键．
（ ）过 作 ，则有 ，所以 ， ，然后利用角度和差即可
求证；
（ ）过 作 ，证明 即可；
（ ）设 交 于 ，过 作 ，则有 ，所以 ，
， ， ，然后利用角度和差即可求解．
【详解】解：（ ）过 作 ，如图：
31 / 53
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（ ）（ ）中命题的题设和结论互换后的命题是： 点在 内部时， ，则
；
互换后的命题是真命题，理由如下：
过 作 ，如图：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ ） ，理由如下：
设 交 于 ，过 作 ，如图：
32 / 53
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
11．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 ，点 为直线 、 所确定的平面内一
点．
(1)如图 ， ， ．求 的度数
(2)如图 ，直接写出 ， 和 的数量关系（不用写具体证明过程）
(3)如图 ，点 在直线 上，若 ， ， ，过点 作 ，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，
（1）如图，过点 作 ，根据平行线的性质及平行公理的推论得 ， ，
继而得到 ，再由 可得结论；
（2）如图，过点 作 ，根据平行线的性质及平行公理的推论得 ， ，继而得
33 / 53
学科网（北京）股份有限公司到 ，可得结论；
（3）如图，设 交 于点 ，由（2）知得 ，根据平行线的性质得
， ， ，再代入 计算即
可．
解题的关键是掌握：平行线的性质，平行公理的推论（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行）．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（2）如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 和 的数量关系为 ；
（3）如图，设 交 于点 ，
34 / 53
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， ，
由（2）知： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的度数为 ．
题型三 平行线的性质与判定综合
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图， ， ， ．求证：
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质
是解题关键．先证出 ，根据平行线的性质可得 ，再证出 ，根据全等
三角形的性质可得 ，最后根据平行线的判定即可得证．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
35 / 53
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，点 、 在线段 上， ， ， ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证明 ，得到
，即可得证．
【详解】证明：∵ ，
∴ ．
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
∴ ，
∴ ．
3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，四边形 中，过点 作 于点 ， ，
连接 、 交于点 ，若点 是 的中点．
36 / 53
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，
解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定．
（1）先证明 ，根据平行线的性质得出 ， ，再根据“ ”证明
；
（2）根据三角形全等的性质得出 ， ，根据 ，求出 ，根据
勾股定理求出 ，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
37 / 53
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光 和 分别沿水平方向发
射．一束斜向光线 照射到 上，经过折射后与 相交于点F，并继续折射至 上的点D处，从点
D引出一条新的折射光线 ，且 ．
(1)求证： ．
(2)若命题“已知 ______，则 ”是真命题，请填空，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直
线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
（1）由对顶角定义得到 ，结合题意，等量代换即可得到 ，最后由同位角相等两直
线平行即可得证；
（2）由 ，求得 的度数，再由 ，即可求得 的度数．
【详解】（1）证明： 和 是对顶角，
，
，
，
∴ ；
38 / 53
学科网（北京）股份有限公司（2）解：已知 ，则 ，
理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：① ，② ，③
．
(1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择
的条件是 ，结论是 ；
(2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程．
【答案】(1) ，③；或①③，②；或②③，①
(2)证明过程①见解②析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量
关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和
结论，切莫混淆．
（1）三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①；
（2）命题一证明：根据 得到 ，接着得到 即可证明 ；命题二证明：
根据 得到 ，接着由 得到 即可证明 ；命题三证明：根据
得到 ，接着得到 即可证明 ．
【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③；
命题二：已知①③，求证：②；
命题三：已知②③，求证：①；
39 / 53
学科网（北京）股份有限公司（2）命题一：已知①②，求证：③
证明： ，
，
．
，
，
，
；
命题二：已知①③，求证：②
证明： ，
，
．
，
，
，
；
命题三：已知②③，求证：①
证明： ，
，
．
，
，
，
．
6．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：如图所示， ， ，求证： ．
【答案】见解析
40 / 53
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同角的补角相
等，得到 ，推出 ，得到 ，进而得到 ，推出 ，得到
，对顶角相等，等量代换，即可得出结果．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知A、D、B、E在一条直线上，且 ， ，
，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，证明 是解题的
关键；
根据线段的和差可得 ，根据平行线的性质可得 ，进而可证 ，推
出 ，即可得到结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
41 / 53
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ．
8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图， 是 的高，点G在 上， ，垂足是点F，
点E在 上，连接 ，若 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了根据平行线的判定与性质的证明，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先利用高的意义得出 ，再证明 ，然后利用平行线的性质得出 ，结合
，可得 ，从而可得出结论成立．
【详解】证明：∵ 是 的高，
∴ ，
∵点G在 上， ，垂足是点F，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
题型一 平行线的实际应用
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知 ，P是射线AM上一动点（不与点A
42 / 53
学科网（北京）股份有限公司重合），BC，BD分别平分 和 ，交射线AM于点C，D．
(1)求 的度数．
(2)当点P运动时， 与 的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找
出变化规律．
(3)当点P运动到使 的位置时，求 的度数．
【答案】(1)
(2)不变，
(3)
【分析】（1）利用平行线的性质得出 的度数，再结合角平分线的定义求出 ；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析 与 的关系；
（3）通过角的等量关系和已知条件，求出 的度数．
【详解】（1）解： ，
，
，
．
平分 ， 平分 ，
，
，
．
（2）不变， ．
证明： ，
，
平分 ，
，
．
（3）解： ，
，
43 / 53
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
，
．
由（1）可知， ，
．
【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的
定义进行角的计算与推导是解题的关键．
2．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几
何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构
造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知
识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用．
【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题：
(1)如图1，在 中， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．经过合作
交流，得到了如下的解决方法：延长 到点E，使 ，连接 ，可以判定 ，从而
得到 ．这样就能把线段 ， ， 集中在 中，再利用三角形的三边关系，即可求
出中线 的取值范围．
请你直接写出 的取值范围：______；
(2)如图2， ，点D为 的中点， ， ，求 ；
(3)如图3，在 和 中， ， ， ．连接 ， ，点F是
的中点，连接 并延长，与 相交于点G．请猜想 和 的数量关系并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边
44 / 53
学科网（北京）股份有限公司关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解；
（2）如图2，延长 交 的延长线于H，根据中点得 ，证得 ，求得
，证得 为线段 的垂直平分线，然后即可求解；
（3）延长 至点H，使 ，连接 ，先证得 ，得 ，
，再根据平行线的性质证得 ，再证 ，然后即可求解；
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：如图2，延长 交 的延长线于H，
，
∵ ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
45 / 53
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为线段 的垂直平分线，
∴ ；
（3）解： ；
理由如下：延长 至点H，使 ，连接 ，如图：
，
F是 的中点，
∵∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
46 / 53
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在
笔直且平行的长江两岸河堤 ， 上安装了 两盏激光探照灯如图所示．光线 按顺时针方向以
每秒 的速度从 旋转至 便立即回转；光线 按顺时针方向以每秒 的速度从 旋转至 便立
即回转．
(1)若两灯同时旋转， 灯发出的光线 顺时针旋转到 ，然后回转到 时，两灯同时停止旋转．
① 当两灯旋转 秒时，判断光线 所在直线与光线 所在直线的位置关系，并说明理由；
② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时 灯的
旋转时间；若不能，请说明理由．
(2)如果 灯先旋转 秒， 灯才开始旋转．在 灯发出的光束第一次到达 之前，请直接写出 灯旋转
多少秒时，光线 所在直线与光线 所在直线平行．
【答案】(1) ，理由见解析；②能， 秒或 秒
①
(2) 秒或 秒或 秒或 秒
47 / 53
学科网（北京）股份有限公司【分析】（ ）①设 与 相交于点 ，过点 作 ，可得 ，利用平行线的性
质可得 ，即可求解；②设 灯的旋转时间为 秒，分 回转时
和 回到 时两种情况解答即可求解；
（ ）设 灯旋转 秒，光线 所在直线与光线 所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出
方程解答即可；
本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：① ，理由如下：
如图，设 与 相交于点 ，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
两灯旋转 秒时， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②能．设 灯的旋转时间为 秒，
如图，当 回转时， ，设 与 相交于点 ，过点 作 ，
48 / 53
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
由题意可得， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ；
当 回到 时，如图，
，
∴ ，此时 ；
综上，除①中情况之外，当 灯的旋转 秒或 秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直；
（2）解：设 灯旋转 秒，光线 所在直线与光线 所在直线平行，
如图，当 到达 前与 平行，设 与 相交于点 ，
49 / 53
学科网（北京）股份有限公司由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
如图，当 到达 后回转时与 平行，设 与 相交于点 ，
则 ， ，
同理上可得， ，
即 ，
解得 ；
如图，当 回转到 后再次往 旋转与 平行，设 与 相交于点 ，
50 / 53
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
同理可得， ，
即 ，
解得 ；
如图，当 再次到达 后回转与 平行，设 与 相交于点 ，
则 ， ，
同理可得， ，
即 ，
解得 ；
综上， 灯旋转 秒或 秒或 秒或 秒时，光线 所在直线与光线 所在直线平行．
4．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动．
活
动
关于三角板的数学思考
主
题
工
三角板、量角器、直尺等
具
活 第一小组 第二小组
51 / 53
学科网（北京）股份有限公司动
过
程
模
型
抽
象
将一个三角板
相
三位同学各测量 的度数一次，求得
关
的平均值为 ，然后又各测量 ，）放在互相平行的直尺 和 之
信
息 的度数一次，求出其平均值． 间，并使直角顶点 在直尺 上，顶
点 在直尺 上．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
(1)第一小组选择三位同学各测量 一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的
是___________；图1中 ___________度；
(2)请你帮第一小组想一想，当 摆成___________度时，才能确保 ；
(3)在图2中，当改变直尺 的位置时（始终保持直角顶点 在 上）， 点在 上保持不动，同学们
发现 点的位置会随着直角顶点 的位置的变化而变化．请你猜想： 的值是否会发生改变？
如果不变，它们的和是多少度？请说明理由．
【答案】(1)减少误差；
(2)
(3)不变，
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，垂直的定义，角度的和差，误差；
（1）多次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差；根据图1可得 ，
据此求解即可；
（2）根据 列方程求解即可；
（3）在 右边作 ，则 ， ， ， 再根据
得到 固定不变．
【详解】（1）解：多次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差；
图1中 ，
52 / 53
学科网（北京）股份有限公司故答案为：减少误差；154；
（2）解：由图可得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
（3）解：在 右边作 ，
∴ ，
∵互相平行的直尺 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 固定不变．
53 / 53
学科网（北京）股份有限公司
