文档内容
7.3 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
1.经历平行线的判定定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式和方法，发展几何推理能力。
2.能根据“同位角相等，两直线平行”推理并证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线
平行”。
教学重点：平行线判定三种方法的推理过程和综合法证明思路。
教学难点：在问题情境中灵活使用几何语言转化已知与结论、并选用适当的辅助线或角的等量代换等推理
手段完成证明。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P190-P191页的内容，思考：
【学法指导】
创设情景：
1.章节导读
2.情景引入
①小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司②两条直线在什么情况下互相平行呢？
.→平行线的定义
.→九条基本事实之一
相等，两直线平行.
互补，两直线平行.
●探究一：内错角相等，两直线平行
◆1.基本事实 ：
两条直线被第三条直线所截，如果 相等，那么这两条直线平行.
简单说成： 相等，两直线平行.
应用格式：
∵∠1=∠2 (已知)，
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行).
◆2.命题 ：
两条直线被第三条直线所截，如果 相等，那么这两条直线平行.
简单说成： 相等，两直线平行.
已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司◆3.定理：两条直线被第三条直线所截，如果 相等，那么这两条直线平行.
简单说成： 相等，两直线平行.
几何语言：
∵∠1＝
∴a∥b
●探究二：同旁内角互补，两直线平行
◆1.议一议
定理 ： 两条直线被第三条直线所截，如果 互补，那么这两条直线平行.
简单说成： 互补，两直线平行.
几何语言：
∵
∴a∥b
◆2.知识归纳
已给的基本事实、定义和已经证明的定理
以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
◆3.思考交流
（1）证明的一般步骤：
第一步：根据题意， ．
先根据命题的条件即 ，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的
或符号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出 、 .
把命题的条件转化为 的语言写在已知中，命题的结论转化为 的语言写在求证中．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 过程．
（2）我们可以用如图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗?
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解答】解： ， ， ，
两直线平行。 两直线平行。 两直线平行。
（3）在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明，与同伴交流各自的折纸方法与证明过程
【解答】解：如图所示，将不规则四边形纸片OMPN折叠，使O落在O′处，折痕分别交MO，NO于点
A，C，再进行折叠，分别使AM与直线AO′，CN与直线CO′重合，折痕分别交MP于点B，交PN于点
D，即得到AB∥ CD.
【证明】：
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨平行线三种判定方法；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )
A.∠1=∠2
B.∠2=∠4
C.∠3=∠4
D.∠1+∠4=180°
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( )
A.75°
B.95°
C.105°
D.115°
3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：
①∠1=∠2； ②∠3=∠6；③∠2=∠8； ④∠5+∠8=180°，其中能判定AB∥CD的是( )
A.①③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
4.如图，已知直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别交于点E、F，且有∠1=70°，则∠2=_____.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5. 如图，已知∠1=70°，如果CD//BE，那么∠B的度数为_____.
5.如图:
（1）从∠1 = ∠4，可以推出_____∥_____，理由是_________________________.
（2）从∠ABC +∠_____= 180°，可以推出 AB∥CD，理由是_________________________.
（3）从∠_____=∠ 2 ，可以推出 AD∥BC，理由是_________________________.
（4）从∠5 =∠_____，可以推出 AB∥CD，理由是_________________________.
7.根据图形完成填空：
① ∵∠1 =_____（已知），
∴ AB∥CE ( ).
② ∵∠1 +_____= 180°（已知），
∴ CD∥BF ( ).
③ ∵∠1 +∠5 = 180°（已知），
∴ _____∥_____ ( ).
④ ∵∠4 +_____= 180°（已知），
∴ AB∥CE ( ).
8.如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF=DE. 求证：CF∥ AB.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9.如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别是B，D，∠FDC＝∠EBA.
(1)判断CD与AB的位置关系；(不需要证明)
(2)求证：DF∥BE.
10.如图，已知∠MCA= ∠ A， ∠ DEC= ∠ B，那么DE∥MN吗？为什么？
题型一：同位角相等，两直线平行
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1．如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（ ）
A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°
2．如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝ 时，a∥b．
3．如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．
4．已知：如图，CF平分∠ACM，∠1＝72°，∠2＝36°，判断CM与DN是否平行，并说明理由．
题型二：内错角相等，两直线平行
5．（2024•恩施市模拟）如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
6．（2024•武侯区校级开学）如图，要得到BE∥CF，则需要条件（ ）
A．∠ABE＝∠DCF B．∠ABE＝∠BCF C．∠CBE＝∠BCF D．∠CBE＝∠DCF
7．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．
8．已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC＝∠A，
求证：BE∥CD．
题型三：同旁内角互补，两直线平行
9．（2024春•唐县期末）如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD
C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ADC＝180°
10．如图，已知∠B＝130°，∠D＝65°，当∠E＝ 度时，可以得到AB∥CD．
11．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求证：BC∥GD．
12．已知：如图，E为AC上一点，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求证：AB∥CD．
题型四：通过阅读推理过程填空
13．（2024春•平邑县期末）把下面的说理过程补充完整：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，
∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）
∴∠4＝60°（ ）
又∵∠1＝60°（ ）
∴∠1＝∠4（ ）
∴AB∥CD（ ）
14．如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，试说明：BF∥AC．
因为BE平分∠DBF（ ），
所以 ＝ （ ），
又因为∠1＝∠ACB（ ），
所以∠2＝∠ACB（ ）．
所以BF∥AC（ ）．
15．请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据．
如图，点 M 在直线 AB 上，MP⊥直线 CD，垂足为 P，MP 平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求证：
AB∥CD．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司证明：∵MP平分∠NMQ，
∴∠NMP＝∠PMQ（ ）
∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，
∴∠AMN+ ＝ +∠PMQ．
∵∠AMB＝180°，
∴∠AMP＝90°，
∵MP⊥直线CD，
∴∠MPD＝90°（ ）．
∴AB∥CD（ ）
16．完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝ （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
题型五：平行线判定方法的综合运用
17．已知：如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2＝90°．求证：
AB∥CD．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．如图，∠A＝59°，∠D＝121°，∠1＝3∠2，∠2＝24°，点P是BC上的一点．
（1）求∠DFE的度数；
（2）若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行．
19．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD．
（1）若∠D比∠B大30°，求∠B的度数；
（2）作∠D的平分线DE交BC于E，∠B的平分线BF交AD于F，求证：DE∥BF．
20．如图1，线段BA⊥AC于点A，BD平分∠ABC，M为射线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME
的平分线交直线AB于点F．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）如图1，当M为线段AC上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由；
（2）如图2，M为线段AC延长线上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由．
▲1．平行线的判定方法
判定方法1：
判定方法2：
判定方法3：
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