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7．5 三角形内角和定理
第 1 课时 三角形内角和定理
1．理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；(重点)
2．能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．(难点)
一、情境导入
星期天，小明和几位同学一起做作业时，其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断
了．小明将两个角和剩余的一个角放在一起，发现这三个角之和是一个平角．我们知道一个
平角是180°，即这个三角形的三个内角之和为180°，那其他的三角形也是这样吗？如何证
明呢？
下面让我们一起进入本节的学习，一起探究如何证明三角形的内角和等于180°.
二、合作探究
探究点一：三角形内角和定理
在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，求∠A、∠B、∠C分别等于多少度？
解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B＝∠C＝2∠A.因此
可以先求∠A，再求∠B、∠C.
解：∵∠A＝∠B＝∠C(已知)，∴∠B＝∠C＝2∠A(等式的性质)．∵∠A＋∠B＋∠C＝
180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．∴∠A＝36°，
∠B＝72°，∠C＝72°.
方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外
两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程．
探究点二：三角形内角和定理的证明
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°
第 1 页 共 3 页角的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，添
加辅助线．
证明：证法1：(如图①)过点A作PQ∥BC，则∠1＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相
等)．∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角的定义)，∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)．
证法2：(如图②)过点C作CE∥AB，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠B＋∠BCE
＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BCE＝∠BCA＋∠1，∴∠B＋∠BCA＋∠1＝180°
(等量代换)，∴∠B＋∠BAC＋∠A＝180°(等量代换)．
证法3：(如图③)过BC边上的一点P作QP∥AC，RP∥AB，交AB于Q，交AC于R，则∠1＝
∠B，∠2＝∠C(两直线平行，同位角相等)．∠A＝∠BQP＝∠QPR(两直线平行，同位角相等，内
错角相等)．∵∠1＋∠2＋∠QPR＝180°(平角的定义)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代
换)．
方法总结：三角形内角和定理的证明方法很多，但指导思想都是通过添加辅助线，利用
平行线的性质，把三角形三个内角集中起来．
探究点三：三角形内角和定理的应用
如图，已知五边形ABCDE.你知道五边形的内角和等于多少度吗？你能运用三角形
的内角和定理证明吗？
解析：我们可以通过先添加辅助线将五边形分割成几个三角形，再利用三角形的内角和
定理进行证明．
解：五边形的内角和等于540°.证明如下：如图，连接AC，AD.由三角形内角和定理可知
∠1＋∠2＋∠B＝180°，∠3＋∠4＋∠5＝180°，∠6＋∠7＋∠E＝180°，∴∠1＋∠2＋∠B
＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠E＝540°.又∵∠1＋∠5＋∠7＝∠BAE，∠2＋∠3＝
∠BCD，∠4＋∠6＝∠CDE，∴∠BAE＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°.∴五边形的内角和
等于540°.
方法总结：求多边形的内角和时，通常利用一个顶角与其他顶角的连线将其分割成几个
三角形，转化为三角形的内角和来解决．
三、板书设计
三角形内,角和定理)
通过自主探究与合作交流的学习方式，使学生形成一定的逻辑思维能力和推理能力；用
多种方法证明三角形内角和定理，培养学生一题多解的能力；对比过去撕纸等探索过程，体
会几何证明的严密性和数学的严谨性，培养学生的逻辑推理能力．
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