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7.5 三角形内角和定理
课堂知识梳理
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°.
三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角
形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．在 ABC中，∠A=60°，∠B=50°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．30° C．70° D．50°
△
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
2．如图，在 ABC中AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30度，∠ADC＝70度，则∠C
的度数是（ ）
△
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】由∠B＝30°，∠ADC＝70°，利用三角形外角的性质求出∠BAD，再利用AD平分
∠BAC，求出∠BAC，再利用三角形的内角和即可求出∠C的度数．
【详解】解：∵∠B＝30°，∠ADC＝70°，
∴∠BAD＝∠ADC−∠B＝70°−30°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝80°，
∴∠C＝180°−∠B−∠BAC＝180°−30°−80°＝70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
3．已知三角形的三个内角的度数比为2:3:4，则它的最大角的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】B
【分析】根据三角形的三个内角的度数比为2：3：4内角和等于180°列方程求三个内角的
度数，确定最大的外角的度数即可．
【详解】解： 三角形的三个内角的度数比为2：3：4，
∴设三个内角的度数分别为2k，3k，4k，根据三角形角和定理得：
2k＋3k＋4k＝180°，得k＝20°，
∴最大的内角为4k＝80°，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，三角形内角和定理，根据三角形内角和
定理列出方程，是解题的关键．
4．三角形的一个外角为36°，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】根据外角求出对应的内角，即可得出选项
【详解】∵ 三角形的一个外角是36°
∴ 对应的内角为
∴ 这个三角形是钝角三角形
故选：B
【点睛】本题考查了三角形外角的性质的应用，注意：有一个角是钝角的三角形是钝角三
角形．
5．如图，将一副三角板如图所示摆放，其中点 在 上， ， ，
，则 等于（ ）
A．15° B．30° C．12° D．35°
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质得到∠FGB=45°，然后使用三角形外角定理即可得到答案．
【详解】解：如图：∵AB//DE
∴∠FGB=∠D=45°∵∠FGB=∠A+∠GFA，∠A=30°
∴∠AFD=15°
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，掌握并熟练使用相关知识，精准
识图，认真推导 是本题的解题关键．
6．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点
②任意三角形的外角和都是
③三角形的一个外角大于任何一个内角
④在 中，当 时，这个三角形是直角三角形
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据三角形高线的性质可判断①，根据三角形外角的性质可判断②③，结合三角
形内角和定理可判断④，进而可求解．
【详解】解：①锐角三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点；钝角三角形的两条高
在三角形的外部，故①的说法错误；
②任意三角形的外角和都是 ，故②的说法正确；
③三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故③的说法错误；
④在 中，当 时， ， ， ，则这个三角形
是直角三角形，故④的说法正确．
故正确的个数有 个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线．掌握三
角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线的特点是解题的关键．
7．如图，在 中， ， 分别是边 上的点，且
若 ，则 _______．【答案】35°##35度
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明 ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根
据三角形内角和定理计算可得∠A=∠B= （180°-∠P△）=34°，根据三角形的外角的性质即
可解决问题．
【详解】解：在 和 中
∴∠ADF=∠BFE，
∵∠P=110°，
∴∠A=∠B= （180°-∠P）=35°，
∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠A+∠ADF，
∴∠DFE=∠A=35°，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性
质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的
关键．
8．如图，在 中， ，则 ____________ ．
【答案】 ##245度
【分析】根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理．熟练掌握上述知识点并利用数
形结合的思想是解题关键．
9．如图， 沿直线 翻折后能与 完全重合， 沿直线 翻折后能与
完全重合， 与 相交于点 ，若 ， ，则
_________°．
【答案】123
【分析】由∠ABC=18°，∠ACB=29°，得∠BAC=133°，根据翻折可得∠DAB=133°，从而
∠FAC=360°-∠DAB-∠BAC=94°，而∠ACE=∠ACB=29°，即可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=133°，
∵△ABC沿直线AB翻折后能与△ABD重合，
∴∠DAB=∠BAC=133°，
∴∠FAC=360°-∠DAB-∠BAC=94°，
∵△ABC沿直线AC翻折后能与△AEC重合，
∴∠ACE=∠ACB=29°，
∴∠CFD=∠FAC+∠ACE=123°．
故答案为：123
【点睛】本题考查三角形的翻折，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握翻折
的性质，求出∠FAC的度数．
10．已知 中， ．在图1中 、 的平分线交于点 ，则可计算得
；在图2中，设 、 的两条三等分角线分别对应交于 、 ，则
_______________．【答案】
【分析】首先根据三角形内角和定理求得 ，再由三等分角线可得
，由三角形内角和定理即可求得 ．
【详解】解： ，
，
、 的两条三等分角线分别对应交于 、 ，
，
，
故答案为： ．
11．如图，在 ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E．求
∠AEC的度数．
△
【答案】66°
【分析】利用外角的性质可得∠CAD+∠FCA=∠B+∠BCA+∠B+∠BAC，再利用三角形内角和
可求得其和，再结合角平分线的性质可求得∠EAC+∠ECA，在 ACE中利用三角形内角和
可求得∠AEC．
△
【详解】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠CAE+∠ACE= （∠B+∠ACB）+ （∠B+∠BAC）
= （∠BAC+∠B+∠ACB+∠B）
= （180°+48°）=114 °
在 ACE中，∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-114°
△
=66°
【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，由条件求得∠CAD+∠FCA的度数是解
题的关键．
12．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，且相交于点O，∠ABC＝50°，
∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【答案】∠DAE＝10°，∠BOA＝125°
【分析】根据AD⊥BC，∠C＝70°，求出∠CAD＝20°，利用三角形内角和定理求出∠BAC
＝60°，由AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAC＝∠BAE＝30°，即有∠EAD＝10°，再根据
BF是∠ABC的角平分线，可得∠ABO＝25°，则∠BOA可求．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝60°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°，
故∠DAE和∠BOA的度数分别是10°和125°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握三角形内角和定理
是解答本题的关键．
13．如图，已知点 ， ， 在同一直线上， ， ，若 ，
，求 的度数.【答案】
【分析】根据 得出 ，进而可得 ，根据 ，等量代换可
得 ，可得 ，根据平行线的性质可得 ，根据三角形内角和
定理求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，掌握平行线的性质与判定
是解题的关键．
14．证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 ．
已知： ，求证： ．
(1)证明：如图①，作边 的延长线 ，过点C作 ．
所以 ____________（____________），
____________（____________）．
因为 （____________），
所以 （等量代换）．
(2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程．【答案】(1)∠A；两直线平行，内错角相等；∠B；两直线平行，同位角相等；平角的定义
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质，以及平角的定义进行解答；
（2）如图，过点 作 ，利用两直线平行，内错角相等和平角的定义进行证明．
（1）
∠A （两直线平行，内错角相等），
∠B （两直线平行，同位角相等）．
（ 平角的定义 ），
（2）
如图，过点 作 ．
则： ， （两直线平行，内错角相等）
∵ （ 平角的定义 ），
∴
【点睛】本题考查三角形内角和180°的证明思路，将三角形的三个角转化为一个平角，从
而证明三角形的内角和为180°．
培优第二阶——拓展培优练
15．“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”揭示了三角形的一个外角与它
的两个内角之间的数量关系，请探索并写出三角形没有公共顶点的两个外角与它的第三个
内角之间的关系：_______.
【答案】三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式，再根据三角形的内
角和定理整理即可得解.
【详解】
解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
根据三角形内角和定理，得∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠1+∠2=∠A+180°，∴三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°.
故答案为三角形没有公共顶点的两个外角之和等于与它们都不相邻的一个内角加上180°..
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质
是解题的关键是解题的关键，作出图形更形急直观.
16．在 ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一
边在AD的右侧作 ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
△
△
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
① 如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证
明你的结论；
② 如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写
出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)90；(2)①α+β=180°；证明见解析；②α=β．
【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明 BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①易证∠BAD=∠CAE，即可证明 BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据
△
∠B+∠ACB=180°-α即可解题；
△
②易证∠BAD=∠CAE，即可证明 BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据
∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
△
（1）
解：∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，∠DAC+∠CAE=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为： 90；（2）
解：①∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=α，∠DAC+∠CAE=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°-α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，
∴α+β=180°；
②作出图形，
∵∠BAD+∠BAE=∠BAC=α，∠BAE+∠CAE=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，三角形内角和定
理，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
17．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多
意想不到的收获，如图三幅图都是由一副直角三角板拼凑得到的，其中图1的两块三角板
是 和 ，图2的两块三角板是 和 .图1 图2 图3
(1)求图1中的 的度数.
(2)在图2中已知 ，求 的度数.
(3)在图3中，三角板的两个直角顶点重合，且两条斜边平行，则 ______.
【答案】(1)75°；(2)75°；(3)75°
【分析】（1）由∠F＝30°，∠EAC＝45°，得出∠ABF的度数，又由∠FBC＝90°，得
∠ABC的度数；
（2）首先根据三角形内角和为180°，得到∠C的度数，又由AE BC，即可求得∠CAE的
值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数；
（3）过两个三角板直角顶点作 ，根据平行线性质即可求得 的度数．
（1）
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）
解：过 作 ，如图所示：，
，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识，
灵活运用数形结合思想、认识常规三角板是解决问题的关键．
18．如图，在 中，点D在 上，过点D作 ，交 于点E， 平分
，交 的平分线于点P， 与 相交于点G， 的平分线 与 相交
于点Q．
(1)若 ，则 ____________ ， ____________ ；
(2)若 ，当 的度数发生变化时， 的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若 ，则 ____________ ， ____________ ；（用含x的代数式表
示）；
(4)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度
数．
【答案】(1)115，25
(2)不发生变化，理由见解析
(3) ，
(4)45°，60°，120°，135°
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）将（2）中 换成 ，同理即可求解；（4）设 ，由（3）可知 ， ．再由 不变，
即可分类讨论①当 时，②当 时，③当 时和④
当 时，分别列出关于x的等式，解出x即可．
（1）
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ；
∵ ，
∴ ．
∵CP平分 ，CQ平分 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：115，25；
（2）
当 的度数发生变化时， 、 的度数不发生变化
理由如下：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∴．
∴
由（1）可知 不变，
∴ ．
∴当 的度数发生变化时， 、 的度数不发生变化；
（3）
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∴
．
∴ ．
由（1）可知 不变，
∴ ．
故答案为： ， ；
（4）
设 ，
由（3）可知 ， ．
∵ ，
∴可分类讨论：①当 时，∴ ，
解得： ，
∴ ；
②当 时，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
③当 时，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
④当 时，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
综上可知 或 或 或 ．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形
结合和分类讨论的思想是解题关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
19．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，直线l//l，直线l 与l，l 分别交于A，B两点，过
1 2 3 1 2
点A作AC⊥l，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
2
A．32° B．38° C．48° D．52°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵直线l∥l，∠1＝52°，
1 2
∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥l，
2∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故选：B．
【点睛】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握
平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，
同旁内角互补．
20．（2022·河北·中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现
其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图
2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正
误
【详解】方案Ⅰ：如下图， 即为所要测量的角
∵
∴
∴
故方案Ⅰ可行
方案Ⅱ：如下图， 即为所要测量的角在 中：
则：
故方案Ⅱ可行
故选：C
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角
的情况进行证明
21．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在 和 中， ，
， ，AC与DE相交于点F．若 ，则 的度数为_____．
【答案】105°#105度
【分析】在 中，利用已知求得 ，再利用平行线的性质求得
，然后在 中利用三角形的内角和定理求得 ，最后在
中，利用三角形的内角和定理即可求得 ．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴在 中， ．
故答案为：
【点睛】本题看考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形的内角和定理是解题的关键．
22．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿 方向，先后经过平面镜 、 反
射后，沿 方向射出，已知 ， ，则 _________．【答案】40°##40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得 ，根据三角形内角
和定理求得 ，进而即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∵ ， ，
，
∴ ，
．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题
的关键．
23．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选
择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图， ,
求证：
方法一
方法二
证明：如图，过点A作
证明：如图，过点C作
【答案】答案见解析
【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到 ， ，从而可求证
三角形的内角和为 ．方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和
为 ．
【详解】证明：
方法一：过点 作 ，
则 ， ． 两直线平行，内错角相等）
∵点 ， ， 在同一条直线上，
∴ ．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为 ．
方法二：
如图，过点C作
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
即三角形的内角和为 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的
性质是解题的关键．
24．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平
分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿
AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
