文档内容
第 03 讲 弧﹑弦﹑圆心角和圆周角
知识点1：圆心角的有关概念
知识点2：圆周角的有关概念和定理
知识点3：圆内接四边形的定义级性质
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆 或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
【题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【典例1】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径．若
⏜ ⏜ ⏜
BC=CD=DE ，∠COD=34°，则∠AOE的度数为（ ）A．51° B．54° C．68° D．78°
【答案】D
【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得
到∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，根据角的和差即可解答．
⏜ ⏜ ⏜
【详解】解：∵ BC=CD=DE ，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，
∵AB是直径，
∴∠AOE=180°−∠BOC−∠COD−∠DOE=180°−34°−34°−34°=78°．
故选：D．
【变式1】（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，B´C=C´D=D´E，已知AB是⊙O
的直径，∠COD=35°，那么∠AOE的度数是（ ）
A．40° B．70° C．75° D．105°
【答案】C
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由B´C=C´D=D´E可得
∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，即得∠BOE=105°，再根据邻补角的性质即可
求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
【详解】解：∵B´C=C´D=D´E，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠BOE=35°×3=105°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOE=180°−∠BOE=75°，
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在⊙O中，点C是
A
⌢
B
的中点，
∠A=40°，则∠BOC等于 ．
【答案】50°/50度
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，注意：
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也
相等．
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据等腰三角形性质得出
1
∠BOC= ∠BOA，代入求出即可．
2
【详解】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=40°
∴∠BOA=180°−∠A−∠B=100°，
∵点C是 ⌢ 的中点，即A´C=B´C，
AB
1 1
∴∠BOC= ∠BOA= ×100°=50°，
2 2
故答案为：50°．
【变式3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，
A´E=A´C，∠BOD=32°，求∠COE的度数．
【答案】∠COE=64°【分析】本题主要考查了对顶角的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对
的圆心角相等是解题关键．
根据对顶角的性质，得∠BOD=∠AOC，通过等弧所对的圆心角相等，即可求解．
【详解】解：∵ ∠BOD=32°，
∴ ∠BOD=∠AOC=32°，
∵ A´E=A´C，
∴ ∠AOE=∠AOC=32°，
∴ ∠COE=∠AOE+∠AOC=64°．
【题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【典例2】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在⊙O中，A´C=B´C，
CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD=BE．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了弧与圆心角、角平分线的性质定理、直角三角形全等的判定与性
质等知识，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．连接OC，先证出
∠COD=∠COE，再根据角平分线的性质定理可得CD=CE，然后证出
Rt△COD≌Rt△COE，根据全等三角形的性质可得OD=OE，最后根据线段的
和差即可得证．
【详解】证明：如图，连接OC，
∵在⊙O中，A´C=B´C，
∴∠COD=∠COE，∴CO平分∠AOB，
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴CD=CE，
在Rt△COD和Rt△COE中，
{OC=OC)
，
CD=CE
∴Rt△COD≌Rt△COE(HL)，
∴OD=OE，
又∵OA=OB，
∴OA−OD=OB−OE，
∴AD=BE．
【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在⊙O中，已知AC=BD．求证：
AE=BF．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、
弦的关系，熟练掌握相等的圆心角所对的弦相等是解题关键．
连接OA、OB，证得△OAC≌△OBD，得∠AOC=∠BOD，根据相等的圆心
角所对的弦相等即可得证．
【详解】证明：如图，连接OA，OB，
∵ OA=OB
，
∴ ∠OAB=∠OBA，
在△OAC和△OBD中，{
OA=OB
)
∠OAC=∠OBD ，
AC=BD
∴ △OAC≌△OBD(SAS)，
∴ ∠AOC=∠BOD，
∴ AE=BF．
【变式2】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知点A，B，C，D是⊙O上四个点，
AD=BC．
求证：AB=CD．
【答案】见解析
【分析】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，根据AD=BC ，得出A´D=B´C，进
而可得C´D=A´B，即可得出AB=CD．
【详解】证明：∵AD=BC，
∴A´D=B´C．
∴A´D+B´D=B´C+B´D，
∴AD´ B=CB´D，
∴AB=CD．
【变式3】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，点A,B,C,D在⊙O上，
AB=CD．求证：BD=AC．
【答案】见解析【分析】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，熟知圆心角，弧及弦之间的关系是
解题的关键，
根据圆心角，弧及弦之间的关系即可解决问题．
【详解】∵AB=CD，
∴A´B=C´D
∴A´B+A´D=C´D+A´D
∴B´D=A´C
∴BD=AC
【题型3圆心角概念辨析及简单运算】
【典例3】（2025九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根
据圆心角的概念解答．
【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
B、是圆心角，故选项符合题意；
C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O
上，OC∥AD，OA∥CD，若AD=1，则BC的长为 ．【答案】1
【分析】根据OC∥AD，OA∥CD，OA=OC可得四边形ADCO是菱形，则可得
OA=AD，进而可得△OAD是等边三角形，∠OAD=60°，由OC∥AD可得
∠BOC=∠OAD=60°，进而可得△OBC是等边三角形，则可得BC=OC=1．
本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练
掌握以上知识是解题的关键．
【详解】
解：连接OD，BC，
∵OC∥AD，OA∥CD，
∴四边形ADCO是平行四边形，
又∵OA=OC,
∴四边形ADCO是菱形，
∴OA=OC=CD=AD=1，
又∵OA=OD，
∴OA=OD=AD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵OC∥AD，
∴∠BOC=∠OAD=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=1．
故答案为：1【变式2】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在⊙O中，弦AB=3，圆心角∠AOB=60°，
则⊙O的半径为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
根据等边三角形的判定定理证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得到
答案．
【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=3．
故答案为：3．
【变式3】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在⊙O中，已知∠OAB=50°，
则弦AB所对的圆心角的度数是 ．
【答案】80°
【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知
识．由OA=OB，可得∠OAB=∠OBA=50°，再根据三角形的内角和定理求出
∠AOB，即可求解．
【详解】解：∵OA=OB，∠OAB=50°，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°−50°−50°=80°，
即弦AB所对的圆心角的度数是80°，
故答案为：80°．【题型4求圆弧的度数】
【典例4】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，
∠COE=40°，则B´D的度数是（ ）
A．70° B．110° C．40° D．70°或110°
【答案】D
【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根
据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键．
【详解】如图，
∵OC=OE，
∴∠1=∠2，
∵∠COE=40°，
1 1
∴∠1=∠2= ×(180∘−∠COE)= ×(180∘−40°)=70°，
2 2
∵弦CE∥AB，
∴ ∠AOE=∠2=70°，
∴∠BOD=∠AOC=∠COE+∠AOE=110°
∴B´D的度数是110°；
如图，
∵OC=OE，
∴∠C=∠E，
∵∠COE=40°，1 1
∴∠C=∠E= ×(180∘−∠COE)= ×(180∘−40°)=70°，
2 2
∵弦CE∥AB，
∴ ∠AOC=∠C=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°
∴B´D的度数是70°；
综上可知：B´D的度数是70°或110°，
故选：D．
【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=25°，以点C
为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则B´D的度数为（ ）
A．50° B．40° C．55° D．60°
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于
恰当的作出辅助线解决问题．连接CD，利用直角三角形性质得到∠ABC=65°，结合
圆的特点和等腰三角形性质得到∠CDB=∠ABC=65°，进而即可求得B´D的度数．
【详解】解：连接CD，
∵ Rt△ABC ∠A=25°
在 中， ，
∴∠ABC=90°−25°=65°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠ABC=65°，
∴∠BCD=180°−2×65°=50°，
即B´D的度数为50°，
故选：A．
【变式2】（23-24九年级上·江苏·周测）如图， AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，若∠AOC=75°，则C´E的度数是 ．
【答案】30°/30度
【分析】连接OE，根据平行线的性质可得∠C=∠AOC=75°，由OC=OE可得
∠E=∠C=75°，再根据三角形内角和定理可求得∠COE的度数，即C´E的度数．
【详解】
连接OE，
∵CE∥AB，
∴∠C=∠AOC=75°．
∵OC=OE，
∴∠E=∠C=75°，
∴∠COE=180°−2×75°=30°，
∴C´E的度数是30°．
故答案为：30°
【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握
这一点知识是解题的关键．
【变式3】（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，
∠B=28°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，那么D´E的
度数是 ．【答案】34°/34度
【分析】连接CD，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据等边对等角得出
∠CDA的度数，然后根据三角形外角的性质得出∠DCE的度数，则结果可得．
【详解】解：连接CD，
∵∠C=90°，∠B=28°，
∴∠BAC=90°−28°=62°，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA=62°，
∴∠DCE=∠CDA−∠B=62°−28°=34°，
∴D´E的度数是34°，
故答案为：34°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧
的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=
1
圆心角）
2
C
B O
A
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
D C
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O
【题型5圆周角的概念辨析及简单运算】
【典例5】（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，AB为直径，下列四个选项中
B´C所对的圆周角是（ ）A．∠BEC B．∠DCE C．∠ABC D．∠CDE
【答案】D
【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，
并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．
【详解】解：B´C所对的圆周角是∠CDE与∠CAB，
故选：D．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆
周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：∠1和∠3符合圆周角的定义，∠2顶点不在圆周上，∠4的
一边和圆不想交，
故图中的圆周角有∠1和∠3，共2个，
故选：B．
【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，∠BAC为圆周角的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，
此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
根据由圆周角的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、∠BAC的边AC不是与圆相交所得，所以∠BAC不是圆周角，故此
选项不符合题意；
B、∠BAC的边AC、AB都不是与圆相交所得，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不
符合题意；
C、∠BAC的顶点没在圆上，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；
D、∠BAC符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式3】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的∠1∼∠5这5个角中，
A´D所对的圆周角是（ ）
A．∠5 B．∠1和∠2 C．∠3和∠4 D．∠1和∠3
【答案】C
【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定
义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键．
【详解】解：∠1是B´C所对的圆周角，
∠2是B´C所对的圆周角，
∠3是A´D所对的圆周角，
∠4是A´D所对的圆周角，
∠5不是圆周角，故选：C．
【题型6圆周角定理】
【典例6】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在⊙O中，∠AOC=120°，则
∠ABC等于（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
【答案】A
【分析】根据圆周角定理来求解．圆周角定理指出同弧所对的圆周角等于圆心角的一
半，所以可以利用这个定理求出∠ABC的度数．本题主要考查了圆周角定理，熟练
掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）是解题的关键．
1
【详解】解：根据圆周角定理，∠ABC= ∠AOC
2
∵ ∠AOC=120°
1
∴ ∠ABC= ×120°=60°
2
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，
连接OA，则∠OAB=（ ）
A．44° B．45° C．54° D．67°
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条
弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．根据圆周角定理可得∠AOB的度数，
再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．【详解】解：如图，连接OB，
∵∠C=46°
，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∵OA=OB，
180°−92°
∴∠OAB= =44°，
2
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，△ABC顶点A、B、C均在
⊙O上，∠BAC+∠BOC=84°，则∠BOC为（ ）
A．56° B．60° C．62° D．28°
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
1
【详解】解：由圆周角定理可知：∠BAC= ∠BOC，
2
∵ ∠BAC+∠BOC=84°，
1 3
∴ ∠BOC+∠BOC= ∠BOC=84°，
2 2
解得∠BOC=56°，
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是
⊙O上的两点，∠AOD=70°，则∠ACD的度数是（ ）A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】D
【分析】本题考查的是圆周角定理．根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧
所对的圆心角的一半”求出∠ACD的度数．
【详解】解：∵ ∠AOD=70°，
1
∴∠ACD= ∠AOD=35°，
2
故选：D．
【题型7同弧或等弧所对的圆周角相等】
【典例7】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的点．若
∠ABC=25°，则∠ADC的度数是（ ）
A．12.5° B．25° C．27.5° D．30°
【答案】B
【分析】本题考查同弧所对的圆周角的关系，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角
相等．据此解答即可．
【详解】解：∵在⊙O中，A´C=A´C，∠ABC=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°．
故选：B．
【变式1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB
为直径，B´C=C´D，连接AC，若∠DAC=25°，则∠B的度数为（ ）A．50° B．65° C．75° D．130°
【答案】B
【分析】本题主要考查等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内
角和定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
根据B´C=C´D可得∠DAC=∠CAB=25°，根据AB是直径可得∠ACB=90°，利
用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：∵B´C=C´D，∠DAC=25°，
∴∠DAC=∠CAB=25°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°−25°=65°．
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在⊙O中，A´B=A´C,∠A=36°，
则∠B等于（ ）
A．63° B．68° C．72° D．76°
【答案】C
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，由圆心角、弧、弦的
关系定理推出AB=AC，得到∠B=∠C，由三角形内角和定理即可求出∠B的度数．
【详解】解：∵A´B=A´C，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=36°，1
∴∠B= ×(180°−36°)=72°．
2
故选：C．
【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上
两点，连接AC、OD．若∠CAB=65°，A´C=A´D，则∠AOD的度数为 ．
【答案】50°
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理．由直径可得∠ACB=90°，再
结合三角形内角和定理得到∠ABC=25°，由等弧所对的圆周角相等，得到
∠ABD=∠ABC=25°，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠CAB=25°，
∵A´C=A´D
∴∠ABD=∠ABC=25°，
∴∠AOD=2∠ABD=50°，
故答案为：50°．
【题型8半圆(直径)所对的圆周角是直角】
【典例8】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，AB为⊙O直径，点C、D在
⊙O上，如果∠ABC=60°，那么∠D的度数为（ ）A．20° B．30° C．35° D．70°
【答案】B
【分析】此题主要考查圆周角定理，欲求∠D的度数，需先求出同弧所对的∠A的度
数；在Rt△ABC中，已知∠ABC的度数，即可求得∠A，由此得解．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°−∠ABC=30°，
∴∠D=∠A=30°．
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O
上一点，连接AC，BC，若∠A=35°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．55° C．75° D．65°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
根据圆周角定理的推论即可得出∠C的度数，再根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=35°，
∴∠B=55°，
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，C，D是
⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（ ）A．65° B．55° C．50° D．75°
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆周角定理，角平分线的定义．根据圆周角定理可得
1
∠ABD= ∠AOD=25°，再根据角平分线的定义可得∠ABC=∠ABD=25°，
2
然后根据AB是⊙O的直径，可得∠C=90°，即可求解．
【详解】解：∵∠AOD=50°，
1
∴∠ABD= ∠AOD=25°，
2
∵BA平分∠CBD，
∴∠ABC=∠ABD=25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠A=90°−∠ABC=90°−25°=65°．
故选：A．
【变式3】（23-24九年级上·天津红桥·期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的
两点，若∠ABD=41°，则∠BCD的大小为（ ）
A．41° B．45° C．49° D．59°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直
角，即可求得∠ACB的度数，继而求得∠BCD的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∵∠ABD=41°，
∴∠ACD=∠ABD=41°，
∴∠BCD=90°−∠ACD=49°；
故选：C．
求四边形外接圆的直径
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
A E
【题型9 已知圆内接四边形求角度】
【典例9】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，点A、点B、点C在⊙O上，
∠BAC=100°，那么∠BOC是（ ）
A．160° B．120° C．100° D．200°
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理以及圆内接四边形的性质是正确解答
的关键．根据圆内接四边形的性质求出∠BDC，再根据圆周角定理进行计算即可．
【详解】解：如图，在⊙O的优弧BC上任意取一点D，连接DB、DC，∵ ACDB ⊙O
四边形 是 的内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∵∠BAC=100°，
∴∠BDC=180°−100°=80°，
∴∠BOC=2∠BDC=160°．
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·广东·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点 E 在BC的
延长线上．若∠BOD=120°，则∠DCE=（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理可得
∠A=60°，再由圆内接四边形对角互补可得∠BCD的度数，再由平角的定义可得
∠DCE的度数．
【详解】解：∵∠BOD=120°，
1
∴∠A= ∠BOD=60°，
2
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°−∠A=120°，
∴∠DCE=180°−∠BCD=60°，
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点A、B、C都在⊙O上，若
∠AOC=150°，则∠ABC的度数（ ）A．30° B．150° C．105° D．110°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关
键，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠AOC=150°
，
1
由圆周角定理可知，∠ADC= ∠AOC=75°，
2
又四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴ ∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°−∠ADC=105°．
故选：C．
【变式3】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E
为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B= ．
【答案】120°/120度
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题
关键．根据题意，得∠ADC=60°，通过圆内接四边形的性质，可得
∠B=180°−∠ADC，即可求解．
【详解】解：∵ ∠ADE=120°，
∴ ∠ADC=180°−∠ADE=60°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠B=180°−∠ADC=120°．
故答案为：120°．
【题型10求四边形外接圆的直径】
【典例10】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外
接圆的直径是（ ）
A．2 B．4 C．❑√2 D．2❑√2
【答案】D
【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外
接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对
角线长即可．
【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长．
∵正方形的边长为2，
∴正方形的对角线长为2❑√2，
∴外接圆直径为2❑√2．
故选：D．
【变式1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆O是矩形ABCD的外接圆，若
AB=❑√3，BC=1，则图中阴影部分的面积是（ ）
π π
A．4π−❑√3 B．π−❑√3 C． −❑√3 D． +❑√3
2 2
【答案】B
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线．
连接AC，首先根据题意得到点O是AC的中点，然后利用勾股定理求出AC=2，
1
AO=CO= AC=1，然后利用阴影部分的面积=S −S 代数求解即可．
2 ⊙O 矩形ABCD
【详解】如图所示，连接AC，
∵圆O是矩形ABCD的外接圆，
∴点O是AC的中点
∵∠B=90°，AB=❑√3，BC=1，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√(❑√3) 2+12=2
1
∴AO=CO= AC=1
2
∴阴影部分的面积
=S −S =π⋅AO2−AB⋅BC=π×12−❑√3×1=π−❑√3．
⊙O 矩形ABCD
故选：B．
一、单选题
1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于
⊙O，若BC=CD=DA=4，则AB的长为（ ）A．8 B．9 C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆心角与弦之间的关系，等边三角形的性质与判定，连接
OD，OC，根据圆心角与弦之间的关系和平角的定义可证明
∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，则可证明△AOD是等边三角形，得到
OA=AD=4，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接OD，OC，
∵AB是⊙O的直径，BC=CD=DA=4，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC=180°，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4，
∴AB=2OA=8，
故选：A．
2．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在⊙O中，若A´B=C´D，∠AOB=35°，
则∠COD的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记“同圆中等弧所对圆心角相等”是解决问题的关键．
根据“同圆中等弧所对圆心角相等”得∠COD=∠AOB=35°．
【详解】解：∵ A´B=C´D，∠AOB=35°，
∴∠COD=∠AOB=35°．
故选：A．
3．（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C
是A´B的中点，则四边形OACB是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，菱形的判定和圆周角定理，连接OC，
根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到A´C=B´C，则有∠AOC=∠BOC=60°，证
明△AOC和△BOC都是等边三角形，由四边相等的四边形是菱形即可求解，解题的
关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等及等边三角形的判定
与性质，菱形的判定方法．
【详解】解：如图，连接OC，
C AB
∵ 是弧 的中点，
∴A´C=B´C；
又∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC和△BOC都是等边三角形，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形AOBC是是菱形，故选：C．
4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，ABCD为⊙O内接四边形，AB为⊙O直径，
C为B´D中点，若∠DAB=52°，则∠D=（ ）
A．128° B．116° C．154° D．126°
【答案】B
【分析】因为点C是弧BD的中点，所以可知
1 1
∠CAB=∠DAC= ∠DAB= ×52°=26°，又根据AB为⊙O直径，得到
2 2
∠ACB=90°．由此求出∠B=90°−∠CAB=64°，再利用圆内接四边形的性质求
出∠D的度数．
【详解】解：C为B´D中点，若∠DAB=52°，
1 1
∴∠CAB=∠DAC= ∠DAB= ×52°=26°，
2 2
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠B=90°−∠CAB=64°，
∵ABCD为⊙O内接四边形，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠D=180°−∠B=116°，
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，
熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题关键．
5．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，
∠BDC=135°，则∠BAC的度数是（ ）A．35° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边
形的性质．
根据圆内接四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BDC=135°，
∴∠BAC=45°．
故选：B．
6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，已知
∠BCD=130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．95° B．100° C．110° D．115°
【答案】B
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的性质，求
出∠A的度数，圆周角定理，求出∠BOD的度数即可．
【详解】解：∵点A，B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠A=180°−∠BCD=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°；
故选B．
7．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=45°，连接OB，OC．若OB=2，则BC的长为（ ）
A．❑√2 B．2 C．2❑√2 D．2❑√3
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，根据圆周角定理求出
∠BOC=90°，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°，
又OB=OC=2，
∴BC=❑√BO2+CO2=2❑√2，
故选：C．
8．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工
具．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P
表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O的直径，连接PA、PB，点M在AB的延长线上，
若∠APC=20°，则∠PBM=（ ）
A．115° B．70° C．120° D．110°
【答案】D
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知
识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关
⏜ ⏜
键．如图2，连接AC，则∠PAC=90°，∠PCA=70°，由 AP=AP ，可得
∠PBA=∠PCA，根据∠PBM=180°−∠PBA，求解作答即可．
【详解】解：如图2，连接AC，∵PC是⊙O的直径，
∴∠PAC=90°，
∵∠APC=20°，
∴∠PCA=70°，
⏜ ⏜
∵ AP=AP ，
∴∠PBA=∠PCA=70°，
∴∠PBM=180°−∠PBA=110°，
故选：D．
二、填空题
9．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，AC为⊙O的弦，点B在弧AC上，若
∠BCA=28°，则∠AOB的度数为 ．
【答案】56°/56度
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵∠BCA=28°，
∴∠AOB=2∠BCA=2×28°=56°，
故答案为：56°．
10．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，
∠AOD=130∘，则∠BCD=【答案】25°
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据邻补角
的定义求出∠BOD=50°，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解∶∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠AOD=130∘，
∴∠BOD=180°−∠AOD=50°，
1
∴∠BCD= ∠BOD=25°，
2
故答案为∶ 25°．
11．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB是⊙O
的直径，∠CAB=50°，则∠D=（ ）
A．25° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查的是圆周角定理，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，从而可求得
∠B=40°，再根据∠D=∠B即可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=50°
∴∠B=180°−∠CAB−∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠D=∠B=40°，
故选：B．
12．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）如图，BC为⊙O的弦，点A，D在⊙O上，
OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2❑√3，则OC的长为 ．【答案】2
【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理．
1
根据OA⊥BC可得CE= BC=❑√3，A´C=A´B，圆周角定理可得
2
1
∠AOC=2∠ADB=60°，进而得到∠C=30°，因此OE= OC，在Rt△COE中，
2
根据勾股定理构造方程，即可求出OC的长．
【详解】解：设OA与BC交于点E，
∵OA⊥BC，BC=2❑√3，
1
∴CE= BC=❑√3，A´C=A´B，
2
∴∠AOC=2∠ADB=2×30°=60°，
∴在Rt△COE中，∠C=90°−∠AOC=30°
1
∴OE= OC，
2
∵在Rt△COE中，OE2+CE2=OC2，
∴ (1 OC ) 2 +(❑√3) 2=OC2 ，
2
解得OC=2，
故答案为：2．
三、解答题
13．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E，且AB=CD．求证：AC=BD．
【答案】见解析
【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对
的弧相等这一性质进行推理。
先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到A´C=B´D，最后根据弧与弦的关
系得出弦相等。
【详解】解：∵AB=CD，
∴A´B=C´D，
∴A´B−B´C=C´D−B´C，
∴A´C=B´D，
∴AC=BD.
14．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且
AD=BC．
(1)求证：A´B=C´D；
(2)设AB与CD交于点E．求证：DE=BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了圆周角定理、弧弦之间的关系、等角对等边等知识，熟练掌握圆
周角定理是关键．
（1）根据弧弦之间的关系得到A´D=B´C，根据弧的和差即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABD=∠CDB，再根据等角对等边即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵AD=BC，∴A´D=B´C，
∴A´D+A´C=B´C+A´C，
即A´B=C´D；
（2）连接BD，
∵A´D=B´C
，
∴∠ABD=∠CDB，
∴DE=BE
15．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O
上，若∠C=45°．
(1)求∠ABD的度数；
(2)若∠CDB=30°，BC=5，求⊙O的半径．
【答案】(1)45°
(2)5
【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握
相关知识点是解题的关键．
（1）由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，由∠BAD=∠C=45°，再利用直
角三角形的性质即可求出∠ABD的度数；
（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CDB=60°，结合OB=OC，推
出△BOC是等边三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠C=45°，∴∠ABD=90°−∠BAD=45°；
（2）解：如图，连接OC，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
又∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=BC=5，
∴⊙O的半径为5．
