第 04 点和圆的位置关系
知识点1:点与圆的位置关系
知识点2：确定圆的条件
知识点3：三角形的外接圆与外心
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d<r⇔点P在⊙O内；
d=r⇔点P在⊙O上；
d>r⇔点P在⊙O外。
【题型1判断点与圆的位置关系】
【典例1】已知⊙O的半径为5，OA=4，则点A在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查了点与圆的位置关系，点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆
内，d<r(d即点到圆心的距离，r即圆的半径），据此求解即可．
【详解】解：∵OA=4<5，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
【变式1】若⊙O的半径为6cm，PO=8cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当
点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外．根据点
到圆心的距离即可得出答案．【详解】解：∵点P到圆心的距离8cm大于圆的半径6cm，
∴点P在圆外．
故选：A．
【变式2】⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0,0)，点P的坐标为(3,4)，则点P与⊙O的
位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关
键．
运用勾股定理得到OP=5，根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：点P的坐标为(3,4)，
∴OP=❑√32+42=5，
∵⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0,0)，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上，
故选：B ．
【变式3】如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆
盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C
D．A，B，C
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据
勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形，取AC中点D，连接BD，根据直角三角
1
形斜边中线的性质得BD= AC=250m，以点D为圆心，300m长为半径画圆，再根据
2图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵AB=300m，BC=400m，AC=500m，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
1
取AC中点D，连接BD，则BD= AC=250m，
2
以点D为圆心，300m长为半径画圆，如图所示：
由图可知，点A、B、C都在⊙D内，
∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内，
故选：D．
【题型2利用点与圆的位置关系求半径】
【典例2】已知圆外一点到圆的最大距离为9cm，最小距离为3cm，则圆的半径为（ ）
A．10cm或5cm B．6cm或3cm C．3cm D．5cm
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差
等于圆的直径是解题关键．将最大距离与最小距离作差，进而求解即可．
【详解】解：∵圆外一点到圆的最大距离为9cm，最小距离为3cm，
∴圆的半径为(9−3)÷2=3cm，
故选：C．
【变式1】在同一平面内，点P到⊙O上的最大距离是11，最小距离是3，那么⊙O的半
径r= ．
【答案】4或7
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在⊙O内；②点P在⊙O外两种情况分别求解即可．
【详解】解：①当点P在⊙O内，如图1：
∴PA=3 PB=11
， ，
∴AB=PA+PB=14，
1
∴⊙O的半径r= AB=7；
2
②当点P在⊙O外，如图2：
∴PC=3 PD=11
， ，
∴CD=PD−PC=8，
1
∴⊙O的半径r= CD=4；
2
∴综上所述，⊙O的半径r=4或7．
故答案为：4或7．
【变式2】一个点到圆上的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则圆的半径为 cm．
【答案】6.5或2.5
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题
的关键．点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小
距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离−最小距离．
【详解】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离MB=4cm，最大距离MA=9cm，
∴直径AB=4+9=13cm，
∴半径为6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离MB=4cm，最大距离MA=9cm，∴直径AB=9−4=5cm，
∴半径为2.5cm，
综上所述，圆的半径为6.5cm或2.5cm，
故答案为：6.5或2.5．
【变式3】同一平面内，⊙O内一点P到圆上的最大距离为6cm，最小距离为2cm，则
⊙O的半径为 cm．
【答案】4
【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义．
【详解】解：∵点P在圆内时，⊙O的直径长为6+2=8(cm)，半径为4cm；
⊙O的半径长为 4cm．
故答案为：4．
1.过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
【题型3求能确定的圆的个数】
【典例3】过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
【答案】D
【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可．
【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆，
若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆，故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个．
故选：D．
【变式1】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的
圆n个，则n的值不可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当
三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根
据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案．
【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时n=1，
②当三点在一直线上时，如图2，
分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即n=3，
③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此
时n=4，
即n不能是2，
故选：C．
【变式2】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最
多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解
即可．
【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
【变式3】若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，
最多可以作 个．
【答案】6
【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”
是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选
择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可．
【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆，
选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共
6个．
故答案为：6．1.三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
2.三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
【题型4求三角形外心坐标】
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，则△ABC的外心坐标为（ ）
A．(0,0) B．(−1,1) C．(−2,−1) D．(−2,1)
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心
是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键．
分别作出AB、BC的垂直平分线，其交点P即为△ABC的外心，然后直接写出坐标
即可解答．
【详解】解：如图：分别作出AB、BC的垂直平分线，其交点P即为△ABC的外心．
易得点P的坐标为(−2,1)，即△ABC的外心坐标为(−2,1)．
故选D．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，点B(2,1)，点C(2,−3)，则经画
图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）A．(−2,−2) B．(−2,−1) C．(−1,−2) D．(−1,−1)
【答案】B
【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由△ABC的
外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂直
平分线，两垂线的交点即为△ABC的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是
三角形三边垂直平分线的交点．
【详解】解：如图，
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴分别作AB与BC的垂直平分线，两垂线的交点O′即为△ABC的外心，
根据坐标可得： ，
O′(−2,−1)
故选：B．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标
为(0，4)、点B的坐标为(4，4)、点C的坐标为(6，2)，那么该圆弧所在的圆心坐
标为 ．【答案】(2,0)
【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂
直平分线的交点是解题的关键．
由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直
平分线，如图所示，
∴
它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心，
由图知，D(2,0)，
∴该圆弧所在的圆心坐标为(2,0)，
故答案为：(2,0)．
【变式3】如图，△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
【答案】(5,0)
【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的
交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段BC线段AB的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可．
【详解】解：作线段BC、线段AB的垂直平分线相交于点D，如图，
由图可得点D的坐标为：(5,0)，
故答案为：(5,0)．
【题型5确定圆心(尺规作图)】
【典例5】如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于
点D．
(1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：AB=16，CD=4．求（1）中所作圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)此残片所在圆的半径为10．
【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾
股定理构造方程求边长是解题的关键．
（1）由于CD是弦AB的垂直平分线，则圆心在直线CD上，因此连接AC，圆心在
AC的垂直平分线上，故作AC的垂直平分线，交CD于点O，则点O就是所求的圆心；
（2）连接AO，设半径为x，即AO=CO=x，则DO=CO−CD=x−4，根据CD是1
AB的垂直平分线，得到∠ADO=90°，AD= AB=8，因此在Rt△ADO中，根
2
据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径．
【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心．
（2）解：连接AO，
设半径为x，即AO=CO=x，
∴DO=CO−CD=x−4，
∵CD是AB的垂直平分线，
∴∠ADO=90°，
1 1
AD= AB= ×16=8，
2 2
∴在Rt△ADO中，AD2+DO2=AO2，
即 ，
82+(x−4) 2=x2
解得：x=10，
∴此残片所在圆的半径为10．
【变式1】如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为4m，跨径AB为16m．
(1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心；
(2)求这钢梁圆弧的半径长．
【答案】(1)图见详解
(2)这钢梁圆弧的半径长为10m
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键
是学会利用参数构建方程解决问题．（1）在A´B上取一点E，连接AE，作线段AE，AB的垂直平分线交于点O，点O即
为所求；
（2）设OB=OD=r，AB的垂直平分线交AB于点C，交A´B于点D．利用勾股定理构
建方程求解．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）解：设OB=OD=r，AB的垂直平分线交AB于点C，交A´B于点D．
∵OD⊥AB，
1
∴AC=CB= AB=8m，
2
∵CD=4m，
∴OC=(r−4)m，
在 中，则有 ，
Rt△OBC r2=82+(r−4) 2
解得r=10，
∴这钢梁圆弧的半径长为10m．
【变式2】作图题
如图，在△ABC中，已知AB=AC．
(1)尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）
(2)连接OB，OC；若∠A=45°，BC=3❑√2，求OB的长．
【答案】(1)见解析(2)OB=3
【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理：
（1）先画出该三角形两条垂直平分线，相交于点O，以OA为半径画圆即可；
（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出∠BOC=90°，再根据勾股定理
求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°，
∵BC=3❑√2，OB2+OC2=BC2，即2OB2=18，
解得：OB=3或OB=−3（负值舍去）．
【变式3】如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片．
(1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，
保留作图痕迹，不用写作法）．
(2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是110cm，求车
轮滚动一圈直走的路程（结果保留π）．
【答案】(1)见解析(2)110πcm
【分析】本题考查了确定圆心，求圆的周长；
（1）先确定圆心，在小圆上任意取三点，作出两条线段，作这两条线段的垂直平分线，
交于同一点即为圆环的圆心，进而画出车轮的圆环图；
（2）根据圆环外径（外圆的直径）是110cm，根据圆的周长公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图为所求作的图形．
（2）圆的周长C=110π，
∴车轮滚动一圈直走的路程是110πcm．
一、单选题
1．平面内，已知⊙O的半径为10cm,PO=12cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与圆的半径的大小关
系进行判断即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为10cm,PO=12cm，12>10，
∴点P在⊙O外；
故选C．
2．下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
【答案】C
【分析】本题考查圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆求解即可．
【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故说法正确；
B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确；
C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故
说法错误；
D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确．
故选：C．
3．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分
线的交点进行求解即可．
【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，
∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图，
故选：B．
4．已知线段AB，且AB<6，则经过A,B两点且半径为3的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直
平分线上，那么作线段AB的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段
AB的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可．
【详解】解：作线段AB的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，
∵AB<6，
∴该弧与线段AB的垂直平分线有两个交点，
∴经过A,B两点且半径为3的圆有2个，
故选：C．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的
距离为（ ）
A．5cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边
的一半；由勾股定理易求得斜边AB的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√32+42=5(cm)
1
斜边上的中线长 AB=2.5(cm)，
2
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长2.5cm.
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以
斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,4),B(−4,4),C(−6,2)都在⊙M上，则
⊙M的半径为（ ）A．2❑√5−2 B．2 C．2❑√5 D．2❑√5+2
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、
BC的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径．
【详解】解：如图所示，分别作AC、BC的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐
标为(−2,0)，
∵点A的坐标为(0,4)，
∴ 的半径为 ，
⊙M ❑√22+42=2❑√5
故选：C．
二、填空题
7．已知⊙O的半径为4，OP=5，则点P在⊙O ．
【答案】外
【分析】本题考查了点与圆的关系，根据当点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆
内；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于圆的半径
时，点在圆外，即可解答．
【详解】解：由题意，得：点到圆的距离OP=5，圆的半径4，5>4，
∴点在圆外，故答案为：外．
8．圆外一点到圆的最大距离是16cm，到圆的最小距离是4cm，则圆的半径是 ．
【答案】6cm
【分析】设圆的半径为xcm，根据题意，得x+x+4=16，解方程即可．
本题考查了圆的性质，解方程，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
【详解】解：设圆的半径为xcm，根据题意，得x+x+4=16，
解得x=6．
故答案为：6cm．
9．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点A(1−m,0)，B(1+m,0)，D(1,0)，点C在以
E(5,3)为圆心， 1为半径的⊙E上运动， 且始终满足∠ACB=90°， 则m的取值范
围是 ．
【答案】4≤m≤6
【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间的
距离，连接CD，DE分别交⊙E于点G、F，由A(1−m,0)，B(1+m,0)，D(1,0)，
1
则D为AB中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出CD= AB=m，从
2
而转化为转化为以D为圆心，m为半径的圆与⊙E有公共点时求m的取值范围，即C
与G重合时有最小值，C与F重合时有最大值，即有DE−1≤m≤DE+1，再求出
DE=5，代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接CD，DE分别交⊙E于点G、F，
∵A(1−m,0)，B(1+m,0)，D(1,0)，∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
1
∴CD= AB=m，
2
∴转化为以D为圆心，m为半径的圆与⊙E有公共点时求m的取值范围，即C与G重
合时有最小值，C与F重合时有最大值，
∴DE−1≤m≤DE+1，
∵E(5,3)，
∴ ，
DE=❑√(5−1) 2+32=5
∴5−1≤m≤5+1，
∴4≤m≤6，
∴m的取值范围是4≤m≤6，
故答案为：4≤m≤6．
三、解答题
10．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直
尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查的是确定残弧的圆心与半径，根据弦的垂直平分线过圆心作图即可．
【详解】解：（1）在圆上取两条弦AB，AC；
（2）分别作AB，AC的垂直平分线，交于一点O．
则点O就是所求的圆心．
（3）连接OA，则OA就是这个圆的半径．11．如图，已知△ABC，AB=AC，AD是高．
(1)求作△ABC的外接圆O；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB=13，BC=10．求△ABC外接圆的半径．
【答案】(1)画图见解析
169
(2)
24
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以点O为圆心，OA的长为半
径画圆，则⊙O即为所求；
1
（2）连接OB，由等腰三角形的性质得BD=CD= BC=5，即由勾股定理得
2
，设 的半径为 ，则 ，在 中由勾
AD=❑√AB2−BD2=12 ⊙O x OA=OB=x Rt△ODB
股定理得 ，解方程即可求解；
(12−x) 2+52=x2
本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题
的关键．
【详解】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；（2）解：连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
1
∴BD=CD= BC=5，∠ADB=90°，
2
∴ ，
AD=❑√AB2−BD2=❑√132−52=12
设⊙O的半径为x，则OA=OB=x，
∴OD=AD−OA=12−x，
在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，
∴ ，
(12−x) 2+52=x2
169
解得x= ，
24
169
∴△ABC外接圆的半径为 ．
24
