文档内容
第 04 点和圆的位置关系
知识点1:点与圆的位置关系
知识点2：确定圆的条件
知识点3：三角形的外接圆与外心
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
【题型1判断点与圆的位置关系】
【典例1】已知⊙O的半径为5，OA=4，则点A在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查了点与圆的位置关系，点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆
内，d10，
∴点P在⊙O外；
故选C．
2．下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
【答案】C
【分析】本题考查圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆求解即可．
【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故说法正确；
B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确；
C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故
说法错误；
D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确．
故选：C．
3．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分
线的交点进行求解即可．
【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，
∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图，
故选：B．
4．已知线段AB，且AB<6，则经过A,B两点且半径为3的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直
平分线上，那么作线段AB的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段
AB的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可．
【详解】解：作线段AB的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，
∵AB<6，
∴该弧与线段AB的垂直平分线有两个交点，
∴经过A,B两点且半径为3的圆有2个，
故选：C．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的
距离为（ ）
A．5cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边
的一半；由勾股定理易求得斜边AB的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√32+42=5(cm)
1
斜边上的中线长 AB=2.5(cm)，
2
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长2.5cm.
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以
斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,4),B(−4,4),C(−6,2)都在⊙M上，则
⊙M的半径为（ ）A．2❑√5−2 B．2 C．2❑√5 D．2❑√5+2
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、
BC的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径．
【详解】解：如图所示，分别作AC、BC的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐
标为(−2,0)，
∵点A的坐标为(0,4)，
∴ 的半径为 ，
⊙M ❑√22+42=2❑√5
故选：C．
二、填空题
7．已知⊙O的半径为4，OP=5，则点P在⊙O ．
【答案】外
【分析】本题考查了点与圆的关系，根据当点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆
内；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于圆的半径
时，点在圆外，即可解答．
【详解】解：由题意，得：点到圆的距离OP=5，圆的半径4，5>4，
∴点在圆外，故答案为：外．
8．圆外一点到圆的最大距离是16cm，到圆的最小距离是4cm，则圆的半径是 ．
【答案】6cm
【分析】设圆的半径为xcm，根据题意，得x+x+4=16，解方程即可．
本题考查了圆的性质，解方程，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
【详解】解：设圆的半径为xcm，根据题意，得x+x+4=16，
解得x=6．
故答案为：6cm．
9．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点A(1−m,0)，B(1+m,0)，D(1,0)，点C在以
E(5,3)为圆心， 1为半径的⊙E上运动， 且始终满足∠ACB=90°， 则m的取值范
围是 ．
【答案】4≤m≤6
【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间的
距离，连接CD，DE分别交⊙E于点G、F，由A(1−m,0)，B(1+m,0)，D(1,0)，
1
则D为AB中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出CD= AB=m，从
2
而转化为转化为以D为圆心，m为半径的圆与⊙E有公共点时求m的取值范围，即C
与G重合时有最小值，C与F重合时有最大值，即有DE−1≤m≤DE+1，再求出
DE=5，代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接CD，DE分别交⊙E于点G、F，
∵A(1−m,0)，B(1+m,0)，D(1,0)，∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
1
∴CD= AB=m，
2
∴转化为以D为圆心，m为半径的圆与⊙E有公共点时求m的取值范围，即C与G重
合时有最小值，C与F重合时有最大值，
∴DE−1≤m≤DE+1，
∵E(5,3)，
∴ ，
DE=❑√(5−1) 2+32=5
∴5−1≤m≤5+1，
∴4≤m≤6，
∴m的取值范围是4≤m≤6，
故答案为：4≤m≤6．
三、解答题
10．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直
尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查的是确定残弧的圆心与半径，根据弦的垂直平分线过圆心作图即可．
【详解】解：（1）在圆上取两条弦AB，AC；
（2）分别作AB，AC的垂直平分线，交于一点O．
则点O就是所求的圆心．
（3）连接OA，则OA就是这个圆的半径．11．如图，已知△ABC，AB=AC，AD是高．
(1)求作△ABC的外接圆O；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB=13，BC=10．求△ABC外接圆的半径．
【答案】(1)画图见解析
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(2)
24
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以点O为圆心，OA的长为半
径画圆，则⊙O即为所求；
1
（2）连接OB，由等腰三角形的性质得BD=CD= BC=5，即由勾股定理得
2
，设 的半径为 ，则 ，在 中由勾
AD=❑√AB2−BD2=12 ⊙O x OA=OB=x Rt△ODB
股定理得 ，解方程即可求解；
(12−x) 2+52=x2
本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题
的关键．
【详解】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；（2）解：连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
1
∴BD=CD= BC=5，∠ADB=90°，
2
∴ ，
AD=❑√AB2−BD2=❑√132−52=12
设⊙O的半径为x，则OA=OB=x，
∴OD=AD−OA=12−x，
在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，
∴ ，
(12−x) 2+52=x2
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解得x= ，
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∴△ABC外接圆的半径为 ．
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