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7.5 三角形内角和定理
课堂知识梳理
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°.
三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角
形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．在 ABC中，∠A=60°，∠B=50°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．30° C．70° D．50°
△
2．如图，在 ABC中AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30度，∠ADC＝70度，则∠C
的度数是（ ）
△
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．已知三角形的三个内角的度数比为2:3:4，则它的最大角的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
4．三角形的一个外角为36°，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
5．如图，将一副三角板如图所示摆放，其中点 在 上， ， ，
，则 等于（ ）
A．15° B．30° C．12° D．35°
6．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点
②任意三角形的外角和都是③三角形的一个外角大于任何一个内角
④在 中，当 时，这个三角形是直角三角形
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7．如图，在 中， ， 分别是边 上的点，且
若 ，则 _______．
8．如图，在 中， ，则 ____________ ．
9．如图， 沿直线 翻折后能与 完全重合， 沿直线 翻折后能与
完全重合， 与 相交于点 ，若 ， ，则
_________°．
10．已知 中， ．在图1中 、 的平分线交于点 ，则可计算得
；在图2中，设 、 的两条三等分角线分别对应交于 、 ，则
_______________．11．如图，在 ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E．求
∠AEC的度数．
△
12．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，且相交于点O，∠ABC＝50°，
∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数．
13．如图，已知点 ， ， 在同一直线上， ， ，若 ，
，求 的度数.
14．证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 ．已知： ，求证： ．
(1)证明：如图①，作边 的延长线 ，过点C作 ．
所以 ____________（____________），
____________（____________）．
因为 （____________），
所以 （等量代换）．
(2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程．
培优第二阶——拓展培优练
15．“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”揭示了三角形的一个外角与它
的两个内角之间的数量关系，请探索并写出三角形没有公共顶点的两个外角与它的第三个
内角之间的关系：_______.
16．在 ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一
边在AD的右侧作 ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
△
△(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
① 如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证
明你的结论；
② 如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写
出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
17．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多
意想不到的收获，如图三幅图都是由一副直角三角板拼凑得到的，其中图1的两块三角板
是 和 ，图2的两块三角板是 和 .
图1 图2 图3
(1)求图1中的 的度数.
(2)在图2中已知 ，求 的度数.
(3)在图3中，三角板的两个直角顶点重合，且两条斜边平行，则 ______.
18．如图，在 中，点D在 上，过点D作 ，交 于点E， 平分
，交 的平分线于点P， 与 相交于点G， 的平分线 与 相交
于点Q．(1)若 ，则 ____________ ， ____________ ；
(2)若 ，当 的度数发生变化时， 的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若 ，则 ____________ ， ____________ ；（用含x的代数式表
示）；
(4)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度
数．
培优第三阶——中考沙场点兵
19．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，直线l//l，直线l 与l，l 分别交于A，B两点，过
1 2 3 1 2
点A作AC⊥l，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
2
A．32° B．38° C．48° D．52°
20．（2022·河北·中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现
其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图
2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
21．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在 和 中， ，
， ，AC与DE相交于点F．若 ，则 的度数为_____．
22．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿 方向，先后经过平面镜 、 反
射后，沿 方向射出，已知 ， ，则 _________．
23．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选
择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图， ,
求证：
方法一
方法二
证明：如图，过点A作
证明：如图，过点C作24．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平
分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿
AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
