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九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2+ =0 B．x2+3x=x2﹣1 C．（x﹣1）（x﹣2）=2 D．3x2﹣2y=0
2．下列性质中正方形具有而菱形没有的是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
3．投掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，朝上一面的点数为3的次数大约是( )
A．100次 B．200次C．300次D．400次
4．若 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是( )
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
6．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的
长是( )
A．3B．4C．5D．7
7．某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，其中丁跑第一棒，丙跑第
二棒的概率是
( )
A． B． C． D．
8．如图，要判断△ADE与△ACB相似，添加一个条件，不正确的是( )
第 1 页 共 17 页A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C．AE：DE=AB：BC D．AE：AD=AB：AC．
9．如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
则△DEF与△ABC的面积比是( )
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2
10．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%，
若毎件商品售价定为x元，则可卖出（170﹣5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的
售价应定为( )
A．20 B．20.8 C．20或30 D．30
二、填空题（本大题有8小题，每题3分，共24分）
11．若x =﹣1是关于x的方程x2+mx﹣5=0的一个根，则方程的另一个根x =__________，
1 2
m=__________．
12．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE丄AB于点E，PF丄AD于点F，PF=6
cm，则P点到AB的距离是__________．
13．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为
0.36，则水塘有鲢鱼__________尾．
14．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE=2：3，BF=10，那么线段DF的长为__________．
第 2 页 共 17 页15．已知x2+8x+m2是完全平方式，则m的值是__________．
16．如图， ▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使
▱ABCD是矩形．
17．已知两个相似三角形的周长比为2：5，则它们的对应边上的中线之比为__________．
18．如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那
么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的概率为__________．
三、解答题（本题共66分）
19．用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣4x+1=0
（2）x（x﹣3）2=x3﹣9．
20．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，DE=2，BC=5，S
△ABC
=40，求S四边形
．
BCED
21．已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得
EF=BE，连接CF．
求证：四边形BCFE是菱形．
22．已知关于x的一元二次方程2x2+ax+a﹣3=0．
第 3 页 共 17 页（1）证明无论a为何值该方程都有两个不相等的实根．
（2）若两实数根的平方和为4 ，求a的值．
23．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？
说明理由．
24．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标
有数 字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所
在区域的数字之和为偶数 时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则
需要重新转动转盘．
（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
25．如图，巳知 AB丄BD，CD丄BD．
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形
与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角
形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．
第 4 页 共 17 页九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2+ =0 B．x2+3x=x2﹣1 C．（x﹣1）（x﹣2）=2 D．3x2﹣2y=0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：关于x的一元二次方程的是（x﹣1）（x﹣2）=2．
故选C．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．下列性质中正方形具有而菱形没有的是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
【考点】正方形的性质；菱形的性质．
【分析】菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分．
【解答】解：因为菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分．
所以对角线相等是正方形具有而菱形不具有的．
故选B．
【点评】本题考查菱形的性质和正方形的性质，要熟记菱形和正方形的性质．
3．投掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，朝上一面的点数为3的次数大约是( )
A．100次 B．200次C．300次D．400次
【考点】概率公式．
【分析】由投掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为3的概率为： ，利用概率公式
求解即可求得答案．
【解答】解：∵投掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为3的概率为： ，
∴投掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，朝上一面的点数为3的次数大约是：600× =100
（次）．
故选A．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．若 ，则 的值为( )
第 5 页 共 17 页A． B． C． D．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据比例的性质，由 可得出， = = ．
【解答】解：根据比例的性质，
由 得， = = ．
故选A．
【点评】本题考查了比例的合比性质，学生熟练掌握比例的几个性质，是正确解答的基础．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是( )
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法．
【分析】方程没有实数根，则△＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：由题意知，△=4﹣4m＜0，
∴m＞1
故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
6．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的
长是( )
A．3B．4C．5D．7
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】根据矩形的性质和EF⊥EC，EF=EC求证△AEF≌△DCE，可得AE=CD，再利用矩形的
周长为16，即可求出AD，然后用AD减DE即可得出答案．
【解答】解：∵矩形ABCD中，EF⊥EC，
∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°
∴∠AEF=∠DCE，
又∵EF=EC，
∴△AEF≌△DCE，
第 6 页 共 17 页∴AE=CD，
∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16，
∴CD+AD=8，
∴AD﹣2+AD=8，
AD=5，
∴AE=AD﹣DE=5﹣2=3．
故选A．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形性质的理解和掌握，解答此题
的关键是求证△AEF≌△DCE．
7．某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，其中丁跑第一棒，丙跑第
二棒的概率是
( )
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看乙跑第二棒的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：画树状图得：
甲跑第一棒有6种情况，同理，乙丙丁跑第一棒也各有6种情况，共有24种情况，其中甲跑第
一棒，乙跑第二棒的情况数有2种，所以概率为 = ．
故选B．
【点评】本题考查了概率的求法；得到所求的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
8．如图，要判断△ADE与△ACB相似，添加一个条件，不正确的是( )
A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C．AE：DE=AB：BC D．AE：AD=AB：AC．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：由图得：∠A=∠A
∴当∠ADE=∠C或∠ADE=∠B或AE：AD=AB：AC时，△ADE与△ACB相似；
C选项中∠A不是成比例的两边的夹角，不能判定△ADE与△ACB相似．
第 7 页 共 17 页故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
9．如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
则△DEF与△ABC的面积比是( )
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2
【考点】位似变换．
【专题】计算题．
【分析】根据两三角形为位似图形，且点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
求出两三角形的位似比，根据面积之比等于位似比的平方即可求出面积之比．
【解答】解：∵△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的
中点，
∴两图形的位似之比为1：2，
则△DEF与△ABC的面积比是1：4．
故选C．
【点评】此题考查了位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比
等于相似比的平方．
10．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%，
若毎件商品售价定为x元，则可卖出（170﹣5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的
售价应定为( )
A．20 B．20.8 C．20或30 D．30
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每件商品的售价应定为x元，则利润为（x﹣16），根据要盈利280元，列方程求解．
【解答】解：设每件商品的售价应定为x元，则利润为（x﹣16），
由题意得，（170﹣5x）（x﹣16）=280，
解得：x =20，x =30，
1 2
∵每件商品的利润不得超过30%，
∴x=30不合题意，舍去．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合
适的等量关系，列方程求解．
二、填空题（本大题有8小题，每题3分，共24分）
11．若x =﹣1是关于x的方程x2+mx﹣5=0的一个根，则方程的另一个根x =5，m=﹣4．
1 2
第 8 页 共 17 页【考点】一元二次方程的解．
【分析】首先将方程的一个根代入方程求得m的值，然后利用两根之积求得另一根即可．
【解答】解：根据题意，得
1﹣m﹣5=0，
解得，m=﹣4；
由韦达定理，知
x ×x =﹣5；
1 2
解得x =5．
2
故答案是：5，﹣4．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系x +x =
1 2
﹣ 、x •x = 来计算时，要弄清楚a、b、c的意义．
1 2
12．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE丄AB于点E，PF丄AD于点F，PF=6
cm，则P点到AB的距离是6cm．
【考点】菱形的性质；角平分线的性质．
【分析】先根据菱形的性质得出AC是∠DAB的平分线，再根据角平分线的性质即可得出结
论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，P为菱形ABCD的对角线上的一点，
∴AC是∠DAB的平分线，
∵PE⊥ AD，PF⊥AB，PF=6cm，
∴PE=PF=6cm．
故答案为6cm．
【点评】本题考查了菱形的性质以及角平分线的性质，熟记即角的平分线上的点到角的两边
的距离相等是解题关键．
13．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为
0.36，则水塘有鲢鱼6400 尾．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】由于水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，而鲤鱼出现的频率为31%，由此得到水塘有鲢
鱼的频率，然后乘以总数即可得到水塘有鲢鱼又多少尾．
【解答】解：∵水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，
一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，
∴鲤鱼出现的频率为64%，
∴水塘有鲢鱼有10000×64%=6400尾．
故答案为：6400．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率的思想，首先通过实验得到事件的频率，然后即可
估计事件的概率．
第 9 页 共 17 页14．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE=2：3，BF=10，那么线段DF的长为6．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出 = = ，再根据DF=BF× 代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ = = ，
∵BF=10，
∴DF=10× =6；
故答案为；6．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键
是找准对应关系，列出比例式．
15．已知x2+8x+m2是完全平方式，则m的值是±4．
【考点】完全平方式．
【专题】计算题．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+8x+m2是完全平方式，
∴m2=16，
则m=±4，
故答案为：±4
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．如图， ▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD（只添一个即可），使
▱ABCD是矩形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【专题】开放型．
【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
【解答】解：添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
第 10 页 共 17 页故答案为：AC=BD．
【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是
一道开放型的题目，答案不唯一．
17．已知两个相似三角形的周长比为2：5，则它们的对应边上的中线之比为 2 ： 5 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的周长比求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质得到答
案．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：5，
∴两个相似三角形的相似比为2：5，
∴它们的对应边上的中线之比为2：5，
故答案为：2：5．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的
对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
18．如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那
么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的概率为 ．
【考点】概率公式；根的判别式．
【专题】压轴题．
【分析】从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有12种结
果，且每种结果出现的机会相同，关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的条件是：
4（m2﹣n2）≥0，在上面得到的数对中共有9个满足．
【解答】解：从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数则共有：
4×3=12种结果，
∵满足关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根，则△=（﹣2m）2﹣4n2=4（m2﹣n2）
≥0，符合的有9个，
∴关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2=0有实数根的概率为 ．
【点评】本题是概率与一元二次方程的根的判别式相结合的题目．正确理解列举法求概率的
条件以及一元二次方程有根的条件是关键．
三、解答题（本题共66分）
19．用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣4x+1=0
（2）x（x﹣3）2=x3﹣9．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程移项后，利用配方法求出解即可；
（2）方程移项整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣4x=﹣1，
配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3，
第 11 页 共 17 页开方得：x﹣2=± ，
解得：x =2+ ，x =2﹣ ；
1 2
（2）方程整理得：x3﹣6x2+9x=x3﹣9，
整理得：2x2﹣3x﹣3=0，
这里a=2，b=﹣3，c=﹣3，
∵△=9+24=33，
∴x= ．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法与公式法，熟练掌握各种解法是解本题的
关键．
20．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，DE=2，BC=5，S
△ABC
=40，求S四边形
．
BCED
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的性质，可得 ，根据面积的和差，可得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = = ，
S = •S = ×40=6.4，
△ADE △ABC
S四边形BCED =S
△ABC
﹣S
ADE
=40﹣6.4=33.6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质：面积的比是相似比的平方．
21．已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得
EF=BE，连接CF．
求证：四边形BCFE是菱形．
第 12 页 共 17 页【考点】菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四
边形BCFE是菱形．
【解答】解：∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=2DE．
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE且DE∥BC．
∴EF=BC．
又EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又EF=BE，
∴四边形BCFE是菱形．
【点评】此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性质和判定．
22．已知关于x的一元二次方程2x2+ax+a﹣3=0．
（1）证明无论a为何值该方程都有两个不相等的实根．
（2）若两实数根的平方和为4 ，求a的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）先根据根与系数的关系求出“△”，再根据“△”的值推出即可；
（2）设方程的两个根为x ，x ，根据根与系数的关系得出x +x =﹣ ，x •x = ，根据两实数
1 2 1 2 1 2
根的平方和为4 得出关于a的方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：△=a2﹣4×2×（a﹣3）=a2﹣8a+24
=（a﹣4）2+8，
因为不论a为何值，（a﹣4）2+8＞0，
所以△＞0，
所以无论a为何值该方程都有两个不相等的实根；
（2）解：设方程的两个根为x ，x ，
1 2
根据根与系数的关系得：x +x =﹣ ，x •x = ，
1 2 1 2
∵两实数根的平方和为4 ，
第 13 页 共 17 页∴x 2+x 2=4 ，
1 2
∴x 2+x 2=（x +x ）2﹣2•x •x =（﹣ ）2﹣2• =4 ，
1 2 1 2 1 2
即a2﹣4a﹣5=0，
解得：a =5，a =﹣1，
1 2
即a的值是5或﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此
题的关键，题目比较好，难度适中．
23．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？
说明理由．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；
（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
第 14 页 共 17 页∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质．
24．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标
有数 字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所
在区域的数字之和为偶数 时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则
需要重新转动转盘．
（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为
偶数情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）分别求得甲、乙两人获胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两数之和为偶数的有2种情况；
∴甲获胜的概率为： = ；
（2）不公平．
理由：∵数字之和为奇数的有4种情况，
∴P（乙获胜）= = ，
∴P（甲）≠P（乙），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相
等就公平，否则就不公平．
第 15 页 共 17 页25．如图，巳知 AB丄BD，CD丄BD．
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形
与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角
形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】计算题．
【分析】（1）设BP=x，则PD=10﹣x，由于∠B=∠D，根据两组对应边的比相等且夹角对应相
等的两个三角形相似，则当 = 时，△ABP∽△PDC，即 = ，当 = 时，
△ABP∽△CDP，即 = ，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长；
（2）设BP=x，则PD=12﹣x，与（1）解答一样，易得 = 或 = ，然后分别解方程求
出x的值即可得到BP的长．
【解答】解：（1）存在．
设BP=x，则PD=10﹣x，
∵∠B=∠D，
∴当 = 时，△ABP∽△PDC，即 = ，
整理得x2﹣10x+36=0，此方程没有实数解；
当 = 时，△ABP∽△CDP，即 = ，即解得x= ，
即BP的长为 ；
（2）存在2个P点．
设BP=x，则PD=12﹣x，
∵∠B=∠D，
∴当 = 时，△ABP∽△PDC，即 = ，
整理得x2﹣12x+36=0，解得x =x =6；
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当 = 时，△ABP∽△CDP，即 = ，即解得x= ，
即BP的长为6或 ．
第 16 页 共 17 页【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形
相似．注意分类讨论思想的运用．
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