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八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．周长相等的锐角三角形都全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等
D．周长相等的等腰直角三角形都全等
2．（3分）若a＜b，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．5a＜5b C．a﹣b＜0 D．﹣5a＜﹣5b
3．（3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm
4．（3分）不等式1+x＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，直线y =x+b与y =kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等
1 2
式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
6．（3分）已知不等式组 的解集为x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
7．（3分）函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为
（ ）
A．x＞0B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
第 1 页 共 17 页8．（3分）一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．（3分）已知函数y=（3﹣m）x+m﹣1的图象过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＜1 C．不存在 D．1＜m＜3
10．（3分）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M．以下结
论：
①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长
C△BCD =AB+BC；④△ADM≌△BCD．
正确的有（ ）
A．①②B．①③ C．②③ D．③④
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 ．
12．（3分）边长为2的等边三角形的面积为 ．
13．（3分）反证法证明“三角形中至少有一个角不少于60°”先应假设这个三角形中 ．
14．（3分）已知2x﹣y=0，且x﹣5＞y，则x的取值范围是 ．
15．（3分）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符
合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值
为 cm．
16．（3分）若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＞ ，则a的取值范围是 ．
17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，斜边AB的垂直平分线与∠CAB的平分线都
交BC于D点，则点D到斜边AB的距离为 ．
18．（3分）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件
为 ．（答案不唯一，只需填一个）
第 2 页 共 17 页三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（10分）解不等式并把解集表示在数轴上：
（1） ＞1﹣
（2）2（x+1）﹣1≥3x+2．
20．（6分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
21．（6分）解一元一次不等式组 ．
22．（8分）每年的5月20日是中国学生营养日，而我县近几年在校吃饭的学生越来越多，去
年，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取
了一份快餐的信息．（如表）．
若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这
份快餐最多含有多少克的蛋白质？
23．（8分）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D点在
∠BAC的平分线上．
24．（8分）如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰
三角形．
第 3 页 共 17 页25．（10分）如图，已知AB=EF，AD=CE，BC⊥AE，FD⊥AE．求证：
（1）BC=FD；
（2）AB∥EF．
26．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC．
（1）求∠PAQ的度数；
（2）如果BC=10cm，求△APQ的周长．
第 4 页 共 17 页八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2011•上海）下列命题中，真命题是（ ）
A．周长相等的锐角三角形都全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等
D．周长相等的等腰直角三角形都全等
【分析】全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验．
【解答】解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1： ，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，
对应边相等，故全等，真命题．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念．关键是明确全等三角
形的对应边相等，对应角相等．
2．（3分）（2014秋•屯溪区校级期末）若a＜b，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．5a＜5b C．a﹣b＜0 D．﹣5a＜﹣5b
【分析】据不等式的性质分析判断．
【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时加上5，原不等式仍然成立，即a+5＜b+5．故本选项
正确；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以5，原不等式仍然成立，即5a＜5b．故本选项正确；
C、在不等式a＜b的两边同时减去b，原不等式仍然成立，即a﹣b＜0．故本选项正确；
D、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣5，不等号的方向发生改变，即﹣5a＞﹣5b；故本选项错
误．
故选D．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问
题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）（2014•防城港）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是
（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm
【分析】设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，
∴设AB=AC=x cm，则BC=（20﹣2x）cm，
第 5 页 共 17 页∴ ，
解得5cm＜x＜10cm．
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等
是解答此题的关键．
4．（3分）（2013•福州）不等式1+x＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出不等式的解集，即可作出判断．
【解答】解：1+x＜0，
解得：x＜﹣1，
表示在数轴上，如图所示：
故选：A．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，把每个不等式的解
集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数
轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．
有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心
圆点表示．
5．（3分）（2015春•太原期末）如图，直线y =x+b与y =kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为
1 2
﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y=x+b的图象都在y=kx﹣1的图象上方，所以
不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：B
第 6 页 共 17 页【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线
y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（3分）（2016春•东明县期中）已知不等式组 的解集为x＞3，则m的取值范围是（
）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【分析】利用不等式组取解集的方法是解本题的关键．
【解答】解：∵不等式组 的解集为x＞3，
∴m≤3，
故选D
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．
7．（3分）（2016•皇姑区二模）函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等
式kx+b＞0的解集为（ ）
A．x＞0B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解
集．
【解答】解：函数y=kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选C．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，注意几个关键点
（交点、原点等），做到数形结合．
8．（3分）（2015•广元）一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可得
出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣0.5，
第 7 页 共 17 页解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为﹣0.5＜x≤5，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，
故选C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据
不等式的解集求出不等式组的解集．
9．（3分）（2016春•东明县期中）已知函数y=（3﹣m）x+m﹣1的图象过第一、二、四象限，则
m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＜1 C．不存在 D．1＜m＜3
【分析】若函数y=kx+b的图象过一、二、四象限，则此函数的k＜0，b＞0，据此求解．
【解答】解：∵函数y=（3﹣m）x+m﹣1的图象过一、二、四象限，
∴3﹣m＜0，m﹣1＞0
解得1＜m＜3，
故选D．
【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系
数和常数项．
10．（3分）（2011秋•中江县期末）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB
于D，AC于M．以下结论：
①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长
C△BCD =AB+BC；④△ADM≌△BCD．
正确的有（ ）
A．①②B．①③ C．②③ D．③④
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理由AB=AC，∠A=36°可得到
∠B=∠ACB=72°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质有
∠ACD=∠A=36°，可计算出∠BCD=72°﹣36°=36°，∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，则
CB=CD，可对①进行判断；根据三角形的角平分线的定义可对②进行判断；根据DA=DC和
三角形周长的定义可得到△BCD的周长C△BCD =DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，则可对
③进行判断；由于△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形，
可对④进行判断．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵AC的垂直平分线MN交AB于D，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∴∠BCD=72°﹣36°=36°，
第 8 页 共 17 页∴∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形，所以①正确；
∵∠BCD=36°，∠ACD=36°，
∴CD平分∠ACB，
∴线段CD为△ACB的角平分线，所以②错误；
∵DA=DC，
∴△BCD的周长C△BCD =DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，所以③正确；
∵△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形，
∴△ADM不等全等于△BCD，所以④错误．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，
那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质以及等
腰三角形的判定与性质．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2016•淮安模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C
的度数为 55 ° ．
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角
形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C= （180°﹣70°）=55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关
键．
12．（3分）（2016春•东明县期中）边长为2的等边三角形的面积为 ．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形
ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解
题．
【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，
∴BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
第 9 页 共 17 页∴AD= = = ，
∴S△ABC = BC•AD= ×2× = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关
键．
13．（3分）（2016春•东明县期中）反证法证明“三角形中至少有一个角不少于60°”先应假设
这个三角形中 每个内角都小于 60 ° ．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可．
【解答】解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即三角形的三个内角都小于60°．
故答案为：每个内角都小于60°．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设
出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
14．（3分）（2016春•东明县期中）已知2x﹣y=0，且x﹣5＞y，则x的取值范围是 x ＜ ﹣ 5 ．
【分析】由2x﹣y=0，得y=2x，把y代入x﹣5＞y求解即可．
【解答】解：由于2x﹣y=0，则y=2x，
∴x﹣5＞y就是x﹣5＞2x，
解得x＜﹣5，则x的取值范围是x＜﹣5．
故本题答案为：x＜﹣5．
【点评】把2x﹣y=0，且x﹣5＞y转化为关于x的不等式，是解决本题的关键．
15．（3分）（2014•南京）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，
某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱
的长的最大值为 7 8 cm．
【分析】设长为3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，解出
即可．
【解答】解：设长为3x，宽为2x，
由题意，得：5x+30≤160，
解得：x≤26，
故行李箱的长的最大值为78．
故答案为：78cm．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的额关键是仔细审题，找到不等关系，
建立不等式．
第 10 页 共 17 页16．（3分）（2015春•故城县期末）若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＞ ，则a的取
值范围是 a ＜ 1 ．
【分析】根据不等式的性质2，可得答案．
【解答】解：由关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＞ ，得
1﹣a＞0．
解得a＜1，
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不
变．
17．（3分）（2012秋•鼓楼区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，斜边AB的垂直
平分线与∠CAB的平分线都交BC于D点，则点D到斜边AB的距离为 5 ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角
的性质可得∠B=∠BAD，再根据三角形内角和定理列式求出∠B=30°，设AB的垂直平分线
与AB相交于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，根据直角三角
形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，然后根据BC=CD+BD列式计算即可
得解．
【解答】解：∵斜边AB的垂直平分线与BC相交于D点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
即3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∴BD=2DE，
∵BC=15，
∴CD+BD=DE+BD=DE+2DE=3DE=15，
∴DE=5，
即点D到斜边AB的距离为5．
故答案为：5．
第 11 页 共 17 页【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的
点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，
综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
18．（3分）（2013•临夏州）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添
加的一个条件为 AC=CD ．（答案不唯一，只需填一个）
【分析】可以添加条件AC=CD，再由条件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上条件
CB=EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：添加条件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中 ，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：AC=CD（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有
两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（10分）（2016春•东明县期中）解不等式并把解集表示在数轴上：
（1） ＞1﹣
（2）2（x+1）﹣1≥3x+2．
【分析】（1）利用不等式的基本性质，把不等式两边都乘以6，再去括号、移项、合并同类项，
最后系数化为1，即可求得原不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可；
（2）先去括号、再移项、合并同类项，即可求得原不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来
即可．
【解答】解：（1）去分母得，2x＞6﹣（x﹣3），
去括号得，2x＞6﹣x+3，
移项、合并同类项得，3x＞9，
第 12 页 共 17 页系数化为1得，x＞3．
在数轴上表示为：
（2）去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，
移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1；
合并同类项，得﹣x≥1；
系数化为1，得x≤﹣1．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变
符号这一点而出错，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或整式）不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数不等号的方向改变．
20．（6分）（2016春•海门市期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本
题的解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x ≥ 0 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x ≤ 1 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 0 ≤ x ≤ 1 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来，写出不等式组的解集即可．
【解答】解：（I）解不等式①，得x≥0．
故答案为：x≥0；
（II）解不等式②，得x≤1．
故答案为：x≤1；
（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示为：
；
（IV）原不等式组的解集为：0≤x≤1．
故答案为：0≤x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
第 13 页 共 17 页21．（6分）（2016•沂源县一模）解一元一次不等式组 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集
是解此题的关键．
22．（8分）（2016春•东明县期中）每年的5月20日是中国学生营养日，而我县近几年在校吃
饭的学生越来越多，去年，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食
品安全监督部门获取了一份快餐的信息．（如表）．
若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这
份快餐最多含有多少克的蛋白质？
【分析】设这份快餐含有x克的蛋白质，根据所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于
这份快餐总质量的70%，列出不等式，求解即可．
【解答】解：设这份快餐含有x克的蛋白质，
根据题意可得：x+4x≤400×70%，
解不等式，得x≤56．
答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出
不等式，本题的数量关系是所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的
70%．
23．（8分）（2011秋•隆子县校级期末）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且
BD=CD．求证：D点在∠BAC的平分线上．
第 14 页 共 17 页【分析】首先根据已知条件易证Rt△BDE≌Rt△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质
的逆定理可得D在∠BAC的平分线上．
【解答】证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴D在∠BAC的平分线上．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质的逆定理，首先证明
△BDE≌△CDF得出DE=DF是本题的关键．
24．（8分）（2016春•东明县期中）如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且
OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】要证明△ABC是等腰三角形，只需要证明∠ABC=∠ACB即可，根据题目中的条件可
以证明这两个角相等，本题得以解决．
【解答】证明：∵锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠OEB=∠ODC=90°，∠EOB=∠DOC，
∴∠EBO=∠DCO，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考察啊等腰三角形的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答问题．
第 15 页 共 17 页25．（10分）（2016春•东明县期中）如图，已知AB=EF，AD=CE，BC⊥AE，FD⊥AE．求证：
（1）BC=FD；
（2）AB∥EF．
【分析】（1）先证Rt△ABC≌Rt△EFD，则该全等三角形的对应边相等：BC=FD；
（2）由（1）中全等三角形的对应角相等得到∠A=∠E，则易得AB∥EF．
【解答】证明：（1）∵AD=CE，
∴AC=ED．
∵在Rt△ABC与Rt△EFD中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL），
∴BC=FD；
（2）由（1）知Rt△ABC≌Rt△EFD，则∠A=∠E，
∴AB∥EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定．常用的判定方法有AAS，SSS，
SAS，HL等．
26．（10分）（2016春•东明县期中）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别
垂直平分AB、AC．
（1）求∠PAQ的度数；
（2）如果BC=10cm，求△APQ的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，再根据等边
对等角的性质可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，然后根据三角形的内角和定理求出
∠B+∠C=60°，然后进行计算即可得解；
第 16 页 共 17 页（2）求出△APQ的周长=BC，然后代入数据即可得解．
【解答】解：（1）∵PM垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
同理，QA=QC，
∴∠QAC=∠C，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=120°﹣60°=60°；
（2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，
∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ的周长为10cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的
性质，熟记性质熟记解题的关键．
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