文档内容
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列说法中，正确的是( )
A．希望小学初一年级的367名同学中，至少有两个生日相同的概率是1
B．在投掷骰子时，连投两次点数相同的概率与连投两次点数都为1的概率相等
C．我们小组共8名同学，他们中肯定有两人在同一月过生日
D．一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定会中奖
2．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是( )
A．（x﹣1）2=2B．（x﹣1）2=4C．（x﹣1）2=1D．（x﹣1）2=7
3．已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x=0的两根，则x +x 的值是( )
1 2 1 2
A．0B．2C．﹣2 D．4
4．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )
A．菱形B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
5．若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，则x+y的值是( )
A．2B．3C．﹣2或3 D．2或﹣3
6．如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D（2，0）在OA
上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为( )
A．2 B． C．4D．6
7．如图A所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图B所示的图形并在其一面着
色，则着色部分的面积为( )
A．34cm2B．36cm2C．38cm2D．40cm2
第 1 页 共 20 页8．菱形的面积为24，其中的一条较短的对角线长为6，则此菱形的周长为( )
A．24 B．20 C．12 D．28
9．小明从家里出发到学校共经过3个路口，每个路口都有红绿灯，如果红绿灯亮的时间为20
秒，绿灯亮的时间为40秒，那么小明从家里出发到学校一路通行无阻的概率是( )
A． B． C． D．
10．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 、x ，且有x ﹣x x +x =1
1 2 1 1 2 2
﹣a，则a的值是( )
A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边
形ABOM的周长为__________．
12．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，则这个直角三角形
的斜边长为__________．
13．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，
则选出的恰为一男一女的概率是__________．
14．关于x的方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了
__________个人．如果不及时控制，第三轮将又有__________人被传染．
16．有四张不透明的卡片，证明分别标有22， ，0.1010010001…，4.4545除正面的数不同
外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概
率为__________．
17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1=35°，则
∠D=__________度．
第 2 页 共 20 页18．从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是__________．
19．如果一元二次方程x2+8x+7=0的两根分别为x 、x ，则x +x =__________，
1 2 1 2
x x =__________．
1 2
20．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改进技术，使今后两年的产量
都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件．若设这个百分数为x，
则可列方程__________．
三、解答题（共70分）
21．用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣4x+4=7
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8
（3）2x2﹣10=6
（4）x2﹣6x﹣16=0．
22．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣ +1）的值．
23．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
24．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若这个方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．
（1）求证：AD=AE；
第 3 页 共 20 页（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．
26．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y =1，y =4．
1 2
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1，x =﹣1，x =2，x =﹣2．
1 2 3 4
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用__________法达到__________的目的，体现了数
学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
27．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗
不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每
棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗
款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
28．在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个
白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：
每付3元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅
匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你10元钱的奖品．
（1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果；
（2）求出获奖的概率；
（3）如果有500个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走多少钱？
第 4 页 共 20 页九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列说法中，正确的是( )
A．希望小学初一年级的367名同学中，至少有两个生日相同的概率是1
B．在投掷骰子时，连投两次点数相同的概率与连投两次点数都为1的概率相等
C．我们小组共8名同学，他们中肯定有两人在同一月过生日
D．一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定会中奖
【考点】概率的意义；随机事件．
【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事
件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
【解答】解：A、希望小学初一年级的367名同学中，至少有两个生日相同，故A正确；
B、在投掷骰子时，连投两次点数相同的概率是 ，连投两次点数都为1的概率是 ，故B错
误；
C、8÷12= ＜1，故C错误；
D、一个游戏的中奖率是1%，只能说买100张奖券，有1%的中奖机会，故D错误．
故选A．
【点评】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是( )
A．（x﹣1）2=2B．（x﹣1）2=4C．（x﹣1）2=1D．（x﹣1）2=7
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】利用配方法解已知方程时，首先将﹣3变号后移项到方程右边，然后方程左右两边都
加上一次项系数一半的平方1，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，即可得到所
求的式子．
【解答】解：x2﹣2x﹣3=0，
移项得：x2﹣2x=3，
两边都加上1得：x2﹣2x+1=3+1，
即（x﹣1）2=4，
则用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是（x﹣1）2=4．
故选：B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动
方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化
为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
3．已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x=0的两根，则x +x 的值是( )
1 2 1 2
A．0B．2C．﹣2 D．4
第 5 页 共 20 页【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】利用根与系数的关系即可求出两根之和．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣2x=0的两根，
1 2
∴x +x =2．
1 2
故选B
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
4．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )
A．菱形B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
【考点】三角形中位线定理；菱形的判定．
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF= BD，要是四边形为菱形，得出
EF=EH，即可得到答案．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH= AC，EH∥AC，FG= AC，FG∥AC，EF= BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH= AC，EF= BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【点评】本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理
解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
5．若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，则x+y的值是( )
A．2B．3C．﹣2或3 D．2或﹣3
【考点】换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法．
【专题】换元法．
【分析】先设x+y=t，则方程即可变形为t2﹣t﹣6=0，解方程即可求得t即x+y的值．
【解答】解：设t=x+y，则原方程可化为：t（1﹣t）+6=0
即﹣t2+t+6=0
t2﹣t﹣6=0
第 6 页 共 20 页∴t=﹣2或3，即x+y=﹣2或3
故选C
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6．如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D（2，0）在OA
上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为( )
A．2 B． C．4D．6
【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质；正方形的性质 ．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】过D点作关于OB的对称点D′，连接D′A交OB于点P，由两点之间线段最短可知
D′A即为PA+PD的最小值，
由正方形的性质可求出D′点的坐标，再根据OA=6可求出A点的坐标，利用两点间的距离公
式即可求出D′A的值．
【解答】解：过D点作关于OB的对称点D′，连接D′A交OB于点P，由两点之间线段最短可知
D′A即为PA+PD的最小值，
∵D（2，0），四边形OABC是正方形，
∴D′点的坐标为（0，2），A点坐标为（6，0），
∴D′A= =2 ，即PA+PD的最小值为2 ．
故选A．
【点评】本题考查的是最短线路问题、正方形的性质及两点间的距离公式，具有一定的综合性，
但难度适中．
7．如图A所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图B所示的图形并在其一面着
色，则着色部分的面积为( )
第 7 页 共 20 页A．34cm2B．36cm2C．38cm2D．40cm2
【考点】翻折变换（折叠问题） ．
【专题】压轴题．
【分析】根据折叠的性质，已知图形的折叠就是已知两个图形全等．由图知，着色部分的面积
是原来的纸条面积减去两个等腰直角三角形的面积．
【解答】解：着色部分的面积=原来的纸条面积﹣两个等腰直角三角形的面积=20×2﹣2×
×2×2=36cm2．
故选B．
【点评】本题考查图形的折叠变化及等腰直角三角形的面积公式．关键是要理解折叠是一种
对称变换．
8．菱形的面积为24，其中的一条较短的对角线长为6，则此菱形的周长为( )
A．24 B．20 C．12 D．28
【考点】菱形的性质．
【分析】首先已知菱形的面积为24，列出等式可求出另一条对角线的长．又因为菱形的对角线
互相垂直平分，故可求出OB，OA的长，利用勾股定理求出菱形的边长继而求出菱形的周长．
【解答】解：如图，BD=6．
∵菱形的面积= ×BD×AC= ×6×AC=24，
∴AC=8．
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴OB=3，OA=4，∠AOB=90°．
∴AB=5．
∴菱形的周长为4×5=20．
故选B．
【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的运用，正确理解菱形的对角线的对角
线互相平分且互相垂直是关键．
第 8 页 共 20 页9．小明从家里出发到学校共经过3个路口，每个路口都有红绿灯，如果红绿灯亮的时间为20
秒，绿灯亮的时间为40秒，那么小明从家里出发到学校一路通行无阻的概率是( )
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】由于绿灯亮的时间为红灯的两倍，则假设每个路口有两次量绿灯，一次亮红灯，则可
画树状图展示所有27种等可能的结果数，再找出三次都是绿灯的结果数，然后根据概率公式
求解．
【解答】解：因为红绿灯亮的时间为20秒，绿灯亮的时间为40秒，所以假设每个路口有两次
量绿灯，一次亮红灯，
画树状图为：
共有27种等可能的结果数，其中三次都是绿灯的结果数为8，
所以小明从家里出发到学校一路通行无阻的概率= ．
故选C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
10．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 、x ，且有x ﹣x x +x =1
1 2 1 1 2 2
﹣a，则a的值是( )
A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据根与系数的关系得出x +x =﹣ ，x x = ，整理原式即可得出关于a的方程求出
1 2 1 2
即可．
【解答】解：依题意△＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，
即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1，
∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 、x ，且有x ﹣x x +x =1﹣
1 2 1 1 2 2
a，
∴x ﹣x x +x =1﹣a，
1 1 2 2
∴x +x ﹣x x =1﹣a，
1 2 1 2
∴ ﹣ =1﹣a，
解得：a=±1，又a≠1，
第 9 页 共 20 页∴a=﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，由x ﹣x x +x =1﹣a，得出x +x ﹣x x =1﹣a是解
1 1 2 2 1 2 1 2
决问题的关键．
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边
形ABOM的周长为20．
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC
的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形
ABOM的周长．
【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM= CD= AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC= =13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO= AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
12．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，则这个直角三角形
的斜边长为 ．
【考点】勾股定理；解一元二次方程-因式分解法．
【专题】换元法．
【分析】根据勾股定理c2=a2+b2代入方程求解即可．
【解答】解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长
设斜边为c，
∴（a2+b2）（a2+b2+1）=12，根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12=0
即（c2﹣3）（c2+4）=0，
∵c2+4≠0，
∴c2﹣3=0，
第 10 页 共 20 页解得c= 或c=﹣ （舍去）．
则直角三角形的斜边长为 ．
故答案为：
【点评】本题考查的是利用勾股定理求直角三角形的斜边，需同学们灵活掌握．
13．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，
则选出的恰为一男一女的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】此题可以借助于列表法求解，一共有20种情况记为m，其中选出的恰为一男一女的
有12种情况记为n，根据概率公式可知选出的恰为一男一女的概率是 = ．
【解答】解：列表得：
男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2
男1，女1 男2，女1 男3，女1 女2，女1
男1，男3 男2，男3 女1，男3 女2，男3
男1，男2 男3，男2 女1，男2 女2，男2
男2，男3 男3，男1 女1，男1 女2，男1
∴一共有20种情况，选出的恰为一男一女的有12种情况；
∴选出的恰为一男一女的概率是 = ．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知
识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．关于x的方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣ ．
【考点】根的判别式．
【分析】由方程根的情况可得方程根的判别式△＞0，得到关于k的不等式，解不等式即可求
得k的范围．
【解答】解：
∵关于x的方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即（﹣3）2+4k＞0，
解得k＞﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的应用，由方程根的情况得到关于k
的不等式是解题的关键．
15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了
7 个人．如果不及时控制，第三轮将又有448 人被传染．
【考点】一元二次方程的应用．
第 11 页 共 20 页【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可
求出x，从而求解．
【解答】解：设一个患者一次传染给x人，由题意，得
x（x+1）+x+1=64，
解得：x =7，x =﹣9（舍去），
1 2
第三轮被传染的人数是：64×7=448人．
故答案为：7，448．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时
根据两轮共传染了64人建立方程是关键．
16．有四张不透明的卡片，证明分别标有22， ，0.1010010001…，4.4545除正面的数不同
外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概
率为 ．
【考点】概率公式；无理数．
【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵22， ，0.1010010001…，4.4545中无理数有： ，0.1010010001…共2个，
∴抽到写有无理数卡片的概率= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解答此题的关键．
17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1=35°，则
∠D=110 度．
【考点】梯形．
【分析】先根据平行线的性质和AD=CD求出∠DAC与∠DCA都等于∠1的度数，再根据三
角形内角和定理即可求出．
【解答】解：∵梯形ABCD中，AB∥CD
∴∠DCA=∠CAB
∵AD=CD
∴∠DCA=∠DAC
又∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF∥AC，∠1=∠CAB=∠DCA=∠DAC=35°
在△ADC中，∠DCA=∠DAC=35°
∴∠D=180°﹣∠DCA﹣∠DAC
=180°﹣35°﹣35°
第 12 页 共 20 页=110°
故应填110．
【点评】解答此题要用到以下概念：（1）三角形的内角和等于180°，（2）两直线平行，同位角相
等．平行线的性质和三角形内角和定理是主要考查点．
18．从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机抽取两个数
相乘，积是正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，随机抽取两个数相乘，积是正数的有2种情况，
∴随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上
完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19．如果一元二次方程x2+8x+7=0的两根分别为x 、x ，则x +x =﹣8，x x =7．
1 2 1 2 1 2
【考点】根与系数的关系．
【分析】直接利用根与系数的关系得出答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+8x+7=0的两根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x =﹣8，x x =7．
1 2 1 2
故答案为：﹣8，7．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是会利用根与系数的关系来求
方程中的字母系数．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x +x =﹣ ，x •x =
1 2 1 2
．
20．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改进技术，使今后两年的产量
都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件．若设这个百分数为x，
则可列方程 200+200 （ 1+x ） +200 （ 1+x ） 2 =1400 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
第 13 页 共 20 页【分析】根据题意：设这个百分数为x，根据第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量
=1400，由此列出方程解答即可．
【解答】解：设这个百分数为x，由题意得
200+200（1+x）+200（1+x）2=1400．
故答案为：200+200（1+x）+200（1+x）2=1400．
【点评】本题考查由实际问题抽象出实际问题，对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年
的总产量做等量关系可列出方程．
三、解答题（共70分）
21．用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣4x+4=7
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8
（3）2x2﹣10=6
（4）x2﹣6x﹣16=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）利用直接开平方法求出方程的解；
（2）首先去括号，然后利用因式分解法求出方程的解；
（3）首先常数项进行合并，然后把二次项系数化为1，最后利用直接开平方法求解；
（4）利用因式分解法求方程的解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+4=7，
∴（x﹣2）2=7，
∴x﹣2=± ，
∴x =2 ，x =2﹣ ；
1 2
（2）∵（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8，
∴x2﹣1+2x+6=8，
∴x2+2x﹣3=0，
∴（x+3）（x﹣1）=0，
∴x+3=0或x﹣1=0，
∴x =﹣3，x =1；
1 2
（3）∵2x2﹣10=6，
∴x2=8，
∴x =2 ，x =﹣2 ；
1 2
（4）∵x2﹣6x﹣16=0，
∴（x﹣8）（x+2）=0，
∴x﹣8=0或x+2=0，
∴x =8，x =﹣2．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
第 14 页 共 20 页22．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣ +1）的值．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】整体思想．
【分析】把x=m代入方程中得到关于m的一元二次方程，由方程分别表示出m2﹣m和m2﹣
2，分别代入所求的式子中即可求出值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，
∴m2﹣m﹣2=0，
∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，
∴原式=
=
=2×2=4．
【点评】此题考查学生理解一元二次方程解的意义，掌握整体代入的数学思想，是一道综合题．
23．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定 ．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根
据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．
理由如下：∵D是AB的中点，
∴BD= AB，
第 15 页 共 20 页∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，
∵AB=BC，
∴BD=DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判
定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．
24．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若这个方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△=[﹣（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据非负数的值得
到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
]
（2）利用因式分解法解方程得到（x﹣1）（mx﹣2）=0，解得x =1，x = ，这个方程的两个实数
1 2
根都是整数，分析 为整数确定正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
△ =[﹣（m+2） 2﹣4m×2
=m2﹣4m+4
]
=（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：mx2﹣（m+2）x+2=0，
（x﹣1）（mx﹣2）=0，
x﹣1=0或mx﹣2=0，
∴x =1，x = ，
1 2
当m为正整数1或2时，x 为整数，
2
即方程的两个实数根都是整数，
正整数m的值为1或2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．
第 16 页 共 20 页【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理 ．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）连接AC，证明△ADC与△AEC全等即可；
（2）设AB=x，然后用x表示出BE，利用勾股定理得到有关x的方程，解得即可．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AD⊥DC，AE⊥BC，
∴∠D=∠AEC=90°，
∵AC=AC，
∴ ，
∴△ADC≌△AEC，（AAS）
∴AD=AE；
（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，
设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，
在Rt△ABE中∠AEB=90°，
由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，
解得：x=10，
∴AB=10．
说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．
第 17 页 共 20 页【点评】本题考查梯形，矩形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助
线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．
26．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y =1，y =4．
1 2
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1，x =﹣1，x =2，x =﹣2．
1 2 3 4
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
【考点】换元法解一元二次方程．
【专题】阅读型．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求
解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【解答】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得y =6，y =﹣2．
1 2
由x2+x=6，得x =﹣3，x =2．
1 2
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x =﹣3，x =2．
1 2
【点评】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，
并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
27．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗
不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每
棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗
款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）=8800，进而得出即可．
【解答】解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，
]
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120﹣0.5（x﹣60） =8800，
解得：x =220，x =80．
1 2
]
当x=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，
∴x=220（不合题意，舍去）；
当x=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，
∴x=80．
答：该校共购买了80棵树苗．
第 18 页 共 20 页【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1
棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”得出方程是解题关键．
28．在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个
白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：
每付3元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅
匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你10元钱的奖品．
（1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果；
（2）求出获奖的概率；
（3）如果有500个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走多少钱？
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）通过画树状图可展示所有36种等可能的结果数；
（2）找出前后两次摸得的都是白球的结果数，然后根据概率公式求解；
（3）500人获奖的人数为500× ，摊主付出的钱为500× ×10，然后用总收入减去付出的钱即
可．
【解答】解：（1）画树状图：
共有36种等可能的结果数；
（2）前后两次摸得的都是白球的结果数为9，
所以获奖的概率= = ；
（3）500×3﹣500× ×10=250（元），
即摊主可能会从这些人身上骗走250元．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
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