文档内容
七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）“a是有理数，|a|≥0”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
2．（3分）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各式计算结果正确的是（ ）
A．a+a=a2 B．（3a）2=6a2C．（a+1）2=a2+1 D．a•a=a2
4．（3分）如图，已知AB⊥CB于点B，AC⊥DC于点C，则下列判断不正确的是（ ）
A．AB＜AC B．AD＜BC C．AC＜AD D．BC＜AC
5．（3分）若一个等腰三角形的一个角是45度，则这个三角形的顶角是（ ）
A．45° B．67.5° C．45°或67.5°D．45°或90°
6．（3分）若（x2+mx+1）（x﹣2）的积中x的二次项系数为零，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1 C．﹣2 D．2
7．（3分）如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中不正确的是（ ）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC
8．（3分）如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径；机
器人从A点出发，到达B点，第一次拐的∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角
是∠D，这时机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，那么∠D的度数是（ ）
A．100° B．120° C．140° D．90°
9．（3分）如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示
空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8
日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优
良的概率是（ ）
第 1 页 共 18 页A． B． C． D．
10．（3分）小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文
的电子文稿，接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，
过了一小会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成，设从录入文稿开始所经过
的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x之间的关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）计算：（3﹣x）0﹣2﹣2= ．
12．（3分）在△ABC中，若AB=5，BC=2，且AC的长为奇数，则AC= ．
13．（3分）如图，已知∠1=70°，∠2=70°，∠3=60°，则∠4= 度．
14．（3分）一台微波炉的成本是a元，销售价比成本增加22%，因库存积压按销售价的60%出
售，则每台实际售价P（元）与成本a（元）之间的关系式是 ．
15．（3分）已知（a+b）2=9，ab=﹣ ，则a2+b2的值等于 ．
16．（3分）如图，在一个正方形围栏中均匀散布着许多米粒，正方形内画有一个圆．一只小鸡
在围栏内啄食，则“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为 ．
第 2 页 共 18 页17．（3分）如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交
OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB=10cm，CA=4cm．则△OBC的面
积为 cm2．
18．（3分）如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，
连接PQ交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（ ）
A． B． C． D．不能确定
三、解答题（共66分）
19．（6分）经测定声音在空气中传播的速度（简称声速）y（m/s）和气温x（℃）的关系式为y=
x+331，如果气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到响声，那么此人与燃放烟花所
在地大约相距多远？
20．（6分）如图，已知线段a和h．
求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
21．（8分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x），其中x=﹣2，y=1．
22．（8分）如图：平行线AB、CD被直线AE所截．
（1）写出∠AFD的对顶角；
（2）写出∠AFD的邻补角；
（3）如果∠BAF=100°，求∠AFD和∠AFC的度数．
23．（9分）在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直
线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．
第 3 页 共 18 页24．（9分）如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E、F，又知D是EF的中点，△BED与△CFD
全等吗？为什么？
25．（10分）某商场购进一批名牌衬衫，要求一等品的数量12850件左右，请问该商场应购进
多少件这样的衬衫？下面是该部门经理随机抽查一些衬衫后，统计得到的一等品的频率变
化表：
抽查数n 100 200 1500 2000 2500
一等品数m 94 1430 1902
一等品频率 0.97 0.95
（1）把表格补充完整（结果保留两位小数）；
（2）任意抽取1件衬衫，抽得一等品的概率约为多少？
（3）你能求得商场应购进多少件这样的衬衫吗？
26．（10分）如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，DA⊥AB，点E在
CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．
（1）试说明：△ABC≌△ADE；
（2）试说明CA平分∠BCD；
（3）如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，试说明：∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．
第 4 页 共 18 页第 5 页 共 18 页七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）（2016春•鄄城县期末）“a是有理数，|a|≥0”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
【分析】首先判断命题的真假，然后根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念即可求解．
【解答】解：“a是有理数，|a|≥0”是真命题，即“a是有理数，|a|≥0”这一事件是必然事件．
故选A．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念的应用，解此题的关键是需要正
确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件
下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（3分）（2013•绵阳）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫做对称轴，找到各选项中的对称轴即可．
【解答】解：A、有一条对称轴，故本选项正确；
B、没有对称轴，故本选项错误；
C、有两条对称轴，故本选项错误；
D、有两条对称轴，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握轴对称图及对称轴的定义，属于基础
题．
3．（3分）（2015•温州二模）下列各式计算结果正确的是（ ）
A．a+a=a2 B．（3a）2=6a2C．（a+1）2=a2+1 D．a•a=a2
【分析】根据积的乘方，把每个因式分别乘方，再把所得的积相乘；同底数幂相乘，底数不变指
数相加；完全平方公式，对各选项分析后利用排除法求解．
【解答】解：A、是合并同类项，应为a+a=2a，故本选项错误；
B、应为（3a）2=9a2，故本选项错误；
C、应为（a+1）2=a2+2a+1，故本选项错误；
D、a•a=a2，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
第 6 页 共 18 页4．（3分）（2016春•鄄城县期末）如图，已知AB⊥CB于点B，AC⊥DC于点C，则下列判断不
正确的是（ ）
A．AB＜AC B．AD＜BC C．AC＜AD D．BC＜AC
【分析】根据垂线段最短可得AB＜AC，BC＜AC，AC＜AD．
【解答】解：∵AB⊥CB，
∴AB＜AC，BC＜AC，
∵AC⊥DC，
∴AC＜AD，
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，关键是正确掌握垂线段最短．
5．（3分）（2013•沈阳模拟）若一个等腰三角形的一个角是45度，则这个三角形的顶角是（
）
A．45° B．67.5° C．45°或67.5°D．45°或90°
【分析】分45°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【解答】解：①45°角是顶角时，三角形的顶角为45°，
②45°角是底角时，三角形的顶角为180°﹣45°×2=90°，
所以，三角形的顶角是45°或90°．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．
6．（3分）（2016春•鄄城县期末）若（x2+mx+1）（x﹣2）的积中x的二次项系数为零，则m的值
是（ ）
A．1B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出方程﹣2+m=0，求出
即可．
【解答】解：（x2+mx+1）（x﹣2）
=x3﹣2x2+mx2﹣2mx+x﹣2
=x3+（﹣2+m）x2+（﹣2m+1）x﹣2，
∵（x2+mx+1）（x﹣2）的积中x的二次项系数为零，
∴﹣2+m=0，
解得：m=2，
故选D．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则的应用，能正确利用法则展开是解此题的关键．
7．（3分）（2016春•鄄城县期末）如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中不正确的是（ ）
第 7 页 共 18 页A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC
【分析】根据全等三角形的面积相等，全等三角形的周长相等，全等三角形对应角相等，全等
三角形对应边相等对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：∵△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，AD=BC，△ABD和△CDB的面积相等，△ABD和△CDB的周长相等，
∴AD∥BC，
则选项A，B，D一定正确．
由△ABD≌△CDB不一定能得到∠ABD=∠CBD，因而∠A+∠ABD=∠C+∠CBD不一定成
立．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图确定出对应角和对应边是解题
的关键．
8．（3分）（2016春•鄄城县期末）如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器
人比赛时行走的路径；机器人从A点出发，到达B点，第一次拐的∠B是140°，第二次拐的
∠C是100°，第三次拐的角是∠D，这时机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，那
么∠D的度数是（ ）
A．100° B．120° C．140° D．90°
【分析】首先过点C作FC∥AB于点F，进而利用平行线的性质得出∠B+∠1+∠2+∠D=360°，
即可得出答案．
【解答】解：过点C作FC∥AB于点F，
由题意可得：AB∥FC∥ED，
则∠B+∠1=180°，∠2+∠D=180°，
故∠B+∠1+∠2+∠D=360°，
即∠B+∠BCD+∠D=360°，
则∠D=360°﹣140°﹣100°=120°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，灵活应用平行线的性质以及正确作出辅助线是解题
关键．
第 8 页 共 18 页9．（3分）（2014•潍坊）如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小
于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月1
日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天
空气质量优良的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出3天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优良的情况，根据概
率公式求解即可．
【解答】解：∵由图可知，当1号到达时，停留的日子为1、2、3号，此时为（86，25，57），3天空
气质量均为优；
当2号到达时，停留的日子为2、3、4号，此时为（25，57，143），2天空气质量为优；
当3号到达时，停留的日子为3、4、5号，此时为（57，143，220），1天空气质量为优；
当4号到达时，停留的日子为4、5、6号，此时为（143，220，160），空气质量为污染；
当5号到达时，停留的日子为5、6、7号，此时为（220，160，40），1天空气质量为优；
当6号到达时，停留的日子为6、7、8号，此时为（160，40，217），1天空气质量为优；
当7号到达时，停留的日子为7、8、9号，此时为（40，217，160），1天空气质量为优；
当8号到达时，停留的日子为8、9、10号，此时为（217，160，121），空气质量为污染
∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率= = ．
故选：C．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与
所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
10．（3分）（2016春•灵石县期末）小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选
拔，需尽快上交该作文的电子文稿，接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入
一段时间后因事暂停，过了一小会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成，设从
录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x之间的关系的大致图象是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据在电脑上打字录入这篇文稿，录入字数增加，因事暂停，字数不变，继续录入并加
快了录入速度，字数增加，变化快，可得答案．
第 9 页 共 18 页【解答】解：A．暂停后继续录入并加快了录入速度，字数增加，故A不符合题意；
B．字数先增加再不变最后增加，故B不符合题意错误；
C．开始字数增加的慢，暂停后再录入字数增加的快，故C符合题意；
D．中间应有一段字数不变，不符合题意，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，字数先增加再不变最后增加的快是解题关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）（2016春•鄄城县期末）计算：（3﹣x）0﹣2﹣2= ．
【分析】首先根据零指数幂的运算方法，可得（3﹣x）0=1；然后根据负整指数幂的运算方法，求
出2﹣2的值是多少；最后用（3﹣x）0的值减去2﹣2的值，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（3﹣x）0﹣2﹣2
=1﹣
=
故答案为： ．
【点评】（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①a﹣p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计
算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；
②00≠1．
12．（3分）（2016春•鄄城县期末）在△ABC中，若AB=5，BC=2，且AC的长为奇数，则AC=
5 ．
【分析】根据三角形三边的关系得到3＜AC＜7，然后找出此范围内的奇数即可．
【解答】解：根据题意得5﹣2＜AC＜5+2，
即3＜AC＜7，
而AC的长为奇数，
所以AC=5．
故答案为5．
【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
13．（3分）（2008•湘潭）如图，已知∠1=70°，∠2=70°，∠3=60°，则∠4= 6 0 度．
【分析】根据∠1=∠2可得a∥b，再根据两直线平行，内错角相等，求出∠4．
第 10 页 共 18 页【解答】解：∵∠1=70°，∠2=70°，
∴a∥b，
又∵∠3=60°，
∴∠4=∠3=60°
【点评】本题考查的是同位角相等，两直线平行．两直线平行，内错角相等．
14．（3分）（2016春•鄄城县期末）一台微波炉的成本是a元，销售价比成本增加22%，因库存
积压按销售价的60%出售，则每台实际售价P（元）与成本a（元）之间的关系式是 P=0.732 a
．
【分析】根据每台实际售价=销售价×60%即可解决问题．
【解答】解：销售价为a（1+22%），
实际售价为P=a（1+22%）•60%=0.732a．
故答案为p=0.732a．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意销售价比成本价增加
22%后，再按销售价的60%出售．
15．（3分）（2016春•鄄城县期末）已知（a+b）2=9，ab=﹣ ，则a2+b2的值等于 1 2 ．
【分析】将（a+b）2、ab代入到a2+b2=（a+b）2﹣2ab计算可得．
【解答】解：当（a+b）2=9，ab=﹣ 时，
a2+b2=（a+b）2﹣2ab
=9﹣2×（﹣ ）
=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一
个完全平方式．解此题的关键是要了解a2+b2与（a+b）2之间的联系．
16．（3分）（2010•庆阳）如图，在一个正方形围栏中均匀散布着许多米粒，正方形内画有一个
圆．一只小鸡在围栏内啄食，则“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为 ．
【分析】设正方形的边长为a，再分别计算出正方形与圆的面积，计算出其比值即可．
【解答】解：设正方形的边长为a，则S正方形=a2，
因为圆的半径为 ，所以S圆=π = ，
第 11 页 共 18 页所以“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为： = ．
【点评】解答此题的关键是求出正方形及圆的面积，用到的知识点为：概率=相应的面积与总
面积之比．
17．（3分）（2016春•鄄城县期末）如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线
段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB=10cm，
CA=4cm．则△OBC的面积为 2 0 cm2．
【分析】过点C作CF⊥OM于点F，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得
OB=AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得AC=CF，再根据三角形的面积
计算公式得出△OBC的面积．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥OM于点F，
∵BE是线段OA的垂直平分线
∴OB=AB=10
∵OP是∠MON的角平分线
∴CF=CA=4
∴△OBC的面积= ×OB•CF= ×10×4=20（cm2）
故填20．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质；正确作出辅助线是解答本题
的关键．
18．（3分）（2016春•鄄城县期末）如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于
E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（ ）
A． B． C． D．不能确定
第 12 页 共 18 页【分析】根据已知条件推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证
△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且PF∥BC，
又∵PE⊥AF，
∴AE=EF= AF；（等边三角形三线合一）
∵PF∥CQ，
∴∠PFD=∠QCD，∠FPD=∠Q；
又∵PA=PF=CQ，
在△PFD和△QCD中 ，
∴△PFD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DF= CF；
∴DE=DF+FE= （AF+FC）= AC= ，
故选B．
【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的
性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此
题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
三、解答题（共66分）
19．（6分）（2016春•鄄城县期末）经测定声音在空气中传播的速度（简称声速）y（m/s）和气
温x（℃）的关系式为y= x+331，如果气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到响声，
那么此人与燃放烟花所在地大约相距多远？
【分析】根据函数关系可以找到对应温度下的传播速度，再根据路程=时间×速度即可得出结
论．
【解答】解：
由题意得声音在空气中传播的速度y与气温x的关系式为：y= x+331，
∴当气温x=22℃时，把x=22代入函数式得y= ×22+331=344.2m/s．
∵某人看到烟花燃放5s后才听到声音响，
∴根据路程=时间×速度得出：路程S=5×344.2=1721m，
答：此人与燃放烟花所在地大约相距1721m．
【点评】本题考查了一次函数的应用，找到函数关系式代入数值即可得到对应的函数值，属于
比较简单的试题，要求熟练掌握．
20．（6分）（2011•青岛）如图，已知线段a和h．
求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
第 13 页 共 18 页【分析】先画BC=a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，
交DM于点A，连接AB，AC即可．
【解答】解：如图所示．△ABC就是所求的三角形．
【点评】考查已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法；主要利用了等腰三角形三线合
一的性质．
21．（8分）（2016春•鄄城县期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷
（2x ），其中x=﹣2，y=1．
【分析】将原式被除数中括号中的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘以多
项式的法则计算，去括号合并后，再利用多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果，将x
与y的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【解答】解：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x）
=（x2﹣4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2）÷（2x）
=（﹣2x2﹣6xy）÷（2x）
=﹣x﹣3y，
当x=﹣2，y=1时，原式=﹣（﹣2）﹣3=2﹣3=﹣1．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，
多项式乘以多项式的法则，以及多项式除以单项式的法则，熟练掌握公式及法则是解本题的
关键．
22．（8分）（2016春•鄄城县期末）如图：平行线AB、CD被直线AE所截．
（1）写出∠AFD的对顶角；
（2）写出∠AFD的邻补角；
（3）如果∠BAF=100°，求∠AFD和∠AFC的度数．
第 14 页 共 18 页【分析】（1）由对顶角的定义，即可求得∠AFD的对顶角；
（2）由邻补角的定义，即可求得∠AFD的邻补角；
（3）由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等；即可求得∠AFD和∠AFC的
度数．
【解答】解：（1）∠AFD的对顶角是∠EFC；
（2）∠AFD的邻补角是∠EFD、∠AFC；
（3）∵AB∥DC，∠BAF=100°，
∴∠AFD+∠BAF=180°，∠AFC=∠BAF=100°，
∴∠AFD=180°﹣∠BAF=180°﹣100°=80°，
即∠AFD=80°，∠AFC=100°．
【点评】此题考查了平行线的性质、对顶角以及邻补角的定义．此题比较简单，注意掌握数形
结合思想的应用．
23．（9分）（2010•枣庄）在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和
△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．
【分析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的
图形，
对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一
定是轴对称图形．
第 15 页 共 18 页【解答】解：正确1个得（1分），全部正确得（6分）．
【点评】本题有一定的难度，要求找出所有能与三角形ABC形成对称的轴对称图形，这里注
意思维要严密．
24．（9分）（2016春•鄄城县期末）如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E、F，又知D是EF的
中点，△BED与△CFD全等吗？为什么？
【分析】根据角边角公里可得出△BED与△CFD全等．由BE⊥AE，CF⊥AE，得
∠BED=∠CFD，再由D是EF的中点，得ED=FD，从而得出△BED与△CFD全等．
【解答】解：△BED≌△CFD．
理由是：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD，
∵D是EF的中点，
∴ED=FD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定一般三角形全等有SSS、SAS、ASA、AAS，判定
两个直角三角形全等还有HL．
第 16 页 共 18 页25．（10分）（2016春•鄄城县期末）某商场购进一批名牌衬衫，要求一等品的数量12850件左
右，请问该商场应购进多少件这样的衬衫？下面是该部门经理随机抽查一些衬衫后，统计得
到的一等品的频率变化表：
抽查数n 100 200 1500 2000 2500
一等品数m 94 19 4 1430 1902 237 5
一等品频率 0.9 4 0.97 0.9 5 0.9 5 0.95
（1）把表格补充完整（结果保留两位小数）；
（2）任意抽取1件衬衫，抽得一等品的概率约为多少？
（3）你能求得商场应购进多少件这样的衬衫吗？
【分析】（1）根据频率=频数÷数据总数及频数=数据总数×频率即可求解；
（2）大量重复实验时，事件发生的频率可看作是这个事件的概率，根据表格，可得任意抽取1
件衬衫，抽得1等品的概率约为0.95；
（3）根据数据总数=频数÷频率列式，计算即可．
【解答】解：（1）填表如下：
抽查数n 100 200 1500 2000 2500
一等品数m 94 194 1430 1902 2375
一等品频率 0.94 0.97 0.95 0.95 0.95
m/n
（2）根据表格，可得任意抽取1件衬衫，抽得1等品的概率约为0.95；
（3）12850÷0.95≈13527（件）．
即商场应购进约13527件这样的衬衫．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：
频率=频数÷数据总数，频数=数据总数×频率，数据总数=频数÷频率，频率=所求情况数与
总情况数之比．
26．（10分）（2016春•鄄城县期末）如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，
AB=AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．
（1）试说明：△ABC≌△ADE；
（2）试说明CA平分∠BCD；
（3）如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，试说明：∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．
【分析】（1）根据三角形的判定定理ASA即可证得；
（2）通过三角形全等得AC=AE，∠BCA=∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD=∠E，从而求
得∠BCA=∠E=∠ACD即可证得；
（3）通过三角形全等得AC=AE，∠CAE=90°，即△ACE是等腰直角三角形，根据三线合一可
得△ACM和△AEM都是等腰直角三角形，进而得出结论．
【解答】解：（1）证明：如图，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，
第 17 页 共 18 页∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）证明：如图，∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，且∠BCA=∠E
∴∠ACD=∠E，
∴∠BCA=∠ACD，即CA平分∠BCD；
（3）由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∵DA⊥AB，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠CAD=90°，∠CAE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵AM⊥CE，
∴△ACM和△AEM都是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的
判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
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