文档内容
七年级数学下学期期末全真模拟卷（3）（北师大版）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共27题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的
主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．下列汽车图标中，不是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．
【解答】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B不能找出这样的一条直线，使这个形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称图形的概念．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．经过交通信号灯的路口时，遇到红灯
B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
C．打开电视机，看到在播广告
D．在367位同学中，至少有2位同学生日是同一天
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．经过交通信号灯的路口时，遇到红灯，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．打开电视机，看到在播广告，是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．在367位同学中，至少有2位同学生日是同一天，是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查事件事件，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前
提．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）（2a+2b）＝2a2﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+b2
C．（4x3﹣8x2+2x）÷（2x）＝2x2﹣4xD．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2
【分析】直接利用乘法公式以及整式的乘除运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．（a﹣b）（2a+2b）＝2（a﹣b）（a+b）＝2a2﹣2b2，故此选项符合题意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意；
C．（4x3﹣8x2+2x）÷（2x）＝2x2﹣4x+1，故此选项不合题意；
D．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．一个不透明盒子中装有4个形状、大小、质地完全相同的小球，这些小球上分别标有﹣1，0，
2，3．从中随机摸取一个小球，这个小球上所标数字是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】从中随机摸取一个小球共有4种等可能结果，其中小球上所标数字是正数的有2种结
果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意知，从中随机摸取一个小球共有4种等可能结果，其中小球上所标数
字是正数的有2种结果，
所以从中随机摸取一个小球，这个小球上所标数字是正数的概率为 ＝ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所
有可能出现的结果数．
5．如图，已知BC＝EF，AF＝DC，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“SAS”来判定
△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；
④BC∥EF．可以利用的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
【分析】先证明AC＝DF，则已知两组对应边相等，所以要已知它们的夹角相等，则∠ACB＝
∠DFE或BC∥EF．
【解答】解：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+CF，即AC＝DF，
∵BC＝EF，∴当∠ACB＝∠DFE时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF；
当BC∥EF，则∠ACB＝∠DFE时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的
关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．黄豆在相同条件下发芽率试验，结果如表．下面3个推断：①当n＝100时，黄豆发芽的频率
是0.970，所以黄豆发芽概率为0.970；②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；③若
n＝6000时，估计黄豆发芽的粒数约为5700．其中正确的个数为（ ）
每批粒数n 30 60 100 500 1000 3000 5000
发芽的粒数m 28 58 97 479 957 2844 4752
0.933 0.967 0.970 0.958 0.957 0.948 0.950
发芽的频率
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.95，由于试验次数较多，
可以用频率估计概率．
【解答】解：①当n＝100时，黄豆发芽的频率是0.970，所以黄豆发芽概率为0.970；此推断
错误；
②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；此推断正确；
③若n＝6000时，估计黄豆发芽的粒数约为6000×0.95＝5700．此结论正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识
点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
7．在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如表：
m 1 2 3 4
v 3 5 7 9
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
A．v＝2m+1 B．v＝m2+2 C．v＝m+2 D．v＝3m
【分析】把m、v的数值分别代入A、B、C、D四个选项中，逐项对比即可得出答案．
【解答】解：（1）把m＝1、2、3、4代入2m+1中，
得3，2，7，9，与v＝3，5，7，9一样，
故A选项符合题意；
（2）把m＝1、2、3、4代入m2+1中，
得2，5，10，17，与v＝3，5，7，9不一样，
故B选项不符合题意；
（3）把m＝1、2、3、4代入m+2中，
得3，4，5，6，与v＝3，5，7，9不一样，故C选项不符合题意；
（4）把m＝1、2、3、4代入3m中，
得3，6，9，12，与v＝3，5，7，9不一样，
故D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查函数关系式及函数得求值，熟练掌握代数式的计算方法进行计算是解
决本题的关键．
8．一根粗细均匀的蜡烛，开始燃烧后，剩下的长度y（厘米）与燃烧的时间x（分钟）的关系如
图所示，根据图象得到下列信息，错误的是（ ）
A．这根蜡烛总长度是15厘米
B．这根蜡烛可燃烧30分钟
C．每分钟燃烧1厘米
D．燃烧10分钟后，剩下蜡烛长度是10厘米
【分析】根据题意可得这根蜡烛总长度是15厘米，燃烧10分钟后剩下蜡烛长度是10厘米，
可得每分钟燃烧0.5厘米，据此可得选项C是符合题意．
【解答】解：由图象可知，这根蜡烛总长度是15厘米，故选项A不合题意；
由图象可知，燃烧10分钟后剩下蜡烛长度是10厘米，所以燃烧10分所燃烧的长度为5厘米，
所以每分钟燃烧0.5厘米，故选项D不合题意，选项C符合题意；
这根蜡烛可燃烧：15÷0.5＝30（分钟），故选项B不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用及根据图象信息解答数学问题的能力，解答时根据函数
的图象求出每分钟燃烧0.5厘米是关键．
9．如图，AB＝AC，点D、E分别在AC和AB边上，且AD＝AE，则可得到△ABD≌△ACE，判
定依据是（ ）
A．角边角 B．角角边 C．边角边 D．边边边【分析】利用已知条件和公共角可判断△ABD≌△ACE．
【解答】解：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的
关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
10．如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，
则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
【分析】过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相
等的性质可得ID＝IE＝IF，再根据三角形面积计算即可得解．
【解答】解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，
∴ID＝IE，ID＝IE，
∴ID＝IE＝IF＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝ （AB+BC+AC）×3＝ ×18×3＝27．
故选：D．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题）11．如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是 ± 4 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式，
∴m＝±4，
故答案为：±4
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．已知圆柱的底面半径为3cm，在其中心位置挖去一个半径为1cm的小圆柱，形成一个圆筒，
则该圆筒的体积y（cm3）与圆筒的高x（cm）的函数关系式为 y ＝ 8 x ．
π
【分析】根据圆筒的体积＝大圆柱的体积﹣小圆柱的体积即可得出答案．
【解答】解：由题意可知该圆筒的体积为：
y＝32⋅ ⋅x﹣12⋅ ⋅x，
＝9 x﹣ x
π π
＝8 x，
π π
故答案为：y＝8 x．
π
【点评】本题考查了函数关系式，掌握圆柱的体积公式是解题的关键，V＝ r2h．
π
13．如果一个自然数右边的数字比左边的数字大，那么我们把它叫做“上升数”（如34，569，
π
1269等都是上升数），现在任取一个两位数，是“上升数”的概率是 ．
【分析】由题意知，两位数共有90个，找出所有的上升数，再由概率公式求出概率即可．
【解答】解：两位数共有90个．
10﹣19这10个数中，“上升数”有12，13，14，15，16，17，18，19一共8个；
20﹣29这10个数中，“上升数”有23，24，25，26，27，28，29一共7个；
30﹣39这10个数中，“上升数”有34，35，36，37，38，39一共6个；
40﹣49这10个数中，“上升数”有45，46，47，48，49一共5个；
50﹣59这10个数中，“上升数”有56，57，58，59一共4个；
60﹣69这10个数中，“上升数”有67，68，69一共3个；
70﹣79这10个数中，“上升数”有78，79一共2个；
80﹣89这10个数中，“上升数”有89一共1个；
90﹣99这10个数中，“上升数”有0个；
∴在两位数中共有1+2+3+4+5+6+7+8＝36个，∴任取一个两位数，是“上升数”的概率＝ ＝ ．
故本题答案为： ．
【点评】此题利用了穷举法求概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．关键是找到所有的“上升数”．
14．已知a2﹣b2＝3，则（a+b）2（a﹣b）2＝ 9 ．
【分析】根据平方差公式得到：（a+b）2（a﹣b）2＝（a2﹣b2）2，整体代入求值．
【解答】解：∵a2﹣b2＝3，
∴（a+b）2（a﹣b）2
＝（a2﹣b2）2
＝32
＝9．
故答案是：9．
【点评】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，
其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，
E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 5 ．
【分析】首先在斜边AC上截取AB′＝AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，
交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．
【解答】解：如图，在斜边AC上截取ABʹ＝AB，连接BBʹ，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BʹAM＝∠BAM，
在△BʹAM和△BAM中，，
∴△BʹAM≌△BAM（SAS），
∴BM＝BʹM，∠BMA＝∠BʹMA＝90°，
∴点B与点Bʹ关于直线AD对称．
过点Bʹ作BʹF⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，
则线段BʹF的长即为所求（点到直线的距离最短），
在Rt△AFBʹ中，
∵∠BAC＝45°，
，
∴ ，
∴BE+EF的最小值为5．
【点评】本题考查全等三角形的性质与判定、轴对称的性质、解直角三角形等知识，解题的
关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A＝63°，则∠D＝ 126 ° ．
【分析】连接AD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等看得到AD＝BD＝
CD，根据等边对等角可得∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，然后求出
∠ABD+∠ACD+∠BAC，再根据三角形的内角和等于180°求出∠DBC+∠DCB，再次利用三角
形的内角和定理求解即可．
【解答】解：如图，连接AD，
∵点D是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，
∴∠ABD+∠ACD+∠BAC＝2∠BAC＝2×63°＝126°，
在△ABC中，根据三角形的内角和定理得，∠DBC+∠DCB＝180°﹣126°＝54°，
在△DBC中，根据三角形的内角和定理得，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣54°
＝126°．
故答案为：126°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，四边形的内角和是360度，熟记性质并作辅助
线构造出四边形是解题的关键．
17．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的Aʹ处，若∠A＝28°，∠BDAʹ＝90°，则
∠AʹEC的大小为 34 ° ．
【分析】利用折叠性质得∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，再根据三角形外角性
质得∠CED＝73°，利用三角形内角和得到∠AED＝107°，则∠A′ED＝107°，然后利用
∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED进行计算即可．
【解答】解：∵∠BDAʹ＝90°，
∴∠ADAʹ＝90°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的Aʹ处，
∴∠ADE＝∠AʹDE＝45°，∠AED＝∠AʹED，
∵∠CED＝∠A+∠ADE＝28°+45°＝73°，
∴∠AED＝107°，
∴∠AʹED＝107°，
∴∠AʹEC＝∠AʹED﹣∠CED＝107°﹣73°＝34°．
故答案为：34°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质解答的关键是明确折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行
驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的关系，下列说
法中正确的序号为 ①③④⑤ ．
①甲乙两地相距200km；
②BC﹣CD段表示慢车先加速后减速最后到达甲地；
③快车的速度为60km/h；
④慢车的速度为40km/h；
⑤快车到达乙地100min后，慢车到达甲地．【分析】根据图象上A、B、C、D的实际意义即可求出答案．
【解答】解：①由题当t＝0时，y＝200，所以甲乙两地相距200km，①正确；
②由图中可知：A点为两车还未出发，B点两车相遇，C点快车到达，D点慢车到达，所以
②错误；
③由D点求慢车速度为 ，
由B点求快车速度
，所以③正确；
④慢车速度为40km/h，所以④正确；
⑤由C点求快车到达时间， ，
时间差为 ．所以⑤正确，
综上①③④⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
【点评】本题考查了利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的
意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
三．解答题（共9小题）
19．计算：（a+2b）（a﹣2b）+（a3b+4ab3）÷ab．
【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝a2﹣4b2+a2+4b2
＝2a2．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，
本题属于基础题型．
20．先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣x（x﹣4y），其中x＝3，y＝﹣2．
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式算乘法，再合并同类项，最后代入求出答
案即可．
【解答】解：（2x﹣y）2﹣x（x﹣4y）
＝4x2﹣4xy+y2﹣x2+4xy
＝3x2+y2，当x＝3，y＝﹣2时，原式＝3×32+（﹣2）2＝27+4＝31．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关
键，注意运算顺序．
21．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，其交点为O，可以做成一个测量工件内槽宽的
工具（卡钳），只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD的长度，请说明理由．
【分析】因为是用两钢条AB，CD的中点O中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分
别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是SAS．
【解答】解：∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
∴AC＝BD．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
22．请在下列括号内填上相应步骤的理由．
已知：如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，∠1＝∠2，试说明：EF⊥AC．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠1＝∠D（ 两直线平行，内错角相等 ）．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠2＝∠D（等量代换），
所以EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ），
所以∠CEF＝∠CAD（ 两直线平行，同位角相等 ）．
因为AD⊥AC（已知），
所以∠CAD＝90°（垂直的定义），
所以∠CEF＝90°（ 等量代换 ），
所以EF⊥AC（垂直的定义）．【分析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【解答】解：因为AB∥CD（已知），
所以∠1＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠2＝∠D（等量代换），
所以EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
所以∠CEF＝∠CAD（两直线平行，同位角相等）．
因为AD⊥AC（已知），
所以∠CAD＝90°（垂直的定义），
所以∠CEF＝90°（等量代换），
所以EF⊥AC（垂直的定义）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；
等量代换．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解
决本题的关键．
23．一个袋中装有4个红球，6个白球，8个黑球，每个球除颜色外其余完全相同．
（1）求从袋中随机摸出一个球是白球的概率；
（2）从袋中摸出6个白球和a（a＞2）个红球，再从剩下的球中摸出一个球．
①若事件“再摸出的球是红球”为不可能事件，求a的值；
②若事件“再摸出的球是黑球”为随机事件，求这个事件的概率．
【分析】（1）袋中共装18个球，其中白球有6个，占总数的 ，即可求出摸出白球的概率；
（2）①袋子中如果没有红球，即“再摸出的球是红球”为不可能事件，此时a＝4；
②根据题意可知，若事件“再摸出的球是黑球”为随机事件，此时袋中有1个红球，8个黑
球，求出摸出黑球的概率即可．
【解答】解：（1）袋中共有4+6+8＝18个球，其中白球有6个，
所以从袋中随机摸出一个球是白球的概率为 ＝ ；
（2）①袋中如果没有红球，即“再摸出的球是红球”为不可能事件，此时a＝4；
②根据题意可知，
若事件“再摸出的球是黑球”为随机事件，
此时袋中有1个红球，8个黑球，所以摸出黑球的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义，列举出所有可能出现的结果情况
是解决问题的关键．
24．如图，直线a∥b，点A，点C在直线b上，点B在直线a上，连接AB．
（1）在直线a上求作点D，使得CD∥AB；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若试AB＝7，求CD的长．
【分析】（1）作∠1＝∠BAC即可；
（2）判断四边形ABDC为平行四边形得到CD＝AB．
【解答】解：（1）如图，CD为所作；
（2）∵AB∥CD，BD∥AC，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴CD＝AB＝7．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结
合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
25．如图1，点P沿边框以B→C→D→E→F→A为路径，从B到A以2cm/s的速度运动，△ABP
的面积为S（cm2）与运动时间t（s）的关系如图2所示，AB＝8cm．
（1）当0≤t≤4时，求S与运动时间t的关系式；
（2）求图2中m，n的值；
（3）求点P在运动过程中S的最大值．
【分析】（1）因为点P速度为2，所以根据右侧的时间可以求出线段BC，CD和DE的长度，
判断出0≤t≤4，点P在线段BC上，可得结论．（2）m代表的是点P在C时对应图形面积，n代表的是点P运动到A时对应的时间，由图象
都可以求出．
（4）点P在线段EF上时，S的值最大．
【解答】解：（1）由右侧图象可知，点P在BC线段运动4秒，BC＝8cm，点P在CD线段运
动2秒，CD＝4cm，点P在DE线段运动3秒，DE＝6cm，EF＝AB﹣CD＝4cm，AF＝BC+DE
＝14cm，
∴当0≤t≤4时，点P在线段BC上，S＝ ×8×2t＝8t．
（2）当点P到C时，△ABP的面积为32（cm2）．
∴m＝32．
∵BC+CD+DE+EF+AF＝36，
∴n＝36× ＝18．
（3）当点P在线段EF上时，S的值最大，最大值＝ ×8×14＝56（cm2）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是读懂图象信息，求出
BC，CD，DE，EF，AF的长．
26．已知x＝a﹣2015，y＝2021﹣a，xy＝5．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值；
（3）求a的值．
【分析】根据（a±b）2＝a2±2ab+b2可解决本题．
【解答】解：（1）∵x＝a﹣2015，y＝2021﹣a，xy＝5，
∴x+y＝a﹣2015+2021﹣a＝6．
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×5＝36﹣10＝26．（2）由（1）知：x2+y2＝26．
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝26﹣2×5＝16．
（3）由（2）知：（x﹣y）2＝16．
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4．
当x﹣y＝4时，由x+y＝6，解得x＝5，y＝1，此时a＝x+2015＝2020．
当x﹣y＝﹣4时，由x+y＝6，解得x＝1，y＝5，此时a＝x+2015＝2016．
综上：a＝2020或a＝2016．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
27．如图，在△ABC和△BCD中，AC＝CD，∠BAC+∠BDC＝180°，在BD的延长线上取
点E，使DE＝AB，连接CE．
（1）试说明：∠ABC＝∠DBC；
（2）连接AD交BC于点F，若∠ABD＝60°，∠ADB＝40°，试说明：BD＝AB+AF．
【分析】（1）由“SAS”可证△BAC≌△EDC，可得∠ABC＝∠CEB，BC＝CE，由等腰三角
形的性质可得∠ABC＝∠CEB＝∠CBE；
（2）由“SAS”可证△ABF≌△HBF，可得∠BAD＝∠BHF＝80°，AF＝FH，可证FH＝DH，
即可得结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC+∠BDC＝180°，∠CDE+∠BDC＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
在△BAC和△EDC中，
，
∴△BAC≌△EDC（SAS），
∴∠ABC＝∠CEB，BC＝CE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴∠ABC＝∠DBC；
（2）如图，在BD上截取BH＝AB，连接FH，
∵∠ABD＝60°，∠ADB＝40°，∴∠BAD＝80°，
在△ABF和△HBF中，
，
∴△ABF≌△HBF（SAS），
∴∠BAD＝∠BHF＝80°，AF＝FH，
∵∠BHF＝∠ADB+∠DFH，
∴∠DFH＝40°＝∠ADB，
∴DH＝FH＝AF，
∴BD＝BH+DH＝AB+AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，添加
恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
