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专题 01 勾股定理与几何翻折的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、三角形翻折问题
类型二、四边形翻折问题
类型三、翻折最值问题
压轴专练
类型一、三角形翻折问题
例1．如图，已知直角三角形 ， 点D是 边上一点，连接 ，把 沿着 翻折，
得到 ，连接 交 于点F．若 ， ，则点E到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作 于点M，先根据勾股定理求出 的长度，再根据翻折的性质得出
，继而利用三角形的面积公式求出 ，再求出 , ，利用
三角形的面积求解即可．【详解】过点E作 于点M，
∴ ，
在直角三角形 ， ， ， ，
∴ ，
∵把 沿着 翻折，得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ , ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解
题的关键．
变式1-1 如图， ，将边 沿 翻折，使点A落在 上的点D处；再将边
沿 翻折，使点B落在 的延长线上的点 处，两条折痕与斜边 分别交于点E、F，则线段
的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据勾股定理以及面积法即可得到 的长，再根据 是等腰直角三角形，即可得到 的长；
利用勾股定理求得 的长，即可得到 的长，进而得出 的长．本题考查了折叠问题，我们常常设要
求的线段长为 ，然后根据折叠和轴对称的性质用含 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三
角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
【详解】解： 中， ， ， ，
由勾股定理可得 ，
将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，
， ，
，
，
，
在 中， ，
将边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，
， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
故选：B．
变式1-2 和 按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上， ，
．将 沿着 翻折，得到 ，将 沿着 翻折，得
，点B、D的对应点 、 与点C恰好在同一直线上，若 ， ，则 的长度为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；证明三角形全等是解题的关键；
由折叠性质易得 ，从而有 ，由 证明 ，得到
；在 中，由勾股定理建立方程求得 ，进而求得结果．
【详解】解：由折叠可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∵ ，
∴ ，
∴ 不合题意，舍去；
∴ ，
∴ ．故选：A．
变式1-3 如图，在 中， ，点 ， 分别为边 ， 上的一点，当 ， 时，
将 沿折痕 翻折后，点 恰好落在边 中点 处，则 的长是 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据点 恰好落在边 中点 处， ，得到 ， ，求得
，结合 解答即可．
本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵点 恰好落在边 中点 处， ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．变式1-4．如图，在 中， ， ， ， 为斜边 上的一动点（不包含 ，
两端点），以 为对称轴将 翻折得到 ，连结 ．当 时， 的长为 ．
【答案】 /
【分析】当 时，过点 作 于 ，可知 ， ，得出 为等腰直角三角
形，得到 ，求出 和 的长，利用勾股定理即可求出 的长．
【详解】过点 作 于 ，
在 中， ， ， ，
∴
∵ ， ，
在 中， ，∴ ，
当 时，如图由折叠性质可知 ， ，
又
，
又 ，
，
，
，
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
在 中， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．类型二、四边形翻折问题
例2．如图，长方形 中， ， ，M、N分别是 、 边上的点，将其沿 折叠，使
点 落在 边上的 处，点 的对应点为 ，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
设 ，则 ，进而得出 ，根据题意和勾股定理得出方程即可得解．
【详解】解：设 ，则 ，
四边形 为长方形，
由折叠性质可得，
，
，
，
，
在 中，
，
又 在 中，
，
，
即 ，
解得， ，即 ．
故选：C．
变式2-1．如图，将长为 ，宽为 的长方形纸片 折叠，使点 落在 边的中点 处，压平后
得到折痕 ，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接 ， ， ，折叠得到 ，设 ，则
，在 和 中， ，进而得到
，列出方程进行求解即可．
【详解】解：如图①，连接 ， ， ，
∵将长为 ，宽为 的长方形纸片 折叠，使点B落在 边的中点E处，压平后得到折痕 ，
∴ 垂直平分 ， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 和 中，
∴ ，
即 ，
解得 ．故线段 的长为 ．
故答案为： ．
变式2-2．如图，在长方形 中， ， ，点 为 上一点，将 沿 翻折至 ，
与 相交于点 ， 与 相交于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解题的
关键是灵活运用这些性质．
（1）由四边形 是长方形，可得 ．由折叠的性质可
知 ．再证明 即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再由 可证得 ，设 ，
则 ，可得出 ，在 中，由勾股定理得
，列出方程 ，再求解即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是长方形，
．
由折叠的性质可知 ．
在 和 中；
（2）解：
，
，
设 ，则 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，解得 ，
的长为 ．
类型三、翻折最值问题
例3 如图，在 中， ， ， ，点D、E分别是 上的动点．现将
沿 翻折，使点C落在点 处．连接 ，则 长度的最小值（ ）
A．不存在 B．等于 C．等于 D．等于
【答案】C
【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，当 落在 上，点E与点B重合时， 长度最小，利用勾股
定理求得 ，进而利用折叠性质求解即可，得出 长度最小时点 的位置是解答的关键．
【详解】解：根据题意，当 落在 上，点E与点B重合时， 长度最小，此时，根据折叠性质， ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
变式3-1 如图， 中， ， ，O为 中点，点P在 边上，且 ，
点Q为 边上一动点，将 沿直线 翻折，使得点B落在点M，连接 ，则 长的最小值为
（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，连接 ，根据 ，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，则： ，
∵ ， ，O为 中点，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵翻折，
∴ ，
∴ ；即： 的最小值为 ；
故选D．
变式3-2 如图，在 中， ， ， ，已知D是 上一动点，将点A沿 翻折，
若A落到 内（不包括边），则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理，借助辅助线，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据勾股定
理求得 ，当点 落在 上时，此时 最短，当点 落在 上时，此时 最长，利用三角形
等面积法及勾股定理即可求解．
【详解】解：当点 落在 上时，此时 最短，如图2，则 ，
，
， ， ，
，，
，
，
，
当点 落在 上时，此时 最长，如图3，则 ，
作 于点G， 于点H，则 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为 ，
故答案为： ．变式3-3 在矩形纸片 中， ， ．
(1)如图①，将矩形纸片沿 折叠，点 落在对角线 上的点 处，求 的长：
(2)如图②，点 为 上一点，将 沿 翻折至 ， 与 相交于点 ， 与 相交于
点 、且 ，求 的长：
(3)如图③，将矩形纸片 折叠，使顶点 落在 边上的点 处，折痕所在直线同时经过 、
包括端点 ，请直接写出 的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最小值为 ，最大值为
【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定；
（1）设 ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）由 证明 ，得出 ， ， ，因此
， ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当折痕所在直线经过点 时，如图1所示；此时 最小 ；当折痕所在直线经过点 时，
如图2所示：此时 最大，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：设 ， ， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
；
（2）解：设 ，由折叠的性质得： ，
在 和 中， ，
，
，
， ，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，解得： ， ．
（3）当折痕所在直线经过点 时，如图1所示：
此时 最小 ；
当折痕所在直线经过点 时，如图2所示：
此时 最大， ，
由勾股定理得： ；综上所述， 的最小值为 ，最大值为 ．
1．如图，在 中， ， ，点D为 上一点，连接 ，将 沿 翻折，得到
，连接 ．若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B．12 C． D．18
【答案】A
【分析】过点A作 的延长线于点F，设 与 交于点G，根据翻折性质可以证明 是等边
三角形，根据 ，可得 ，所以 ，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作 的延长线于点F，设 与 交于点G，
由翻折可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由翻折可知： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
2．如图，在 中， ， ， ，点 在 上，将 沿直线 翻折后，将
点 落在点 处，如果 ，那么线段 的长为( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据翻折变换的性质可得 ， ， ，连接 ，可得 是等腰直角三角形，然后求出 ，从而得到 ，再根据等腰三角形两底角相等求出 ，然后求
出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再求出 ，得到 是等腰直角三角形，
根据等腰直角三角形的性质可得 ，然后利用勾股定理列式求出 ，然后根据 计算
得到 ，即为 的长．
【详解】解： 沿直线 翻折后点 落在点 处，
， ， ，
连接 ， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又 ， ，
，
，
即 ．故选：D．
【点睛】本题考查翻折的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后的两个图形全等，对
应边相等，对应角相等；30°角所对的直角边等于斜边的一半；正确得出翻折后的对应边及对应角并熟练掌
握直角三角形的性质是解题关键．
3．如图 中， ，点E和F是 上的点，将边 沿 翻折，点A落在
边上的点D处，将 沿 翻折，点B落在 延长线上点 处， 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题) 、等腰直角三角形、等面积法，解决本题的关键是根据翻折的
性质可知 为 ，利用等腰直角三角形的性质和三角形的面积求解.
【详解】 ，
，
根据两次翻折可知： ， ，
，
，
∴ ，
，
，
，
，
在 中
，，
，
故答案为： ．
4．如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 、 两点重合，点 落在点 处．已知 ，
．则线段 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
设 ，则 ，由折叠的性质得： ， ， ，最后在
中，由勾股定理得 ，即 ，解出 即可．
【详解】解：设 ，则 ，
四边形 是长方形，
， ， ，
由折叠的性质得： ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得： ，即线段 的长为 ，
故答案为： ．
5．如图，在 中， ，点E，F分别为边 上的点，连接 ，将
沿着 翻折，使得A点落在 边上的D处， ，则 的长度为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，过点D作 ，交 于点G，根据题意，
可得 为等腰直角三角形，再根据翻折可得 ， ， ，求出 ，再设
，根据勾股定理求出 的长，即可得到 的长．
【详解】解：如图，过点D作 ，交 于点G，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则根据翻折得 ，
∴ ，
在 中， ，
可得方程， ，解得： ，
∴ ，
∵将 沿着EF翻折，使得A点落在 边上的D处，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．如图， 中， ， ， ， ，点D在边 上，将 沿直线
翻折，使点C落在点 处，连接 ，直线 与边 的延长线相交与点F，如果 ，
那么线段 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题， 角所对直角边等于斜边一半的性质，勾股定理，正确的作出
图形是解题的关键．
在 中， ，由 是将 沿直线 翻折得到的，求出 ，于是得
到 ，求得 ，根据直角三角形的性质及勾股定理即可得到结果．
【详解】解：
是将 沿直线 翻折得到的，
，
，
,
，
，
，
,
，
，
故答案为： ．
7．如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点P是边 上任意一点，连接 ，将
沿 翻折，点B的对应点为 ，当 有一边与 垂直时， 的长为 ．【答案】 或1或2
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当 时，当 时，当
时，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：当 时，如图，
在等腰直角三角形 中， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∵将 沿 翻折，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
解得 ；
∴
当 时，如图，
此时， ；当 时，如图，
此时，点A，B， 在同一直线上， ；
综上，当 有一边与 垂直时， 的长为 或1或2．
故答案为： 或1或2．
8．如图，三角形纸片 中，点D是 边上一点，连接 ，把 沿着直线 翻折，得到
， 交 于点G，连接 交 于点F．若 ， ， ， 的面积为
4.5，则 的值为 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，
掌握等面积法成为解题的关键．
由折叠的性质可得 ，再证 可得 ，根据等腰三角形三线合一
的性质可得 ，运用勾股定理可得 ，再运用等面积法求得 ，进而得到 ，最后
根据勾股定理即可解答．
【详解】解∶由折叠得， ，
在 和 中，，
，
，
（三线合一），
又 ，
∴由勾股定理得： ，
，
，
，
∵在 中， ，
，即 ，
，
，
∵在 中， ，
．
故答案为： ．
9．如图，在长方形 中， ， ， ，沿边 所在直线翻折 ， 与 重
合，点F在 上，则 的长是 ．【答案】
【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接 ．证明 垂直平分 得 ．
在 中，由勾股定理求出 ，然后根据 求解即可．
【详解】解：如图，连接 ．
∵四边形 是长方形，
∴ ．
根据题意， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
在 中， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．10．如图所示，在 中， 是 边的中点，连接 ．把 沿 翻折，得到 ， 与
交于 ，连接 ．若 ，求点 到 的距离．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换，解直角三角形，勾股定理等，由翻折知， ， 垂直平分
，证 为等边三角形，利用解直角三角形求出 ， ， ，在
中，利用勾股定理求出 的长，在 中利用面积法求出 的长，则可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，交 于点M，过点D作 于点H，
∵ ，D是 边上的中点，
∴ ，
由翻折知， ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点D到 的距离为 ．
故答案为： ．
11．在 中， ， ，D是 边上一动点，连接 ．
(1)如图1，在平面内将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，点F为 边上一点，连接 交
于M，连接 ．若 ， ， ，求 的长；
(2)如图2，在平面内将线段 绕点B顺时针旋转一定角度得到线段 ，连接 交 于G，连接 ，
若 ，猜想线段 的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在（2）的条件下，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，连接 ，若
，在点D运动过程中，当线段 取得最小值时，请直接写出 的面积．【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）过点 作 于点 ，设 ，得 证明 ，得
， ，求出 ，运用等积关系可求出 ，从而求出 ；
（2）过点 作 于点 ，证明 ，根据 可证明 ，
得 ，再证明 得 ， ，可求出 ；
（3）设 ，得出 ， ，求出 ，得 ，
，过点 作 于点 ，则 ,由三角形面积公式可得
结论．
【详解】（1）解：过点 作 于点 ，如图，
设 ，
∵
∴
∵
∴
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
过点 作 于点 ，如图，
设 ，∵
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴
∵
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 ，∴ ，
∵ ，
∴ ①，
由三角形三边关系得，当点 在同一条直线上时，即 时，并交 于点 时， 的值最
小；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ②，
由①②得， ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，则 ,
∴
