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专题01 勾股定理中的最短路径模型
勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活
实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两
大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先
画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，
然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
.........................................................................................................................................1
模型趣事.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................2
模型拓展.............................................................................................................................................................4
模型运用.............................................................................................................................................................4
模型1.圆柱中的最短路径模型.......................................................................................................................4
模型2.长方体中的最短路径模型...................................................................................................................5
模型3.阶梯中的最短路径模型.......................................................................................................................7
模型4.将军饮马与空间最短路径模型...........................................................................................................8
.................................................................................................................................................9蚂蚁的烦恼
说到蚂蚁，大家对它们的第一印象就是他们每天都是很忙碌的样子，十足的工作狂。想象一下，小蚂
蚁今天有任务，它得运送一块糖到它的家。可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，
真是难搞。小蚂蚁希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。谁
不想走得快点儿呢？
数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简
单的解决方案。无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。通过学习和应用这些理论，咱们不仅能
更好地规划日常生活，还能享受到成功的喜悦。
（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底
的点 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 ，且与蚂蚁相对的点 处，则
蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）1.在圆柱表面运动中的最短路径模型
条件：如图1，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。
结论：彩带最短需要厘米．
证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是 的长度，
由勾股定理得， ，则这条丝线的最短长度是厘米，
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
图1 图2
2.在长方体表面运动中的最短路径模型
条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞
b）。
结论：蚂蚁爬行的最短路程是
证 明 ： 如 图 ， 当 长 方 体 的 侧 面 按 图 甲 展 开 时 ， ； 则
，
；
如图，当长方体的侧面按图乙展开时， ； 则 ；
，
如图，当长方体的侧面按图丙展开时， ； 则 ；
，∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故 ＞ ＞
∴蚂蚁所行的最短路线长为 ，
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。
3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型
条件：如图3，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端
点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。
结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点 的最短路程为
证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h，
∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线的长，
则由勾股定理得 ；
则蚂蚁沿着台阶面爬到 点最短路程是 ．
图3 图4
4.将军饮马与空间最短路径模型
条件：如图4，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁
离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，
结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。
证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点 ，过 作 交B的延长线于D，
则四边形 是矩形，∴ ， ，连接 ，则 即为最短距离，∵由题意得， （ ）， =a（ ）， （ ），
在 中， （ ）．
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解。
模型1.圆柱中的最短路径模型
例1（23-24八年级上·江苏苏州·期中）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在苏州园林绿化中随
处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是
，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高 时，这段枝蔓的长是 ．
例2（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的 型池的示意图，该 型池可
以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 的半圆，其边缘
，点 在 上， ，一名滑板爱好者从 点滑到 点，则他滑行的最短距离为
（ ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计， 取3）
A．17 B． C． D．
例3（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，有一圆柱，它的高为 ，底面周长为 ．则蚂蚁
沿圆柱侧面从点 爬到点 的最短路程是 ．例4（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白
玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条
雕龙从柱底向柱顶（从 点到 点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在
石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B．20 C．15 D．
模型2.长方体中的最短路径模型
例1（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长、宽、高分别是 的长方体木块，一只蚂
蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要
爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
例2（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点P在墙面上，
已知 ， ，且 米，点P到 的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，
它的最短行程是 米．例3（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为 ，宽为 ，高为 ，点
离点 为 ，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离
是（ ）
A． B． C． D．
例4（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是 ，高为
．在其侧面从点 开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点 停止，则彩条的最短长度为 ．
模型3.阶梯中的最短路径模型
例1（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为 、
、 ． 和 是台阶两个相对的端点，在 点有一只蚂蚁，想到 点去觅食，那么它爬行的最短
路程是（ ）A． B． C． D．
例2（23-24八年级上·江苏镇江·期中）在一个长12米，宽为8米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱
柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽 ，木块的主视图是边长3米的等边三角形，一只蚂蚁从点A
处到C处需要走的最短路程是 米．
例3（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知
米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过
木块到达 处需要走的最短路程是（ ）
A．8m B．10m C． m D． m
例4（2024·江苏南京·二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点 A
到点B的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A． B． C． D．模型4.将军饮马与空间最短路径模型
例1（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周
长为 ，在容器内壁离容器底部 的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿
的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
例2（2024·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一
个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为 的半圆，其边缘
．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则
他滑行的最短距离约为（ ）m．（ 取3）
A．30 B．28 C．25 D．22
例3（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高
，水深 ，在水面上紧贴内壁的 处有一块面包屑， 在水面线 上，且
，一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为
．1．（23-24七年级上·福建宁德·期中）在一个长为 、宽为 、高为 的长方体上，居中截去一个
长为 、宽为 、深为 的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点
处，沿着几何体的表面到几何体上和 相对的顶点 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径
为 ，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路
程是多少（ 取3）（ ）
A． B．8 C． D．10
3．（2024·江苏·八年级专题练习）已知长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，一只蚂蚁沿着长方
体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（ ）A． B． C． D．
4．（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，
在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂
直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（ ）
A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米
5．（2024八年级·广东·培优）如图是一个长为 ，宽为 ，高为 的仓库，在其内壁的点 （长的四
等分点）处有一只壁虎．在点 （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为 ，高 为 ， 是
上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（ ） ．A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，长方体的底面是边长为 的正方形，侧面都是长为 的长方
形．点 是 的中点，在长方体下底面的 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点 处的蜂蜜，则沿着表
面需要爬行的最短路程是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）如图， 是长方形地面，长 ，宽 ，中间
刚好有一堵墙，墙高 ，一只蜗牛从 点爬到 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·山西太原·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将
一个 的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘
蛛从该书架的顶点 出发，沿书架内壁爬行到顶点 处，则它爬行的最短距离为 ．
10．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为 ，底面的周长为
，点 位于盒外底面的边缘．如果 处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点 处的食物，那么蚂
蚁需要爬行的最短路程是 cm．11．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，教室的墙面 与地面 垂直，点 在墙面上，若
，点 到 的距离是 ，有一只蚂蚁要从点 爬行到点 ，则它的最短行程是
m．
12．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶
点A到顶点 镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为
cm．
14．（2024·四川乐山·八年级统考期末）如图，长方体的底面是边长为 的正方形，高为 ．如果从
点 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点 ，那么所用细线最短需要 cm．
14．（2023八年级下·上海·专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱
体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 尺，底面周长为 尺，有葛藤自点 处缠绕而上．
（ ）若绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
（ ）若绕 周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
15．（23-24八年级下·广西河池·阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高 ， 点位于圆
周顶面 处，小虫在圆柱侧面爬行，从 点爬到 点，然后再爬回 点，则小虫爬行的最短路程为 ．
16．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方
体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4 的半圆，其边缘 ，点E在
上， ，一滑行爱好者从 点滑行到 点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．
17．（2023秋·山东八年级课时练习）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．
如图，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准确地判断出从点 攀爬到点 的最
短路径为 米．18．（2024·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图是长 、宽 、高 的长方体容
器．
(1)求底面矩形 的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？
19．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数
学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．
他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要
到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图②，作点B关于直线 的对称点 ，连接 与直线 交于点P，连接 ，则 的和最小．
请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．
理由：如图③，在直线 上另取任一点 ，连接 ， ， ，∵直线 是点B， 的对称轴，点P， 在 上，
∴ ______， ______，（依据______）
∴ ______．
在 中，∵ ，（依据______），
∴ ，即 最小．
【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直
线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决
（其中点P为 与 的交点，即 三点共线）．
由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ．在杯内离杯底 的点C处有一滴
蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为
______ ．
20．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B
对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______ ．
方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从点A开
始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为 ，高为 ，杯底厚 ．在玻璃杯外壁距杯口 的点A
处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最
短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
