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专题 02 直角三角形及线段垂直平分线、角平分线
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重难突破
知识点一 直角三角形性质及判定
1、直角三角形性质
直角三角形的两个锐角互余.
2、直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形.
典例1
（2020春•高州市期中）下列说法正确的是
A．三角形的三个内角之和为
B．同位角相等C．同旁内角互补
D．直角三角形的两个锐角互补
【解答】解： 、三角形的三个内角之和为 ，本选项说法正确；
、两直线平行，同位角相等，本选项说法错误；
、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法错误；
、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法错误；
故选： ．
典例2
如图，若要用“ ”证明 ，则还需补充条件
A.
B． 或
C． 且
D．以上都不正确
【解答】解：从图中可知 为 和 的斜边，也是公共边．
很据“ ”定理，证明 ，
还需补充一对直角边相等，
即 或 ，
故选： ．
知识点二 勾股定理及逆定理
1、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
如图，直角三角形两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么 ．
作用：①已知直角三角形的两边求第三边；
②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
③证明有关线段平方关系；
④作出长为 的线段.
2、勾股定理逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
如图，三角形三边 ， ， ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形．
典例1
（2021春•福田区校级期中）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是
A．5，12，13 B．9，40，41 C．3，4，5 D．2，3，4
【解答】解： ． ，
以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
． ，
以9，40，41为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
． ，
以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
． ，
以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选： ．
典例2
（2020秋•南山区期末）在如图的网格中，小正方形的边长均为1， 、 、 三点均在正方形格点上，
则下列结论错误的是A． B．
C． D．点 到直线 的距离是2
【解答】解： 、 ，本选项结论错误，符合题意；
、 ， ， ，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
、 ，
，本选项结论正确，不符合题意；
、设点 到直线 的距离为 ，
则 ，
解得， ，本选项结论正确，不符合题意；
故选： ．
典例3
（2021春•福田区校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的
面积是
A．50 B．16 C．25 D．41
【解答】解：由勾股定理得， ，
，
阴影部分的面积 ，故选： ．
知识点三 线段的垂直平分线
1、线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2、线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3、三角形三边垂直平分线的性质定理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
典例1
（2020•益阳）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ， 平分 ，若 ，则
的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 垂直平分 ，
，
又 平分 ，
，
，
故选： ．典例2
（2020春•龙岗区期中）如图，在 中， 垂直平分 ，若 ， ，则 的
周长为
A． B． C． D．
【解答】解： 垂直平分 ，
，
的周长 ．
故选： ．
知识点四 角平分线
1、角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
3、三角形三内角的平分线的性质定理
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
角平分线的常用辅助线
常用辅助线 示例
1．由角平分线上的点向角两边引垂
线，构造全等．2．角的两边上取相等的线段，结合角
平分线构造全等三角形．
3．过角平分线上一点作角平分线的垂
线．
4．过角平分线上一点作平行线，可构
造等腰三角形．
典例1
（2020秋•渑池县期末）如图， 平分 ， 于点 ， ，点 是射线 上的任意一
点，则 的长度不可能是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：过 点作 于 ，如图，
平分 ， ， 于 ，
，
．
故选： ．典例2
（2020春•龙岗区校级期末）如图，在等腰 中， ， ， 的角平分线 交
于点 ，则点 到 的距离是
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：作 于 ，如图，
为等腰直角三角形，
， ，
平分 ，
，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，即 ，
，
即点 到 的距离 ．
故选： ．巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2020秋•罗湖区期末）直角三角形两直角边长为 ， ，斜边上高为 ，则下列各式总能成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据直角三角形的面积可以导出：斜边 ．
再结合勾股定理： ．
进行等量代换，得 ．
两边同除以 ，得 ．
故选： ．
2．（2021春•蜀山区校级期中）下列各组线段中，不能构成直角三角形的是
A．1、 、 B． 、 、 C．2、 、 D．1、2、
【解答】解： 、 ，故能构成直角三角形；
、 ，故能构成直角三角形；
、 ，故不能构成直角三角形；
、 ，故能构成直角三角形．
故选： ．
3．（2021•佛山一模）如图，在三角形 中， ， ，三角形 的周长是7，
于 ， 于 ，且点 是 的中点，则A． B． C． D．7
【解答】解： ， ， 是 的中点，
，
， ，
点 是 的中点， ，
，
，
的周长 ，
，
由勾股定理知 ，
故选： ．
4．（2020春•西华县期末）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正
方形边长为 ，则图中所有的正方形的面积之和为
A． B． C． D．
【解答】解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
，
，，
，
则 ．
故选： ．
5．（2021•莲湖区三模）如图，将 放在每个小正方形边长均为1的网格中，点 、 、 均落在格
点上，若点 的坐标为 ，则到 三个顶点距离相等的点的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：平面直角坐标系如图所示， 与 的垂直平分线的交点为点 ，
到 三个顶点距离相等的点的坐标为 ，
故选： ．
6．（2020春•济阳区期末）如图，已知 中， ， 平分 ，且 ．若
，则点 到 边的距离为A．7 B．9 C．11 D．14
【解答】解：如图，
．
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
过点 作 于 ，
是 的平分线， ，
，
点 到 边的距离是9，
故选： ．
二、填空题（共5小题）
7．如图所示，在 中， ， 、 分别是 、 的垂直平分线，点 、 在 上，
则 ．【解答】解： 中， ，
，
、 分别是 、 的中垂线，
， ，
即 ，
．
故答案为 ．
8．（2021春•福田区校级期中）如图，在 中， 是 的平分线， ， ，则
．
【解答】解：作 于 ， 于 ，
是 的平分线，
．
故答案为： ．
9．（2019春•坪山区期末）如图， ， ， ，若 ， ，则
的长为 ．【解答】解：过 作 ，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
， ， ，
，
故答案为 ．
10．（2020秋•福田区期末）如图是“赵爽弦图”， ， ， 和 是四个全等的直角
三角形，四边形 和 都是正方形，如果 ，且 ．那么 等于 ．
【解答】解： ， ，
设 为 ， 为 ，
由勾股定理得： ，
，
，
，
故答案为：6．
11．（2021•深圳模拟）如图，在四边形 中， ， ， ，点 在 上，
．且 ，若 ．则 ．【解答】解：过点 作 ，交 延长线于点 ，
由题意得， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
三、解答题（共2小题）
12．（2020秋•龙华区期末）如图，已知 中， ，过点 作 ，交 的平分
线 于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： ；（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： ， 平分 ，
，
，
，
，
；
（2）解：在 中， ，
，
，
，
．
13．（2021春•福田区校级月考）如图，长方形纸片 中， ， ，将它沿对角线 折
叠，使点 落在点 处，则图中阴影部分的面积是多少？
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，由折叠的性质，可得 ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，即 ，
解得 ，
．
