专题10复数7种常见考法归类（全国通用）（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2021-2025高考真题分类 复数7种常见考法归类 ~ ~ 2021-2025高考真题分类 复数7种常见考法归类 1 一 复数的概念 1 二 复数相等 1 三 复数的模 2 四 复数模的最值 3 五 复数的几何意义 4 六 共轭复数 4 七 复数的四则运算 6 ~ ~ 一 复数的概念 1. (2025·全国一卷·高考真题)(1+5i)i的虚部为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【解析】因为1+5i  i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1， 故选：C. 2 2. (2024·上海·高考真题)已知虚数z，其实部为1，且z+ =mm∈R z  ，则实数m为 ． 【答案】2 【分析】设z=1+bi,b∈R且b≠0，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【解析】设z=1+bi，b∈R且b≠0. 2 2 b2+3 则z+ =1+bi+ = z 1+bi 1+b2  b3-b + 1+b2  i=m，   b2+3 =m 1+b2 ∵m∈R，∴ ，解得m=2，  b3-b  =0 1+b2 故答案为：2. 二 复数相等 1. (2022·浙江·高考真题)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则 ( ) A. a=1,b=-3 B. a=-1,b=3 C. a=-1,b=-3 D. a=1,b=3 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件可求a,b. 【解析】a+3i=-1+bi，而a,b为实数，故a=-1,b=3， 故选：B. 2. (2022·全国乙卷·高考真题)设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则 ( ) A. a=1,b=-1 B. a=1,b=1 C. a=-1,b=1 D. a=-1,b=-1 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 数学试题 第 1 页 共 8 页【解析】因为a,b∈R，a+b  +2ai=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=-1． 故选：A.  3. (2022·全国乙卷·高考真题)已知z=1-2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则 ( ) A. a=1,b=-2 B. a=-1,b=2 C. a=1,b=2 D. a=-1,b=-2 【答案】A  【分析】先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【解析】z=1-2i  z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i  由z+az+b=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等， 1+a+b=0 a=1 得  ,即  2a-2=0 b=-2 故选:A 4. (2021·浙江·高考真题)已知a∈R，1+ai  i=3+i，(i为虚数单位)，则a= ( ) A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值. 【解析】1+ai  i=i+ai2=i-a=-a+i=3+i， 利用复数相等的充分必要条件可得：-a=3,∴a=-3. 故选：C. 三 复数的模 1. (2025·北京·高考真题)已知复数z满足i⋅z+2=2i，则|z|= ( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【分析】先求出复数z，再根据复数模的公式即可求出． -2+2i 【解析】由i⋅z+2=2i可得，z= =2+2i，所以z i  = 22+22=2 2， 故选：B. 2. (2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知z=-1-i，则z  = ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【解析】若z=-1-i，则z  = -1  2+-1  2= 2. 故选：C. 3. (2023·全国乙卷·高考真题)2+i2+2i3  = ( ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 5 【答案】C 【分析】由题意首先化简2+i2+2i3，然后计算其模即可. 【解析】由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i， 数学试题 第 2 页 共 8 页则2+i2+2i3  =1-2i  = 12+-2  2= 5. 故选：C.  4. (2022·全国甲卷·高考真题)若z=1+i．则|iz+3z|= ( ) A. 4 5 B. 4 2 C. 2 5 D. 2 2 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．  【解析】因为z=1+i，所以iz+3z=i1+i  +31-i   =2-2i，所以iz+3z  = 4+4=2 2． 故选：D. 5. (2022·北京·高考真题)若复数z满足i⋅z=3-4i，则z  = ( ) A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【分析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模． 3-4i 3-4i 【解析】由题意有z= = i  -i  i⋅-i  =-4-3i，故|z|= -4  2+-3  2=5． 故选：B． 3+i 6. (2025·天津·高考真题)已知i是虚数单位，则 i  = ． 【答案】 10 3+i 【分析】先由复数除法运算化简 ，再由复数模长公式即可计算求解. i 3+i 【解析】先由题得 =-i3+i i  3+i =1-3i，所以 i  = 12+-3  2= 10. 故答案为： 10 7. (2023·上海·高考真题)已知当z=1+i，则1-i⋅z  = ； 【答案】 5 【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案. 【解析】1-iz=1-i(1+i)=2-i，|1-iz|=|2-i|= 5. 故答案为： 5. 四 复数模的最值  1. (2025·上海·高考真题)已知复数z满足z2=(z)2,|z|≤1，则|z-2-3i|的最小值是 ． 【答案】2 2 【分析】先设z=a+bi，利用复数的乘方运算及概念确定ab=0，再根据复数的几何意义数形结合计算 即可. 【解析】设z=a+bia,b∈R   ,∴z=a-bi，  由题意可知z2=a2+2abi-b2=z2=a2-2abi-b2，则ab=0， 又z  = a2+b2≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Za,b  在单位圆内部(含边界)的坐 标轴上运动，如图所示即线段AB,CD上运动， 设E2,3  ，则z-2-3i  =ZE  ，由图象可知BE  = 10>CE  =2 2， 所以ZE  =2 2. min 故答案为：2 2 数学试题 第 3 页 共 8 页五 复数的几何意义 1. (2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)在复平面内，1+3i  3-i  对应的点位于( )． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【解析】因为1+3i  3-i  =3+8i-3i2=6+8i， 则所求复数对应的点为6,8  ，位于第一象限. 故选：A.  2. (2023·北京·高考真题)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1, 3)，则z的共轭复数z= ( ) A. 1+ 3i B. 1- 3i C. -1+ 3i D. -1- 3i 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算. 【解析】z在复平面对应的点是(-1, 3)，根据复数的几何意义，z=-1+ 3i，  由共轭复数的定义可知，z=-1- 3i. 故选：D 2-i 3. (2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)复数 在复平面内对应的点所在的象限为 ( ) 1-3i A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 2-i 【分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置. 1-3i 2-i 2-i 【解析】 = 1-3i  1+3i  5+5i 1+i 1 1 = = ，所以该复数对应的点为 , 10 10 2 2 2  ， 该点在第一象限， 故选：A. 六 共轭复数  1. (2024·全国甲卷·高考真题)设z= 2i，则z⋅z= ( ) A. -2 B. 2 C. - 2 D. 2 【答案】D  【分析】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算.   【解析】依题意得，z=- 2i，故zz=-2i2=2. 故选：D 数学试题 第 4 页 共 8 页 2. (2024·全国甲卷·高考真题)若z=5+i，则iz+z  = ( ) A. 10i B. 2i C. 10 D. 2 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.    【解析】由z=5+i⇒z=5-i,z+z=10，则iz+z  =10i. 故选：A  3. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)若i(1-z)=1，则z+z= ( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D  【分析】利用复数的除法可求z，从而可求z+z. 1 i  【解析】由题设有1-z= = =-i，故z=1+i，故z+z=1+i i i2  +1-i  =2， 故选：D 1-i  4. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知z= ，则z-z= ( ) 2+2i A. -i B. i C. 0 D. 1 【答案】A  【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出． 1-i 1-i 【解析】因为z= = 2+2i  1-i  21+i  1-i  -2i 1  1  = =- i，所以z= i，即z-z=-i． 4 2 2 故选：A． z 5. (2022·全国甲卷·高考真题)若z=-1+ 3i，则  = ( ) zz-1 1 3 1 3 A. -1+ 3i B. -1- 3i C. - + i D. - - i 3 3 3 3 【答案】C 【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.   【解析】z=-1- 3i,zz=(-1+ 3i)(-1- 3i)=1+3=4. z -1+ 3i 1 3  = =- + i zz-1 3 3 3 故选 ：C 2+i  6. (2023·全国乙卷·高考真题)设z= ，则z= ( ) 1+i2+i5 A. 1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 2+i 2+i i2+i 【解析】由题意可得z= = = 1+i2+i5 1-1+i  2i-1 = =1-2i， i2 -1  则z=1+2i. 故选：B. 数学试题 第 5 页 共 8 页 7. (2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知z=2-i，则zz+i  = ( ) A. 6-2i B. 4-2i C. 6+2i D. 4+2i 【答案】C 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.   【解析】因为z=2-i，故z=2+i，故zz+i  =2-i  2+2i  =4+4i-2i-2i2=6+2i 故选：C.  8. (2022·上海·高考真题)已知z=1+i(其中i为虚数单位)，则2z= ； 【答案】2-2i   【分析】先由z=1+i求出z，从而可求出2z  【解析】因为z=1+i，所以z=1-i，  所以2z=21-i  =2-2i， 故答案为：2-2i  9. (2021·全国乙卷·高考真题)设2z+z   +3z-z  =4+6i，则z= ( ) A. 1-2i B. 1+2i C. 1+i D. 1-i 【答案】C 【分析】设z=a+bi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知 数的值，即可得出复数z.   【解析】设z=a+bi，则z=a-bi，则2z+z   +3z-z  =4a+6bi=4+6i， 4a=4 所以，  ，解得a=b=1，因此，z=1+i. 6b=6 故选：C. 七 复数的四则运算 9+2i 1. (2021·天津·高考真题)i是虚数单位，复数 = ． 2+i 【答案】4-i 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 9+2i 9+2i 【解析】 = 2+i  2-i  2+i  2-i  20-5i = =4-i. 5 故答案为：4-i. 11-3i 2. (2022·天津·高考真题)已知i是虚数单位，化简 的结果为 ． 1+2i 【答案】1-5i/-5i+1 【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出． 11-3i 11-3i 【解析】 = 1+2i  1-2i  1+2i  1-2i  11-6-25i = =1-5i． 5 故答案为：1-5i． 5+14i 3. (2023·天津·高考真题)已知i是虚数单位，化简 的结果为 ． 2+3i 【答案】4+i/i+4 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i，然后计算其运算结果即可. 数学试题 第 6 页 共 8 页5+14i 5+14i 【解析】由题意可得 = 2+3i  2-3i  2+3i  2-3i  52+13i = =4+i. 13 故答案为：4+i. 4. (2024·天津·高考真题)i是虚数单位，复数 5+i  ⋅ 5-2i  = ． 【答案】7- 5i 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【解析】 5+i  ⋅ 5-2i  =5+ 5i-2 5i+2=7- 5i. 故答案为：7- 5i. 5. (2021·全国乙卷·高考真题)设iz=4+3i，则z= ( ) A. -3-4i B. -3+4i C. 3-4i D. 3+4i 【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值. 4+3i 4+3i 【解析】由题意可得：z= = i  i 4i-3 = =3-4i. i2 -1 故选：C. 6. (2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)(2+2i)(1-2i)= ( ) A. -2+4i B. -2-4i C. 6+2i D. 6-2i 【答案】D 【分析】利用复数的乘法可求2+2i  1-2i  . 【解析】2+2i  1-2i  =2+4-4i+2i=6-2i， 故选：D. 1 7. (2025·全国二卷·高考真题)已知z=1+i，则 = ( ) z-1 A. -i B. i C. -1 D. 1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 1 1 1 i 【解析】因为z=1+i，所以 = = = =-i. z-1 1+i-1 i i2 故选：A. z 8. (2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)若 =1+i，则z= ( ) z-1 A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. z z-1+1 1 1 【解析】因为 = =1+ =1+i，所以z=1+ =1-i. z-1 z-1 z-1 i 故选：C. z 9. (2024·北京·高考真题)已知 =-1-i，则z=( )． i A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i 数学试题 第 7 页 共 8 页【答案】C 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【解析】由题意得z=i-1-i  =1-i. 故选：C. 51+i3 10.(2023·全国甲卷·高考真题)  2+i  2-i  = ( ) A. -1 B. 1 C. 1-i D. 1+i 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 51+i3 【解析】  51-i = (2+i)(2-i)  =1-i 5 故选：C. 11.(2023·全国甲卷·高考真题)设a∈R,a+i  1-ai  =2,，则a= ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【解析】因为a+i  1-ai  =a-a2i+i+a=2a+1-a2  i=2， 2a=2 所以  ，解得：a=1． 1-a2=0 故选：C. 12.(2021·北京·高考真题)在复平面内，复数z满足(1-i)z=2，则z= ( ) A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i 【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 2 21+i 【解析】由题意可得：z= = 1-i  1-i  1+i  21+i =  =1+i. 2 故选：D. 13.(2021·全国甲卷·高考真题)已知1-i  2z=3+2i，则z= ( ) 3 3 3 3 A. -1- i B. -1+ i C. - +i D. - -i 2 2 2 2 【答案】B 3+2i 【分析】由已知得z= ，根据复数除法运算法则，即可求解. -2i 【解析】1-i  2z=-2iz=3+2i， 3+2i 3+2i z= = -2i  ⋅i -2+3i 3 = =-1+ i. -2i⋅i 2 2 故选：B. 数学试题 第 8 页 共 8 页