专题03AX型（原卷版）-2022-2023学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_06专项讲练

专题 03 AX 字型 【基本模型】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例题精讲】 ABC BC 6 E F AB AC P EF BP CE 例1.如图，在 中 ， 、 分别是 、 的中点，动点 在射线 上， 交 于 1 点 D ， CBP 的平分线交 CE 于点Q，当CQ 3 CE 时， EPBP _____． 例2.如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度． 例3.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点 G，若AF＝2FD，则 的值为（ ）A． B． C． D． 【变式训练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、 CE 2 FE DC的延长线于点G．如果 = ，求 的值． BE 3 EG 【变式训练2】已知 中， ， （如图）．以线段 为边向外作等边三角形 ，点 是线段 的中点，连接 并延长交线段 于点 ． （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）连接 ，交 于点 ． ①若 ，求 的长； ②作 ，垂足为 ，求证： ． 【变式训练3】如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于 点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若 ＝ ，AF＝2，求 的长．【课后训练】 1．已知，平行四边形 中，点 是 的中点，在直线 上截取 ，连接 ， 交 于 ，则 ___________． 2.如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且 ∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若 ＝ ，AF＝2，求 的长． 3．图， ，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 4．如图， 中，中线 ， 交于点 ， 交 于点 ．（1）求 的值． （2）如果 ， ，请找出与 相似的三角形，并挑出一个进行证明． 5．如图， 为平行四边形 的边 延长线上的一点，连接 ．交 于 ，交 于 ． 求证： ． 6．如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线BC ⊥AC于C 交AB的延 1 1 1 长线于B． 1 （1）请你探究： ， 是否都成立？ （2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 一定成立吗？ 并证明你的判断． （3）如图（2）所示Rt ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝ ，DE∥AC交AB于点E，试求 的 △ 值．7．如图，直角 ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若△BD=BA，求证： ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB△的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC． 8．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上， 作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长； （2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．