专题03AX型（解析版）-2022-2023学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_06专项讲练

专题 03 AX 字型 【基本模型】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例题精讲】 ABC BC 6 E F AB AC P EF BP CE 例1.如图，在 中 ， 、 分别是 、 的中点，动点 在射线 上， 交 于 1 点 D ， CBP 的平分线交 CE 于点Q，当CQ 3 CE 时， EPBP _____． 【解析】如图，延长BQ交射线EF于点M E、F 分别是AB、AC 的中点EF//BC M CBM   BQ CBPCBM PBM PBM BBP MPEPBPEPMPEM 平分 1 EM EQ CQ CE 由 得   2  3 EQ2CQ EF//BC EMQCBQ BC CQ EM 2BC 2612 即EPBP12故答案为：12． 例2.如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．AD AE 1 【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ = = ， AB AC 3 又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC； DE AD 1 （2）解：∵△ADE∽△ABC，∴ = = ，∠ADE＝∠ABC， BC AB 3 DF DE 2 1 ∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴ = ，即 = ，∴FC＝6． CF CB CF 3 例3.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点 G，若AF＝2FD，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴ ， 故选：C．【变式训练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、 CE 2 FE DC的延长线于点G．如果 = ，求 的值． BE 3 EG 【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC． EF BE ∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴ = ． AF DA CE 2 3 3 3 3+5 8 又∵BC＝BE+CE， = ，∴BE= BC= DA，∴EF= AF，∴AE= EF= EF． BE 3 5 5 5 3 3 GE CE 2 2 ∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴ = = ，∴GE= GA， GA DA 2+3 5 2 2 8 16 FE 9 ∴GE= AE= × EF= EF，∴ = ． 5−2 3 3 9 EG 16 【变式训练2】已知 中， ， （如图）．以线段 为边向外作等边三角形 ，点 是线段 的中点，连接 并延长交线段 于点 ． （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）连接 ，交 于点 ． ①若 ，求 的长； ②作 ，垂足为 ，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②证明见解析． 【详解】（1）∵ 是等边三角形∴ ， 在 中， ∴ ∵点 是线段 的中点 ∴ ∴ 是等边三角形 ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴四边形 为平行四边形； （2）①如图，连接 ，交 于点 ∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ； ②如图，作 ，垂足为 ∵ ， ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴∴ ． 【变式训练3】如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于 点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若 ＝ ，AF＝2，求 的长． 【答案】（1）见解析（2）2 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE， 又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF． （2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF， 设BE＝BF＝x，∵ ＝ ，AF＝2，∴ ，解得x＝ ，∴BE＝BF＝ ， ∵ ＝ ，且CE＝AF，∴ ＝ ＝ ，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴ ， ∴ ，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC, ∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2． 【课后训练】 1．已知，平行四边形 中，点 是 的中点，在直线 上截取 ，连接 ， 交 于 ，则 ___________． 【答案】 ； ． 【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H， ∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF, ∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD= AE， ∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH， ∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+ AE= AE， ∴AG：CG=2：5， ∴AG：（AG+CG）=2：（2+5）， 即AG：AC=2：7； （2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，∵AB//CD， ∴△EAF∽△HDF， ∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD= AE， ∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH ∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE- AE= AE， ∴AG：CG=2：3， ∴AG：（AG+CG）=2：（2+3）， 即AG：AC=2：5． 故答案为： 或 ． 2.如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且 ∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若 ＝ ，AF＝2，求 的长． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE， 又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中， ，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF． （2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF， 设BE＝BF＝x，∵ ＝ ，AF＝2， ∴ ，解得x＝ ，∴BE＝BF＝ ， ∵ ＝ ，且CE＝AF，∴ ＝ ＝ ， ∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD， ∴ ， ∴ ，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC, ∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2． 3．图， ，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【答案】 【详解】解：∵ ，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC， ∴△CGH∽△CAB， ∴ ， ∵ ， ∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB， BGH∽△BDC， △ ∴ ， ∴ ， ∵AB=2，CD=3， ∴ ， 解得：GH= ． 4．如图， 中，中线 ， 交于点 ， 交 于点 ． （1）求 的值． （2）如果 ， ，请找出与 相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2） ，证明见解析 【详解】解：（1） 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）当 ， 时， 由（1）可得 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图， 为平行四边形 的边 延长线上的一点，连接 ．交 于 ，交 于 ． 求证： ．【答案】见解析． 【详解】证明：∵AB∥DC， ∴△AOB∽△COE ∴ ∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB ∴ ∴ ，即 ． 6．如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线BC ⊥AC于C 交AB的延 1 1 1 长线于B． 1 （1）请你探究： ， 是否都成立？ （2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 一定成立吗？ 并证明你的判断． （3）如图（2）所示Rt ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝ ，DE∥AC交AB于点E，试求 的 △ 值．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【详解】解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线， 因为BC ⊥AC于C 交AB的延长线于B， 1 1 1 1 ∠CAB＝60°，∠B＝∠CAD＝∠BAD＝30°， 1 AD＝BD， 1 综上：这两个等式都成立； （2）可以判断结论仍然成立，证明如下： 如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点， 线段AD为其内角角平分线 ∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD ∴BE＝AB， 又∵BE＝AB．∴ ， 即对任意三角形结论仍然成立； （3）如图（2）所示，因为Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8， ， △ ∵AD为△ABC的内角角平分线， ∴ ∵DE∥AC， ∵DE∥AC， ∴△DEF∽△ACF， ∴ 7．如图，直角 ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若△BD=BA，求证： ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB△的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1） BF⊥AD， 在 和 中， ∵ ，∴ ； （2）①过G作GH∥AD交BC于H， ∵AG=BG，∴BH=DH， ∵BD=4DC，设DC=k，BD=4k，∴BH=DH=2k， ∵GH∥AD，∴ ，∴GM=2MC； ②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG， ∴△AGM∽△NCM， ∴ ， 由①知GM=2MC， ∴2NC=AG， ∵∠BAC=∠AEB=90°， ∴ ， ∴△ACN∽△BAF， ∴ ， ∵AB=AG，∴ ， ∴2CN•AG=AF•AC， ∴AG2=AF•AC． 8．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上， 作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N． （1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值． 【答案】（1）BN＝10；（2） ，0＜x＜3； ，3＜x＜4.5；（3）x＝2或 或 【详解】解：（1）如图1， 在矩形ABCD中，BC＝AD＝6， ， ∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM， ∴ , ∴AM＝2CF＝4， ∴BM＝AB﹣AM＝5， ∴ ， ∴BN＝10； （2）当CF＝BM时， ，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF， ∴CF＝3， 当点M和B点重合时， AB＝2CF， ∴CF＝4.5， ∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5， 如图2， 当0＜x＜3时， 作EG⊥BC于G， 由（1）知， EG＝3，AM＝2CF＝2x， ∴BM＝9﹣2x， 由 得， ， ∴ ， ∴y＝ ＝ ＝ ； 如图3，当3＜x＜4.5时， 由 得， ∴CN＝ ， ∴y＝ ＝ ； （3）如图4， ∵ ， ∴ ， ∴CG＝ CB＝2， ∴GB＝CB﹣CG＝4， ∴BE＝5， 当BM＝BE＝5时， 9﹣2x＝5，∴x＝2， 如图5， 当EM＝EB＝5时， 作EH⊥AB于H， ∴BM＝2BH＝2EG＝6， ∴9﹣2x＝6， ∴x= ， 如图6， 当EM＝BM时， 作MH⊥BE于H， 在Rt BMH中，BH＝ ，cos∠MBH＝cos∠BEG＝ ， △ ∴BM＝ ， ∴9﹣2x＝ ， ∴x＝ ， 综上所述：x＝2或 或 ．