文档内容
专题 02 菱形的性质与判定(重难题型)
1．如图，在菱形 中， ，连接 、 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设AC与BD的交点为O，由题意易得 ，
，进而可得△ABC是等边三角形， ，然后问
题可求解．
【详解】
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴△ABC是等边三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、
含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
2．如图，已知点 是菱形 的对角线 延长线上一点，过点 分别作 、
延长线的垂线，垂足分别为点 、 ．若 ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC= ，则AP= +PC，PE=AP= + PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF= PC ，最后算出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30︒，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC= ，
∴AP= +PC，
在直角△AEP中，
∵∠PAE=30°，AP= +PC，
∴PE= AP= + PC，
在直角△PFC中，
∵∠PCF=30°，
∴PF= PC，
∴ = + PC- PC= ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角
边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．
3．如图，菱形 边长为4， ， 是 上一动点（不与 、 重合），
是 上一动点， ，则 面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如解图，连接 ．∵菱形 的边长为4， ，∴ 和 均为
等边三角形，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，∴
，∴ 是等边三角形，∴当 时， 的面积最
小，此时 ， 面积的最小值为 ．
4．如图，点 是边长为1的菱形 对角线 上的一个动点， 、 分别是 、
边上的中点，则 的最小值是（ ）
A．6 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】
如解图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，则 ，∴
，∴当 、 、 三点共线时， 最小，最小值为的长．∵四边形 是菱形， 是 的中点，∴ 是 的中点，∵ 是
的中点，∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，
即 的最小值为1．
5．如图，在菱形 中， ，点 ， 将对角线 三等分，且 ，
连接 ， ， ， ．若 是菱形 的边上的点，则满足 的
点 的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】
如解图，不妨假设点 在线段 上，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于
点 ，连接 ，此时 的值最小．∵四边形 是菱形， ，点 、
将 三等分， ，∴ ， ，∵点
为点 关于 的对称点，∴ ， ，∴ 为
等边三角形，∴ ，∴ ，∴ ，∴
，∴ 的最小值为 ，当点 由 运动到 时， 的值由最大值6减小到 再增加到4，∵ ， ，∴线段 上存
在两个点 ，满足 ，∴根据对称性可知：菱形 的边上的存在8个
点 满足条件．
6．如图，已知 中， ， ， ， 、 、 分别是三边
、 、 上的点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如解图，作点 关于 、 的对称点 、 ，连接 ， ， ，由对称
的性质得 ， ， ，可
知当 固定时， 的最小值就是线段 的长．作 关于 、
的对称线段 、 ，连接 ，可以发现 、 是一个菱形对边上的关于中心
对称的对称点． 的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．∵
， ， ，∴ ， ， ．设菱形的高为 ，则 ，解得 ，故 的最小值为
．
7．如图，在矩形片 中，边 ， ，将矩形片 沿 折叠，使
点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形 是
菱形；② 的长是1.5；③ 的长为 ；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结
论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据矩形、折叠性质即可得出CF=CE = AE =AF，则证明结论①正确；设DF=x，故DF= BE
=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F作FH⊥AB于点H，利用矩
形判定与性质并结合勾股定理求得EF的长，则可推出结论③正确；由DF=BE可知阴影部分
的面积为矩形ABCD面积的一半与△CGF面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论
④正确．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEF=∠CFE，
由折叠性质可知：AE=CE，AF=CF，∠AEF=∠CEF，
∴∠CFE =∠CEF，
∴CF=CE，
∴CF=CE = AE =AF，
∴四边形 是菱形；故①正确；
∵四边形 是菱形，
∴CF =AE，
∵四边形 是矩形， ， ，
∴AB =CD=4，∠D=90°，
∴AB-CF =CD-AE，
即DF=BE，
设DF=x，则CF = AF=4-x，
在Rt△ADF中， DF2+AD2= AF2，
即x2+22=（4-x）2
解得x=1.5，
即 的长是1.5；故②正确；
过点F作FH⊥AB于点H，
∴四边形 是矩形，
∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，
∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，
由勾股定理得 ；故③正确；
∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF= ，
∴S =S +S ，
阴影部分 四边形BCFE △CGF
= S +S ，
矩形ABCD △CGF
= AB•AD+ CG•GF，
= ×4×2+ ×2× ，
=4+
= ；故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的
性质等知识是解题的关键．
8．如图，在平行四边形 中， ， 是 的中点，作 于点 ，
连接 、 ，则下列结论错误的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
延长 交 的延长线于 ，取 的中点 连接 ．想办法证明 ，
，四边形 是菱形即可解决问题．
【详解】
解：如图延长 交 的延长线于 ，取 的中点 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故A正确，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故B正确，
∵ ，
∴ ，故C正确，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解
决问题．
9．如图，在 中， 分别是边 上的中线， 于点O，点F是
的中点，若 ，则 的长是（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】
如图（见解析），取 的中点 ，连接 ，先利用勾股定理可得 ，
再根据三角形中位线定理可得 ， ，然
后根据菱形的判定与性质即可得．
【详解】
解：如图，取 的中点 ，连接 ，，
，
分别是边 上的中线，
是 的中位线，
，
同理可得： ，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，利用到三角
形中位线定理是解题关键．
10．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF=CE．
求证；四边形FBED是菱形．
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错 C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
【答案】A
【分析】
先利用菱形 的性质证明 可得 再同理可得
从而判断甲正确；连接BD交AC于O， 利用四边形ABCD是菱形，
可得AC⊥BD，AO=CO，BO=DO， 再证明OF=OE，即可判断乙正确，从而可得丙判断错误．
【详解】
解： 菱形同理可得：
∴四边形FBED是菱形．故甲正确；
连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵AF=CE，
∴OF=OE，
∴四边形FBED是菱形．故乙正确；
由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；
故选：
【点睛】
本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
11．如图，菱形 的边长为10，对角线 ＝16，点 分别是边 的中
点，连接 并延长与 的延长线相交于点 ，则 长为（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
【答案】C
【分析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求
出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
【详解】
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为10，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=DA=10，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=16，
∴AC⊥BD，AO=CO=8，OB=OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在 COD中，∵OC⊥OD，CD=10，CO=8，
△
∴OB=OD= ，
∴BD=2OD=12，
∴EG=BD=12；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、
平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
12．如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 于点 ，
连接 ，若 ， ．则菱形 的面积为（ ）A．12 B．10 C．6 D．24
【答案】A
【分析】
由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH=2，
则，BD=4，由菱形对角线的性质可得AC=6，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，
即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴菱形 的面积 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角
形的性质进行计算是是解决本题的关键．13．如图，已知在菱形 中， ，以点 为圆心，取大于 的长为半
径，分别作弧相交于 两点，作直线 交 边于点 （作图痕迹如图所示），连
结 ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．菱形 的面积为 D．
【答案】C
【分析】
由作法知，MN是线段AB的垂直平分线，根据菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股
定理可作出判断．
【详解】
由作法知，MN是线段AB的垂直平分线
∴BE=AE=2
故选项B正确
∵BE=AE，∠A=30゜
∴∠EBA=∠A=30゜
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADB= (180゜ ∠A)=75゜
−
∴∠DBE=∠ABD−∠EBA=45゜
故选项A正确
设MN交AB于点F，如图∵MN⊥AB，∠A=30゜
∴EF= AE=1
由勾股定理得：
∴AD=AB=2AF=
∴ED=AD−AE== −2
故选项D正确
如图，过点D作DG⊥AB于点G
在Rt△ADG中，∠A=30゜，则
∴
从而选项C错误
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知
识点，关键是判断题中的作图是作线段AB的垂直平分线．
14．如图，在菱形 中， 分别是边 的中点，P是对角线 上一动点，
已知菱形边长为5，对角线 长为6，则 周长的最小值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【分析】
作点M关于BD的对称点 ，连接 交BD于点 ．根据轴对称、菱形的性质可知点
为AD的中点．再根据题意即可证明 经过点O，即点O与点 重合．即当 点
为P点时， 最小为 长，即此时 的周长最小．根据勾股定理可求出
，再利用中位线的性质即可求出 长，最后由 ，求出
即为 的周长最小值．
【详解】
如图，作点M关于BD的对称点 ，连接 交BD于点 ．
根据对称的性质和菱形的性质可知点 为AD的中点．
又∵点N为BC中点，∴ 经过点O，即点O与点 重合．
∵ ，
∴根据两点直线线段最短可知，当 点为P点时， 最小为 长，即此时
的周长最小．
∵AC=6，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∵点M，N分别为DC，BC的中点，
∴ ．
∵点 ，N分别为AD，BC的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
∴ ，
∴ ，即 的周长最小值为9．故选：C．
【点睛】
本题考查菱形的性质，轴对称变换，三角形中位线的性质以及勾股定理．作出辅助线并理
解当 点为P点时， 的周长最小是解答本题的关键．
15．已知，如图，在菱形ABCD中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误
的是（ ）
（1）分别以C，D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
A．∠ABC＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S S
△ADM △ABM
【答案】B
【分析】
利用基本作图得到EF垂直平分CD，则AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，再根据菱形的性
质得到AB＝BC＝AD，则可判断△ABC为等边三角形，从而可对A选项进行判断；当AB＝
2，则CM＝DM＝1，在计算出AM ，利用勾股定理计算出BM ，则可对B选项进
行判断；利用BC＝CD＝2CM可对C选项进行判断；利用AB∥CD，AB＝2DM和三角形面积
公式可对D选项进行判断．
【详解】
解：由作法得EF垂直平分CD，
∴AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；
当AB＝2，则CM＝DM＝1，
∵∠D＝60°，
∴AM ，
在R ABM中，BM ，所以B选项的结论错误；
∴BC＝CD＝2CM，所以C选项的距离正确；
∵AB//CD，AB＝2DM，
∴S S ，所以D选项的结论正确．
△ADM △ABM
故选：B．
【点评】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等
于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
16．如图，菱形 的对角线的长分别为2和5， 是对角线 上任一点（点 不与
点 ， 重合），且 交 于 ， 交 于 ，则阴影部分的面积是（
）A．10 B．7.5 C．5 D．2.5
【答案】D
【分析】
根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，
根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
【详解】
设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S S ．
△POF= △AOE
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= AC•BD=5，
∴图中阴影部分的面积为 ×5=2.5．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积
等于菱形面积的一半是解题的关键．
17．如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AG与BD交于点O，E是BC边的中点，
于点F， 于点G，则四边形EFOG的面积为（ ）A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】
由菱形的性质得出 ， ， ， ，证出四边形
是矩形， ， ，得出 、 都是 的中位线，则
， ，由矩形面积即可得出答案．
【详解】
解： 四边形 是菱形，
， ， ，
于 ， 于 ，
四边形 是矩形， ， ，
点 是线段 的中点，
、 都是 的中位线，
， ，
矩形 的面积 ；
又∵菱形ABCD的面积为= ，∴
∴矩形 的面积= ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的
性质和矩形的性质是解题的关键．
18．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A C D ，连结
1 1 1
AD ，BC ．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC ＝x，△ACD与△A C D 重叠部分的面积为s，则下列
1 1 1 1 1 1
结论：①△A AD ≌△CC B②当x＝1时，四边形ABC D 是菱形 ③当x＝2时，△BDD 为等边
1 1 1 1 1 1
三角形 ④s＝ （x﹣2）2（0＜x＜2），其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】
根据平移前后两图形全等得到∠DAC=∠ ,根据平移的性质得到C C=A A，根据矩形的
1 1
性质得到A D=BC，再根据SAS证明两三角形全等．①正确；根据30°的直角三角形的性质
1
可得△ABC 是等边三角形，再由平移的性质得出四边形ABC D 是菱形．②正确；根据当x
1 1 1
＝2时，点C 与点A重合，根据平移的性质,CC =DD =2,矩形的对角线相等，BD=AC，证明
1 1 1
BD＝DD ，∠BDD ＝60°得出△BDD 为等边三角形．③正确；利用含30°的直角三角的性质
1 1 1
得出AC ，再根据三角形的面积公式计算即可判定④错误；
1
【详解】
解：∵AC＝A C ，
1 1∴AA ＝CC
1 1
∵BC＝D A ，∠AA D ＝∠BCC ，
1 1 1 1 1
∴△A AD ≌△CC B，故①正确，
1 1 1
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，AB＝1，
∴AC＝A C ＝2，
1 1
当x＝1时，AC ＝CC ＝1，
1 1
∴AC ＝AB，
1
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
1
同法可证：△AD C 是等边三角形，
1 1
∴AB＝BC ＝AC ＝AD ＝C D ，
1 1 1 1 1
∴四边形ABC D 是菱形，故②正确，
1 1
当x＝2时，BD＝AC＝2，DD ＝2，∠BDD ＝60°，
1 1
∴△BDD 是等边三角形，故③正确，
1
当0＜x＜2时，S＝ • （2﹣x）• （2﹣x）＝ （2﹣x）2，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定、平移变换等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，四边形 为菱形， ，延长 到 ，在 内作射线
，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，若 ，则对角线
的长为______．（结果保留根号）【答案】
【分析】
先由菱形的性质得出 ，求得 ，再根据直角三角形两锐角互余
得 ,连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得 ，
，根据AAS证明 可得 ，从而可求出
．
【详解】
解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD， ，BD=2DO
∴
∵
∴
∵
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴∴
在 和 中，
∴ ≌
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC并证明 ≌
是解答此题的关键．
20．如图，菱形ABCD中， ，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则
的最小值是______．
【答案】
【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最
短．
【详解】
解：如图所示：
过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
四边形 是菱形， ，
∴∠ABP=30°，
，
，
由垂线段最短可知， 的最小值为 的长，
，
即 的最小值是： ，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距
离．21．如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， ， ，
点 是 上一点，连接 ，若 ，则 的长为______．
【答案】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，OD，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出AD，然
后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求解即可．
【详解】
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OD＝ BD＝ ×6＝3，OC＝ AC＝ ×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，CD＝ ，
∵OE＝AE，
∴∠DAC＝∠EOA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠EOA＝∠DCA，
∴OE CD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝ CD＝ ×5＝ ，故答案是： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，
推出OE是△ADC的中位线，是解题的关键．
22．如图，在菱形 中， ， 是对角线 上的两点，且 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）证明四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
(1)利用SAS证明即可；
(2)从对角线的角度加以证明即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
又∵ ，
∴ ≌ ．
（2）证明：连接 交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，且 为 ， 中点，
又∵ ，
∴
∴ 与 互相垂直且平分，
故四边形 是菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基
本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键．
23．如图，在菱形 中，对角线 相交于点O， ，
点M从点A出发沿 方向以 的速度匀速运动，至点D时停止运动，连接 并延
长交 于点N，设点M的运动时间为 ．
（1）求证： ；
（2）当四边形 的面积为 时，求t的值；
（3）求当t为何值时， 的外心在它的边上．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2或8
【详解】（1）证明：∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如解图①，分别过点A、O作 的垂线，垂足分别为点E、F，
例题解图①
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，解得 ；
（3）解：∵ 的外心在它的边上，∴ 为直角三角形，分以下两种情况讨论：
①如解图②，当 时， 的外心在 上，
例题解图②
∵ ，
∴ ，
由（2）可知 ，∴ ，
∴ ；
②当 时， 的外心在 上，
∵四边形 为菱形，
∴ ，∴ ，
∴此时点M运动到点D处，∴ ；
综上所述，当t为 或 时， 的外心在它的边上．
24．如图， 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 ，分别交 、
于点 、 ，连接 、 ．（1）若 ，求 的长；
（2）判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1）4；（2）菱形，理由见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得 ， ，再证明 ，进而
即可得到答案；
（2）先证明四边形 是平行四边形，再证明平行四边形 是菱形．
【详解】
（1）∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）四边形 是菱形，理由如下：
∵ 的对角线 、 相交于点 ，
∴ ，又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴平行四边形 是菱形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定定理，熟练掌握平行四边形的性质以及菱
形的判定定理是解题的关键．
25．四边形 为菱形， 为对角线，在对角线 上任取一点 ，连接 ，把线
段 绕点 顺时针旋转得到线段 ，使得 ，点 的对应点为点 ，
连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线
段，使每对线段的和等于 （ 和 除外）．
【答案】（1）见解析；（2） ； ； ； ；
【分析】
（1）证明 ，可得结论．
（2）证明 ，结合全等三角形的性质，可得结论．
【详解】
解：（1）证明： 四边形 为菱形，，
把线段 绕点 顺时针旋转得到线段 ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
．
（2） ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．【点睛】
本题考查菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到
点F，使EF＝DE，连接CF，BF．
（1）求证：四边形CFBD是菱形；
（2）连接AE，若CF＝ ，DF＝2，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）证明四边形CFBD是平行四边形，再证明∠1＝90°，即可判定四边形CFBD是菱形．
（2）根据菱形的性质求得EF＝1，再由勾股定理求得CE＝3，由三角形的中位线定理可得
AC＝2，再由勾股定理即可求得 ．
【详解】
（1）证明：∵E是边BC的中点，
∴BE＝EC，∵ DE＝EF，BE＝EC，
∴四边形CFBD是平行四边形，
∵D是AB边中点，E是BC中点，
∴DE∥AC，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴四边形CFBD是菱形．
（2）∵四边形CFBD是菱形，
∴∠CEF＝90°．
∵DF＝2，
∴EF＝1，
∵ ，
∴由勾股定理得，CE＝3，
∵D，E分别是边AB，BC的中点，DE＝1，
∴AC＝2，
∵∠ACB＝90°，
由勾股定理得 ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
27．如图，已知菱形 中，分别以 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧分别相交于 、 两点，直线 交 于点 ，交对角线 于点 ，连接 、．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）18°．
【分析】
（1）根据作图可知直线 是线段 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得
CE=DE，根据菱形的性质，利用SAS可证明 ≌ ，可得BE=DE，即可得结论；
（2）根据菱形及等腰三角形的性质可得 =54°，根据 可得
，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】
（1）由作图可知直线 是线段 的垂直平分线，
∴
∵四边形 是菱形
∴ ，
∵
∴ ≌
∴
∴（2）∵四边形 是菱形
∴
∴ ，
∴
∵
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的
性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
28．问题：如图，在 中， ， ， ， 的平分线AE，BF
分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案： ．
探究：（1）把“问题”中的条件“ ”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“ ， ”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F
相邻两点间的距离相等时，求 的值．【答案】（1）①10；②5；（2） ， ，
【分析】
（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出 ，
，即可完成求解；
②证明出 即可完成求解；
（2）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用
， 以及点 C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．
【详解】
（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，
，
．
平分 ，
．
．
．
同理可得： ．
点E与点F重合，
．②如图2，点E与点C重合，
同理可证 ，
∴▱ABCD 是菱形，
，
点F与点D重合，
．
（2）情况1，如图3，
可得 ，
．
情况2，如图4，
同理可得， ，
又 ，
．情况3，如图5，
由上，同理可以得到 ，
又 ，
．
综上： 的值可以是 ， ， ．
【点睛】
本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与
性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综
合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的
思想等．
29．综合与实践
问题情境在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题，如图①，点P是 的中点，分别以 、
为底边在 的同侧作等腰 和等腰 ，且 ，连接
、 交于点O．求证： ．
解决问题
（1）请你解决老师提出的问题；
合作交流
创新小组受老师提出问题的启发继续进行深入探究．将图①中的 绕着点P按顺时针
方向旋到如图②所示的位置，连接 ，创新小组发现 ；
（2）请你证明创新小组发现的结论；
（3）如图③，将图①中的 绕着点P按顺时针方向旋转至 停止旋转．在不
增加字母的情况下．请你选择已标注字母的四个点为顶点的四边形是特殊四边形，请你写
出该四边形的名称，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形 是菱形（答案不唯一），理由
见解析
【详解】
（1）证明： ， 是等腰三角形，
是等腰三角形的顶角．
．
．
同理得 ， ．
∵P是 的中点， ．，
，
同理得 ，
．
；
（2）证明： ，
又 ， ，
如解图①，过点P分别作 ， ．垂足分别是E，F，
，
．
平分 ．
即 ；
图①（3）解：四边形 是菱形．（答案不唯一）
理由如下：如解图②，记 与 的交点为L，
， ， ，
， ，
，
，
即 ，
，即 ，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
又 ，
∴平形四边形 是菱形．
图②
