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专题02 网格中求正切
1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD
相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF， ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，
易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：B△F＝1：2，在Rt PBF中，即可求得tan∠BPF的值，
继而求得答案． △
【详解】解：如图：连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝ CD，BF＝ BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝ CF＝ BF，
在Rt PBF中，tan∠BPF＝ ＝2，
△
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键
2．如图，将 ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t
△
anC的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【详解】如图：
在RtACD中，tanC ．
故选B．
【点睛】本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角
三角形，即可求出所求．
【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌
握勾股定理．
4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段
AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】如图，连接AP，QB，可得∠PAB=∠QBA=90°，
又∵∠AMP=∠BMQ，
∴△PAM∽△QBM，
∴ = ，
∵AP=3 ，BQ= ，AB=2 ，
∴ = ，解得：AM= ，∴tan∠QMB=tan∠PMA= = ．
故答案选D．
5．如图， 的顶点在正方形网格的格点处，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求CD、BD、BC，再根据三角函数的意义可求
出tanC的值．
【详解】解：如图，连接 ，由网格的特点可得，
， ， ，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用
网格构造直角三角形是解决问题的关键．
6．如图，将 ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则∠A的正
切值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：连接BD，
则BD＝ ，AD＝2 ，
则tanA＝ ＝ ＝ ．
故选D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余
弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
7．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形
的顶点上，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取格点D，连接 ，根据 ，求解即可.
【详解】如图，取格点D，连接 ，在 中， ．
故选：A.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
8．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在
Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作 ，垂足为D
则根据旋转性质可知，
在 中，
所以
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
9．如图所示， 的顶点在正方形网格的格点上，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
【详解】如图，取格点E，连接BE，由题意得： ， ， ，
∴ ．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边
是解题的关键．
10．在图网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则
∠AOC的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B作BE∥DC，交格点于点E，且BE=DC，过点E作EH⊥AB于点H，连接AE，根据
△ABE的面积，求出EH长，从而求出∠AOC的正切值.
【详解】解：过点B作BE∥DC，交格点于点E，且BE=DC，过点E作EH⊥AB于点H，连接AE，
∴∠ABE=∠AOC，∴BE= ，
∴ ，
有勾股定理知 ，
∴ ，
解得：EH= ，
在Rt△BEH中，
，
∴ ，
∴tan∠AOC= ，
故选A.
【点睛】本题是对三角函数的综合考查，准确作出辅助线是解决本题的关键.
11．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是( )A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形解决问题即可．
【详解】解：作AE⊥BC，
∵∠AEC＝90°，AE＝4，BE＝2，
∴tan∠ABC＝ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解
决问题.
12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的
值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B【分析】根据网格结构找出∠ABC所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式
即可．
【详解】解：∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，
所以，tan∠ABC＝ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则tan∠AOB（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】连接AB，分别利用勾股定理求出△AOB的各边边长，再利用勾股定理逆定理求得△ABO
是直角三角形，再求tan∠AOB的值即可．
【详解】
解：连接AB
如图，利用勾股定理得 ， ，
∵ ， ,
∴
∴利用勾股定理逆定理得，△AOB是直角三角形
∴tan∠AOB= =
故选C
【点睛】本题考查了在正方形网格中，勾股定理及勾股定理逆定理的应用.14．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理
证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案．
【详解】连接CD，如图：
，CD= ，AC=
∵ ，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC= = ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明
∠ADC=90°．
15．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 的顶点均在格点（网格线
的交点）上，则 的值为______．【答案】
【分析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图，
在 中， ， ，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．如图，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，连接AB、CD交于点P，则tan∠APC＝
________________．【答案】
【分析】设线段AB上的格点为E，把线段BE向下平移1个单位得到DF，如图，则DF∥BE，根
据平行线的性质得∠CDF=∠APC，再利用勾股定理的逆定理可判断△CDF为直角三角形，然后根
据正切的定义求解．
【详解】解：如图，
设线段AB上的格点为E，把线段BE向下平移1个单位得到DF，如图，则DF∥BE，
∴∠CDF＝∠APC，
∵CD2＝12+32＝10，CF2＝12+12＝2，FD2＝22+22＝8，
而2+8＝10，
∴CD2＝CF2+FD2，
∴△CDF为直角三角形，∠CFD＝90°，
∴tan∠CDF＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠APC＝ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行线的性质，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，
解决本题的关键是利用平移把∠APC转化为∠CDF．
17．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的
格点上，则tan∠ACB的值为_____．【答案】
【分析】如图，作 ，垂足为D，由图可知 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，作 ，垂足为D
由图可知
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正切．解题的关键在构造直角三角形求正切值．
18．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形
的顶点上，则 的值为_______．
【答案】4
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】在网格上取点D，得 ，
∵CD=4，BD=1
∴ ．故答案为：4．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是作出点D，构造直角三角形求解．
19．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点 ， 和 ， ， 与 相交于点 ，则
___．
【答案】
【分析】连接格点FD、FC，可得AB∥FD，由平行线的性质得出∠AEC=∠FDC，证出
∠FCD=90°，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：连接格点FD、FC，如图所示：
则四边形ABDF是平行四边形，△AFC和△CGD都是等腰直角三角形，
∴AB∥FD，∠ACF=∠DCG=45°，FC= AC= ，CD= CG=2 ，
∴∠AEC=∠FDC，∠FCD=180°-∠ACF-∠DCG=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠AEC=tan∠FDC= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解直角
三角形、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．20．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝_____．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，利用面积法可求出CE的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求
出BE的长，再结合正切的定义可求出tan∠ABC的值．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．
∵S ＝ AC•3＝ AB•CE，即 ×2×3＝ ×3 •CE，
ABC
△
∴CE＝ ．
在Rt△BCE中，BC＝ ，CE＝ ，
∴BE＝ ，
∴tan∠ABC＝ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，利用面积法及勾股定理，求出
CE，BE的长是解题的关键．
21．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan =1，tan = ，
，计算 =_________________．【答案】
【分析】作 于 ，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出 、 ，
根据正切的概念求出 即可.
【详解】作 于 ，
由勾股定理得， ， ，
，
，
解得， ，
则 ，
.
故答案为 .
【点睛】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质，熟
记锐角三角函数的概念是解题的关键.
22．如图，将 放置在 的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么 的
正切值为______．【答案】1
【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可
得．
【详解】解：如图所示，连接BC，
则 ， ，
，
是等腰直角三角形，且 ，
，
则 ，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数
的定义．
23．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则
tan∠ABC的值为_____．
【答案】 .
【分析】根据题意和勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以求得tan∠ABC的值．
【详解】连接CD，如图所示，设每个小正方形的边长为a，
则CD＝ a，BD＝2 a，BC＝ a，
∵（2 a）2+（ a）2＝（ a）2，
∴△BCD是直角三角形，
∴tan∠ABC＝tan∠DBC＝ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结
合的思想解答．
24．如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角
边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则
这个展开图可折成的正方体的体积为_____cm3．
【答案】27
【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，然后延长FE交AC于点D，根据三角函
数的性质，可求得AC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，
延长FE交AC于点D，
则EF＝2xcm，EG＝xcm，DF＝4xcm，
∵DF∥BC，
∴∠EFG＝∠B，∵在Rt GEF中，tan∠EFG＝ ，
∴在Rt ABC中，tanB＝ ，
∵BC＝24cm，
∴AC＝12cm，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣2x（cm）
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACB，
∴ ，
即 ，
解得：x＝3，
即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm，
∴这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．
故答案为27．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅
助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，则tanC＝__．
△
【答案】 ．
【分析】如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．Rt△AEC中，根据tanC= ，求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．
Rt△AEC中，tanC＝ ＝ ＝ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
26．如图，在正方形网格中，三角形 ABC 的三个顶点都在网格中的格点上，则 tan∠B的值为
_____．
【答案】
【分析】如图（见解析），先利用平移的性质画出平行四边形 ，再利用勾股定理可得
，然后根据菱形的判定与性质可得
，最后在 中，利用正切三角函数的定义即可
得．
【详解】解：将点 先向下平移1个单位，再向左平移3个单位可得到点 ，将点 按同样的方法
进行平移，可得到点 ，连接 ， 与 交于点 ，如图所示：
则四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形，，
则在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形的平移、菱形的判定与性质、正切三角函数等知识点，结合网格特点，
构造菱形是解题关键．
27．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 、 、 、 都在这些小正方形的顶点上，
线段 、 ，相交于点 ，则 的值是__________．
【答案】2
【分析】由AD，CD为正方形的对角线，求出 ，证 ，得 ，
设小正方形的边长为 ，利用勾股定理 ，再求 ，利用三角函数定义求即可．
【详解】∵AD，CD为正方形的对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
设小正方形的边长为 ，
则 ，，
在 中， ．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据已知条件和网格的特点进行求解．
28．如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，
AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ____________ ．
【答案】2
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，
易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继
而求得答案．
【详解】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝ CD，BF＝ BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝ CF＝ BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝ ＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是
准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
29．如图，把 个边长为1的正方形拼接成一排，求得 ， ，
，计算 __________，……按此规律，写出 __________（用含
的代数式表示）．
【答案】 ， .
【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根
据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．
【详解】试题解析：作CH⊥BA 于H，
4
由勾股定理得，BA = ，A C= ，
4 4
BA C的面积=4-2- = ，
4
△∴ × ×CH= ，
解得，CH= ，
则A H= = ，
4
∴tan∠BA C= = ，
4
1=12-1+1，
，3=22-2+1，
，7=32-3+1，
∴tan∠BA C= .
n
故答案为: ， .
【点睛】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟
记锐角三角函数的概念是解题的关键．
