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专题 03 一元一次不等式与不等式组的整数解问题
类型一、求整数解
例1．不等式 的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：解不等式 得， ，
不等式 的非负整数解是0，1，2，3，一共4个．
故选： ．
例2．关于x的不等式组 的所有整数解的积是________．
【答案】0
【详解】解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集是 ，
∴不等式组的整数解为 ，
∴所有整数解的积是0，
故答案为：0．
【变式训练1】若代数式 的值不小于 的值，求满足条件的x的最小整数值．
【答案】0
【详解】解：根据题意得 ，去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
则满足条件得x的最小整数值为0．
【变式训练2】求不等式 的最大整数解．
【答案】19
【详解】去分母得：4x﹣2﹣6＜3x+12，
移项合并得：x＜20，
则不等式的最大整数解为19．
【变式训练3】解不等式组 ，并求出它的整数解．
【答案】解集为 ；整数解为， ，0，1
【详解】解∶
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解为， ，0，1．
【变式训练4】求出使 成立的非负整数解．
【答案】0，1，2，3
【详解】解： ，
， ，
， ．取非负整数为0，1，2，3．
【变式训练5】（1）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组 ，并写出该不等式的整数解．
【答案】（1） ，不等式组的解集表示在数轴上见解析；（2）不等式组的整数解是3．
【详解】（1） ，
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
则不等式组的解集为： ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
（2）解： ，解不等式①得： ，解不等式②得： ，
不等式组的解集是： ， 不等式组的整数解是3．
∴类型二、由不等式的整数解求参数∴
例．若关于x的不等式 只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于x的不等式 只有2个正整数解，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【变式训练1】已知关于 的不等式 只有3个正整数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：解不等式 ，解得： ，
不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，
根据题意得： ，
解得： ，
故选：A．
【变式训练2】已知关于x的不等式你 只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，
∴a＜0，
∴不等式的解集为x＜ ，
又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，
∴2＜ ≤3，
解得-6＜a≤-3，
故选：B．
【变式训练3】若关于 的不等式 的最小整数解为3，则整数 的值为________．
【答案】7或8或9
【详解】解：根据题意，不等式可转化为：
．又∵其最小整数解为3，
∴ ．
解得 ．
满足条件的整数的m的值是：7或8或9，
故答案是：7或8或9．
【变式训练4】若关于 的不等式 的正整数解是 ， ， ， ，则整数 的最小值是______．
【答案】
【详解】∵ ，
∴ ，
∵不等式的正整数解恰是 ， ， ， ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
∴整数 的最小值是 ．
故答案为： ．
【变式训练5】不等式3x﹣3m≤﹣2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是_____．
【答案】12≤m＜15
【详解】分析：先求出不等式的解集，然后根据其正整数解求出m的取值范围．
详解：不等式3x﹣3m≤﹣2m的解集为x≤ m，
∵正整数解为1，2，3，4，
∴m的取值范围是4≤ m＜5，即12≤m＜15．
故答案为12≤m＜15．
类型三、由不等式组的整数解求参数
例．已知关于x的不等式组 的所有整数解的和为 ，满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．13 B．－15 C．－2 D．0
【答案】C【详解】解：
解不等式①可得：
解不等式②可得：
∴不等式组的解集为：
∵不等式组的所有整数解的和为
∴ 或
∴ 或
∴ 或
∴m的值为 ，则 ．
故选D．
【变式训练1】如果关于 的不等式组 有且仅有三个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组有且只有3个整数解，整数解为：0，1，2，
，
解得： ，
故选：D．
【变式训练2】若不等式组 的解集中共有3个整数解，则 的取值范围是_____．
【答案】【详解】解： ，
由①得 ，
由②得 ，
不等式的解集为 ，
关于 的不等式组的解集共有3个整数解，
这3个数为0， ， ，
即 ．
故答案为： ．
【变式训练3】若关于x的不等式组 的所有整数解的和是 ，则m的取值范围为
____________．
【答案】 或
【详解】解：由题意可得，
，
∵不等式组 的所有整数解的和是 ，
∴不等式组的整数解为 ， ， 或 ， ， ， ， ，0，1，2，
∴ 或 ，
故答案为 或 ．
【变式训练4】若关于x的不等式组 只有5个整数解，则a的取值范围是_____．
【答案】
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，则不等式组的解集为 ，
∵不等式组的整数解只有5个，
∴不等式组的整数解为 ，
则 ，
解得，
故答案为： ．
