文档内容
专题 02 解直角三角(五大题型+题型综合专训)
目录;
题型1：解直角三角形
题型2：解非直角三角形
题型3：构造直角三角形
题型4：解直角三角形与网格问题
题型5：解直角三角形与函数
+题型综合专训（精选27题）
题型1：解直角三角形
1．如图，在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用在 中， ， ，得 ，代入已知条件计算即可．
【解析】解：在 中， ， ， ，
∵
∴
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握 是解题的关键．
2．在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
1A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】先利用直角三角形的边角间关系，用含 的代数式表示出 ，再利用勾股定理求出 ．
【解析】解：在 中，
，
．
，
．
．
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
3．在 中， ，则 的长为（ ）
A．8 B．12 C．13 D．18
【答案】C
【分析】在 中， ，求出 ，由勾股定理求出 的长即可．
【解析】解：在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数是解题的关键．
4．在 中， ，当已知 和a时，求c，应选择的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质求解即可．
【解析】在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解．
5．如图，在 中， ，点D为AB边的中点，连接CD，若 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案．
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD＝ AB，
∴ ,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
3，
∴ ＝ ＝ ，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．
题型2：解非直角三角形
6．如图，在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】作 于 ，根据 ， ，算出 和 ，再根据 ，算出
，最后根据 计算即可．
【解析】如下图，作 于 ，
在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
4，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
7．如图，以 的顶点O为坐标原点， 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若 ，
， ， ，则点A的坐标是（ ）
A．（ ， ） B．（ ， ）
C．（ ， ） D．（ ， ）
【答案】B
【分析】过点A作 轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出 ， ，从而得到坐标．
【解析】解：如图，过点A作 轴，垂足为B，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点A的坐标是（ ， ），
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出 ， 的长．
8．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，则线段 的
5长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【分析】过点 作 的垂线，垂足分别为 ，在 ， 中，求得 的长，进而证
明 是等腰三角形，即可求解．
【解析】解：如图，过点 作 的垂线，垂足分别为 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选:B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角
形划分为直角三角形．
9．如图，在等腰 中， ．若 ， ，则底边 ( )
6A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD= ∠BAC=
，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据 求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可.
【解析】
如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形，
∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD= ∠BAC= ，BC=2BD，
在Rt△ABD中， ，
∴ ，
7∴ ，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
10．如图，在 中， ，点 为 的中点， 于点 ，连接 ．已知 .
(1)若 ，求 的长度；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，得到 中各边长的比值关系，计算出 的长度，根据中点的性质得到
的长度，最后再用 计算出 即可．
（2）过点 作 于点 ，根据 ， ，算出 的长度，根据中点的性质得到 的
长度，就可以算出 和 的长度，得到 的长度，勾股定理算出 ，即可得到结论．
【解析】（1） ，
，
， ，
，
∴ ，
，
点 为 的中点，
8．
在 中， ，
，
．
（2）过点 作 于点 ，
， ，
， ，
点 为 的中点，
，
在 ， ，
， ，
．
由勾股定理得： ，
，
【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函
数的含义，并能运用到题目中是解题关键．
题型3：构造直角三角形
11．在△ABC中，BC＝ ＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
9A． B． ＋1 C． D． ＋1
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据
BC的长先求出AD，再求三角形的面积．
【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝ AD．
∵BD＋CD＝BC，
∴AD＋ AD＝1＋ ．
即AD＝1．
∴S ABC＝ ×BC×AD
△
＝ （1＋ ）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.
12．如图，在四边形 中， ， ， ， ，则四边形 的面
积为（ ）
10A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】A
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据 进行计算即可求出结果．
【解析】解：连接 ，如图所示
， ，
，
四边形 的面积为48
故选：A．
【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添
加辅助线，构造直角三角形解决问题．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积
是（ ）
11A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四边
形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【解析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG= DO，
同理可得：BH= BO，
S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH
四边形
= ×AC× ×（DO+BO）
= ，
故选：C．
12【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不
规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
14．如图， ， ， 底边BC上的高为 ， 底边QR上的高为 ，则有
（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得
到答案．
【解析】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
15．如图，在 中， 是斜边 上的高，将得到的两个 和 按图 、图 、图
13三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为 ， ， ，若 ，则 与 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析题意，过点 作 ，交 于点 ，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等
量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出 与 得关系，即可解决问题．
【解析】解：如图 所示，过点 作 ，交 于点 ，
=
，
，
，
，
由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知：
14，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等
量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出 与 得关系．
16．如图，在 中， ， ， 为 边上的一个动点（不与 、 重合），连接 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】以 为斜边向 外作等腰直角三角形，得 ，当 在同一直线上时，
取得最小值. 在 中，利用正弦函数即可求得答案.
【解析】如图，以 为斜边向 外作等腰直角三角形，
∵
∴
∴当 在同一直线上时，
15取得最小值.
在 中， ， ， ，
∴
∴ .
故选：B
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到
是解题的关键.
17．如图，在矩形ABCD中， ， ，M是CD上的一点，将 沿直线AM对折得到
，若AN平分 ，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】过点N作CD的垂线交 于点E，根据对折和平分线可以得到 ，再利
16用三角函数可以求出 ， ，最后利用勾股定理可以求出CN的长．
【解析】解：如图，过点N作CD的垂线交 于点E
由折叠可知：
， ，
∵AN平分
∴
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴在 中，由勾股定理可得：
故选：C
【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
题型4：解直角三角形与网格问题
18．如图，是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 的三个顶点都是格点，
仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示．
17(1)如图1，在 上画一点E，使 = ；过点E作 ，垂足为F；
(2)如图2， D是网格中的格点，在线段 上找一点 ，使得 平分 ；在 上找点 ，连接 ，
使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点 ， ，连接 交 于点 ，点 即为所求，取格点 ， ，连接 交 于
点 ，作直线 即可；
（2）取格点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求．取格点 ，连接 ，
取格点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求．
【解析】（1）解：如图，点 ，直线 即为所求；
（2）解：如图，点 ，点 即为所求．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，解直角三角形
等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格
点，点A、B、C、D的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保
留适当的作图痕迹．
18(1)在图①中的线段 上找一点E，使 ．
(2)在图②中的线段 上找一点F，使 ．
(3)在图③中的线段 上找一点G，使点G到直线 距离之和为4
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点M，N，连接 ，交 于点E，即可；
（2）取格点I，J，连接 ，交格线于点H，连接 ，交 于点F，即可；
（3）取格点Q，连接 ，交 于点G，即可．
【解析】（1）解：如图，点E即为所求；
理由：根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图，点F即为所求；
19理由：根据题意得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（3）解：如图，点G即为所求．
过点G作 ，分别交 于点P，Q，
根据题意得： ，
设点G到 的距离为h，
∴ ，
∴ ，
由作法得： ，
∴ ， ，
20∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 等于点G到 的距离，
此时 的长等于点G到直线 距离之和．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形等有关性质，熟练掌握和应用有关知识的性质是解题
的关键．
题型5：解直角三角形与函数
20．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点O在坐标原点， ，顶点C的坐标为 ，
的图象与菱形对角线 交于点D，连接 ，当 轴时，k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点C作 轴于点E，由 ，顶点C的坐标为 ，可求得 的长，进而根据
菱形的性质，可求得 的长，且 ，继而求得 的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数
的图象与菱形对角线 交D点，即可求得答案．
【解析】解：过点C作 轴于点E，
21∵顶点C的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵菱形 中， ，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴点D的坐标为： ，
∵反比例函数 的图象与菱形对角线 交于点D，
∴ ．
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，
求出 是解本题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，且
．
22(1)求直线 的解析式；
(2)点P为x轴正半轴上一点，连接 ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，求S与t的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，点E为线段 上一点，过点E作 轴，垂足为点F，作点P关于直线 的对
称点G，连接 ，点H在线段 上，连接 ，若 ， ， 的面积为6，
求点H的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设直线 的解析式为 ，因为 ，所以 ， ，把
， 分别代入 ，即可作答；
（2）因为点P为x轴正半轴上一点，连接 ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，所以
，即可作答；
（3）过点 作 轴，记过点 作 轴交 于点 ，将 沿着x轴翻折，即 ，设
，得 ， ，由 得 ，则
，结合 ，得 ， ，因为 ， ，所以 ，
，得 ，设 ，则 ， ，在 ， ，再结合勾股
23定理得： ，解得 ，即可作答．
【解析】（1）解：设直线 的解析式为 ，
∵ ，且直线 与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，
∴ ， ，
∴ ， 分别代入 ，
得
解得
∴直线 的解析式为
（2）解：因为点P为x轴正半轴上一点，连接 ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，且
∴
所以 ；
（3）解：过点 作 轴，记过点 作 轴交 于点 ，再将 沿着x轴翻折，形成
，如图所示：
24设
则
因为作点P关于直线 的对称点G，且
则
∴ ，
∵将 沿着x轴翻折，形成 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
那么在 中， ，
则 ，
∴ ，
设 ，
则 ，
在 中， ，
则 ，
在 中， ，勾股定理得： ，
解得 （因为 ，故舍去），
25把 代入 中，
得
所以
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，对称图形的性质，全等三角形的性质，等角对等边，翻折的性质，
锐角三角函数，勾股定理等知识内容，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题型综合专训
一、单选题
1．在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．12
【答案】A
【分析】根据 的正切计算 的长．
【解析】解： 中， ， ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
2．在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A．25 B．12 C．9 D．16
【答案】B
【分析】根据正弦的定义求得 ，进而勾股定理即可求解．
【解析】解：∵在 中， ， ， ，
∴
∴ ，
26∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．如图， 是 的高，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 可得 ，根据 求出 的长度，再根据 ，即
可求解．
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
4．如图，菱形 中，对角线 ， ， ．下列结论正确的是（ ）
27A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由菱形的性质得出 ， ， ，由勾股定理求出 ，根据锐角
三角函数的定义可得出答案．
【解析】解：如图， 与 交于点 ，
四边形 是菱形， ， ，
， ， ，
，
， ， ，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是本题的关键．
5．如图，在等腰 中， 于点 ，则 的值（ ）
A． B． C． D．
28【答案】D
【分析】先由 ，易得 ，由 可得 ，进而用勾股定理分别将BD、BC长
用AB表示出来，再根据 即可求解．
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故选：D
【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适
中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（ ）
A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）
C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）
29【答案】B
【分析】过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出AD与OD，
表示出A的坐标即可．
【解析】
解：过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，
在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α，
∴AD=csinα，OD=ccosα，
则A的坐标为（ccosα，csinα），
故选B．
【点睛】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
7．如图，在 中， 于D，如果 ，E为 的中点，那么
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ， 求出 长度，再由勾股定理求出 ，再由勾股定理求出 ，由直角三
角形斜边上的中线等于斜边一半可得 ，即 ．
【解析】解：在 中， ， ，
30∴ ，
由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵E为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜边上的中
线长度等于斜边的一半．
8．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于
点P，则∠APD的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角
的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．
【解析】解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
31则BE＝ ，
AE＝ ，
AB= ．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝ ．
∴cos∠APD＝ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
32【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四边
形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【解析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG= DO，
同理可得：BH= BO，
S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH
四边形
= ×AC× ×（DO+BO）
= ，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不
规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
10．如图，在 中， ， ， ，点 为 上任意一点，连结 ，
以 ， 为邻边作平行四边形 ，连结 ，则 的最小值为（ ）
33A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设PQ与AC交于点O，作 ⊥ 于 ，首先求出 ，当P与 重合时，PQ的值最小，PQ
的最小值=2 ．
【解析】设 与AC交于点O，作 ⊥ 于 ，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，∠ACB=45 ，
∴ ，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴ ，
∵ ⊥ ，∠ACB=45 ，
∴ ，
当 与 重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段
的最小值是解题的关键．
34二、填空题
11．在 中， ，已知 和b，那么 ．
【答案】
【分析】根据正弦的定义得到 ，即可得到用 和 表示 ．
【解析】解： ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．
12．在 中， ， 、 、 为 、 、 的对边．
（1）若 ， ，则 ， ；
（2）若 ， ，则 ， ；
（3）若 ， ，则 ， ， ；
（4）若 ，则 ， ， ．
【答案】
【分析】（1）利用∠A=45°，即可得出∠B的度数，进而利用锐角三角函数关系得出c的值；
（2）利用∠B=30°，即可得出b，c的关系，进而利用a=10cos30°求出即可；
（3）首先利用勾股定理得出b的值，进而利用锐角三角函数关系得出即可；
35（4）利用 ，得出c=2b，进而利用锐角三角函数关系得出即可．
【解析】解：（1）∵∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=45°，
sin45°= ，
∴c= =5 （cm）；
（2）∵c=10 cm，∠B=30°，
∴b=5cm，
a=10cos30°= =5 （cm）；
（3）∵a=4cm，c=8cm，
∴b=4 cm，
则cosA= = ，
tanA= = ；
tanB= = ；
（4）∵ ，
∴c=2b，
则sinB= = ，
tanA= = ，
tanB= = ．
36故答案为：（1）45°，5 cm；（2）5 cm，5cm；（3） ， ， ；（4） ， ， ．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练利用锐角三角函数关系求解是解题的关键．
13．在 ABC中， ， ， ，那么 的长为 ．
【答案】6
【分析】根据解三角形可直接进行求解．
【解析】解：∵在 ABC中， ， ， ，
∴ ；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
14．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝ ，则cos∠ADC＝
．
【答案】
【分析】首先在 ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余
弦定义可算出co△s∠ADC．
【解析】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
37∴AD＝ ＝ ＝10，
∴cos∠ADC＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利
用勾股定理计算出AD的长．
15．如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ．
【答案】13cm
【分析】过点P作PE⊥OB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角
形求解即可．
【解析】解：过点P作PE⊥OB
∵CO=5cm，OD=8cm ，
∴CD=OD-CO=3
又∵PC=PD，PE⊥OB
∴CE=
∴OE=OC+CE=
∴在Rt△POE中，
故答案为：13cm．
38【点睛】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．
16．如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，解 ，得出 ，进而解 ，即可求解．
【解析】解：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
39故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．
17．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶
点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，
cosA= ，则CD的长等于 ．
【答案】16
【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，
再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题．
【解析】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N，
∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点，
∴AB=BD=BC=10，
∵ = ，
∴AM= ，∴BM= =3 ，
∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2 ，
∵AB//CD，
∴S = ，
ABD
△
∴BN=6，
40∵BN⊥DC，∴DN= =8，
∴CD=2DN=16，
故答案为16.
18．如图，在 中， ，点 在 边上，点 在射线 上，将 沿
翻折，使得点 落在点 处，当 且 时， 的长为 ．
【答案】 /
【分析】求出 ，勾股定理求出 ，根据题意，易得： ，
，进而求出 的长，过 作 ，过点 作 ，过点 作
，交 于点 ，延长 交 于点 ，易得四边形 ，四边形 均为矩形，分别
求出 ，得到 ，设 ，则： ，分别用含
的式子，表示出 ，利用勾股定理求出 的值，进而得解．
【解析】解：在 中， ，
∴ ； ，
∵将 沿 翻折，使得点 落在点 处，当 且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
41∴ ，
∴ ，
∴ ，
过 作 ，过点 作 ，过点 作 ，交 于点 ，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 ，四边形 均为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ， ， ，
连接 ，则： ，
在 中， ，即： ，
解得： ，
42∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．本题难度大，综合性强，根据题意，
准确的作图，构造特殊图形，是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在 中，已知 ， ， ，解这个直角三角形．
【答案】 ， ，
【分析】根据勾股定理求出b，并求出 ，再由特殊角的三角函数值即可求解三角形.
【解析】
解：在 中，
∵ ， ， ，
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题侧重考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
43【答案】sinA= ，cosA= ，tanA= ．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解析】由勾股定理得， ，
则 ， ， ．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.
21．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
【答案】（1）12；（2）
【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可；
（2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可．
【解析】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴
即
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
44∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值．
22．如图，在 ABC中， 是 上的点， ， ， 分别是 ， 的中点， ， ，
求 ， 的长．
【答案】
【分析】连接 ，根据题意及等腰三角形的性质可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半可得 ，在 中， ，可得 ，从而 ，
即可求解．
【解析】解：连接 ，如图，
， 是 的中点，
，
是 的中点，
，
又 ，
，
45在 中， ，
即 ，
解得 ，
．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理和直角三角形斜边上的中线等，掌握勾股定理和直角三角
形斜边上的中线等性质是解题的关键．
23．如图，在 中， ， 为边 上的中线， 于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 ， 为边 上的中线，得到 ，结合 得到
，即可得到证明；
（2）根据 ， 为边 上的中线，得到 ， ，利用勾股定理求出 ，
结合三角形相似得到 ，最后利用正切的定义求解即可得到答案；
【解析】（1）证明：∵ ， 为边 上的中线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ；
（2）解：∵ ， 为边 上的中线，
46∴ ， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形相似的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的
关键是根据等腰三角形底边上的三线合一得到相似的条件．
24．如图，已知在 中，点D是 边上一点，且 ，点E是 边上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识．
（1）证明 即可；
（2）过点 作 于点 ，再根据等腰三角形的性质，三角函数即可求解．
添加适当的辅助线是本题的关键．
【解析】（1）证明： ，
，
，
，
；
47（2）解：过点 作 于点 ，
，
，
，
则 ，
，
在 中， ，
解得： ，
，
．
25．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴
交于点D，已知 ．
(1)求k的值．
(2)连接 ，求 的面积．
48【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点A作 轴于点E，设 ，根据三角函数的定义得到 ，再将
代入一次函数解析式得到具体坐标，代入反比例函数解析式中求出k值即可；
（2）联立两函数解析式，求出点B坐标，再利用一次函数求出点C坐标，利用三角形面积公式分两部分
计算即可．
【解析】（1）解：如图，过点A作 轴于点E．
设 ，在 中， ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ，代入一次函数 中，
得 ，解得 ．
∴ ．
∵ 在反比例函数 的图像上，
∴ ．
（2）过点B作 轴于点F，
联立方程组 ，
49解得： ， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ．
在 中，当 时， ，
故点 坐标为 ，
∴ ．
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握根据函数解析式列出方程组，
求出交点的坐标．
26．对于平面直角坐标系 中的点P和矩形M．给出如下定义：若矩形 M各边分别与坐标轴平行，且
在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，则称P为矩形M的“近距点”．
(1)如图，若矩形 对角线交点与坐标原点O重合，且顶点 ．
①在点 中，矩形 的“近距点”是______；
50②点P在直线 上，若P为矩形 的“近距点”，求点P横坐标m的取值范围；
(2)将（1）中的矩形 沿着x轴平移得到矩形 ，矩形 对角线交点为 ，直线
与x轴、y轴分别交于点E、F．若线段 上的所有点都是矩形 的“近距点”，真
接写出n的取值范围．
【答案】(1)① ；② 或
(2)
【分析】（1）①分别计算各点与矩形各边的最小距离，从而根据定义得出结果；②在 上取点P，点P
在矩形的内部时，作 于Q，计算当 时， 的长，从而求得临界时点P的横坐标，当点P
在矩形的外部时， 时，此时点P的横坐标，从而得出m的范围，根据对称性求得点P在第三象限时
m的范围；
（2）先求得 ，当 时， 轴，设 交x轴于点R，此时 ，
，可求得 ；当C'在y轴上时，当 在y轴上时，设 交x轴于点V，同理 ，进
一步得出结果．
【解析】（1）解：∵矩形 对角线交点与坐标原点O重合，且顶点 ，
∴ ，
①∵在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，
∴即在M上至少找到一点到P的距离小于1．
当 时，P到M上最小距离为 ，成立，
∴ 为近距点．
当 时，最小距离为 ，不成立，
51∴ 不是近距点．
当 时，最小距离为 ，不成立，
∴ 不是近距点．
故答案为： P1 ．
②如图1，在 上取点P，作 于点Q，
当 时，
∵点P在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
52（2）解：如图2，
∵直线 与x轴、y轴分别交于点E、F．
∴点 ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 轴，设 交x轴于点R，此时 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
当 在y轴上时，设 交x轴于点V，
同理 ，
∴ ，
综上所述， ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，直观观察和数
形结合．
27．
是菱形 边 上一点， 是等腰三角形， ， （ ），
53， 交边 于点 ， ，连接 ．
(1)如图 ，当 时，
①求 的度数；
②若 ， ，请直接写出 的长；
(2)如图 ，当 时，若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ； ；
(2) ．
【分析】（ ） 如图，过点 作 于 点，证明 ，得 ， 即可；
延长 至 ，使 ，连接 ， ，证明 ，设 ，则 ，
，在 中，根据勾股定理，得 ，再代入计算即可；
（ ）如图，连接 ，先证明 ，得 ，过点 作 于点 ，
交边 于点 ，过 点作 于点 ，由 ，根据三角形相似对应边成比例
即可求得．
【解析】（1）） 如图，过点 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴菱形 是正方形，
54∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由①中结论： 是等腰直角三角形，则 ，
∴ ，
如图所示，延长 至 ，使 ，连接 ， ，
∵菱形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形， ， ，
∴ ，
∴ ，
55∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中 ，
∴ ，解得 ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 的长为 ；
（2）如图，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
56∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 交边 于点 ，过点 作
于点 ，则 ，
∴四边形 是矩形，∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
57∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
同理可得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
58∴ 的面积 ．
【点睛】此题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
勾股定理等知识，综合运用以上知识点，作出正确的辅助线是解题的关键．
59
