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2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 02 线段的垂直平分线
一、选择题
1．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B
为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接CD，若∠A=22°，则∠BDC=（ ）
A．52° B．55° C．56° D．60°
【答案】C
【完整解答】解：∵根据做法可知：MN是AB的垂直平分线
∴AH=BH=CH
∴∠ACB=
∵∠A=22°
∴∠B=
∵又根据做法可知：BC=BD
∴∠BDC=
故答案为：C
【思路引导】根据线段垂直平分线的性质即可得出∠BDC的度数。
2．（2021八上·庄河期末）如图， 中，AC的垂直平分线EF交AC、BC于点E、F，连接AF．若
， ，则 周长为（ ）A．23 B．13 C．17 D．16
【答案】C
【完整解答】解：∵AC的垂直平分线EF交AC、BC于点E、F，
∴AF=CF，
∵AB=7，BC=10，
∴△ABF的周长为AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=7+10=17，
故答案为：C．
【思路引导】利用线段垂直平分线的性质可得出AF=CF，再根据AB=7，BC=10，可得出△ABF的周长。
3．（2021八上·香洲期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧交
于两点，过这两点作直线交AC于点E，交BC于点D，连接AD．若△ADB的周长为15，AE＝4，则△ABC的
周长为（ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
【答案】D
【完整解答】解：由题意知，DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=EC，
∵AB+BD+AD=15，
∴AB+BD+CD=15，即AB+BC=15，
∵AE=4，即AC=2AE=8，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=15+8=23，
故答案为：D．
【思路引导】根据DE是线段AC的垂直平分线，得出AD=CD，AE=EC，根据AE=4，即AC=2AE=8，即可求出△ABC的周长。
4．（2021八上·石景山期末）如图，在 中， ， ， 于点D，AB
的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则 的度数为（ ）．
A．20° B．30° C．35° D．70°
【答案】A
【完整解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠B=35°，
∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
故答案为：A．
【思路引导】先求出AF=BF，再求出∠BAF=∠B=35°，最后计算求解即可。
5．（2021八上·门头沟期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以A，C为圆心，大于
的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点D，E，连接CD．有以下四个
结论：①∠BCD＝∠ACD＝36°；②AD＝CD＝CB；③ 的周长等于AC＋BC；④点D是线段AB的中点．其中
△BCD
正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C
【完整解答】解： AB＝AC，∠A＝36°，
,
根据作图可知 是 的垂直平分线，
，
，
. ，
∠BCD＝∠ACD＝36°, AD＝CD＝CB；；
故①②符合题意
的周长等于 AC＋BC；
△BCD
故③符合题意
若点D是线段AB的中点
是等边三角形
而
点D不是线段AB的中点
故④不符合题意
故正确的有①②③
故答案为：C
【思路引导】利用垂直平分线的性质，等边三角形的性质，线段的中点，对每个结论一一判断即可。
6．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P
为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；②
为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S ＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S ，
△ACB 四边形AECP
∴S ＝S .故④正确.
四边形AECP △ABC
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，
CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝
∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE
＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝ AB＝
AD，据此不难判断④.
7．（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分
线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC
的度数（ ）
A．90° B．92° C．95° D．98°
【答案】B
【完整解答】解：连接BO，CO，
∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.
故答案为：B.
【思路引导】连接BO，CO，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得
OA=OB，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度数，证明
△ABO≌△ACO，得到BO=CO，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC，则∠EOC=∠OCE=44°，然
后在△OEC中，应用内角和定理进行求解.
8．（2021八上·西安月考）如图，凸四边形 中，
，若点M、N分别为边 上的动点，则
的周长最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】C
【完整解答】解：作点B关于 、 的对称点分别为点 和点 ，
连接 交 和 于点M和点N， ，连接 、 ；
再 和 上分别取一动点 和 （不同于点M和N，
连接 ， ， 和 ，如图1所示：，
， ，
，
又 ，
， ，
，
时周长最小；
连接 ，过点 作 于 的延长线于点H，
如图示2所示：
在 中， ， ，
，
，
， ，又 ，
，
， ，
，
，
又 ，
，
， ，
在 △ 中，由勾股定理得：
.
，
故答案为：C.
【思路引导】作点B关于 、 的对称点分别为点 和点 ，连接 交 和
于点M和点N， ，连接 、 ；再 和 上分别取一动点 和 （不
同于点M和N，连接 ， ， 和 ，通过作对称点把△BMN的周长转化为：求
'，根据两点之间线段最短得出当 时周长最小，连接 ，
过点 作 于 的延长线于点H，再求出 ， ，
，然后在 中，利用勾股定理求出DB，最后在 △ 中，由勾股定理求出
B'B"，即可解答.
9．（2021八下·西塞山期末）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足 =AD，连接
CE并延长交AD于点F，连接AE，过点B作 于点G，延长BG交AD于点H.在下列结论中：①
；② ；③ . 其中不正确的结论有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【完整解答】∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，
∵∠AGH=90°，
∴∠DAE=∠ABH=22.5°，
在△ADE和△CDE中
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE=22.5°，
∴∠ABH=∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中
，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF，
∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，
∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，
∴67.5°=22.5°+∠AEF，
∴∠AEF=45°，故①②正确；如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG=EG，
∴S =S ，
△AGH △HEG
∵AH=HE，
∴∠AHG=∠EHG=67.5°，
∴∠DHE=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，
∴EH=ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S ≠S ，
△EFH △EFD
∴S =S +S =S +S ≠S +S ，故③错误，
四边形EFHG △HEG △EFH △AHG △EFH △DEF △AGH
故答案为：B.
【思路引导】由正方形的性质可得∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，结合BE=BC可推出AB=BE，然后证明
△ADE≌△CDE，Rt△ABH≌Rt△DCF，求出∠CFD、∠AHB、∠AEF的度数，据此判断①②；连接HE，由线段
垂直平分线的性质可得AG=EG，则S =S ，由等腰三角形的性质可得∠AHG=∠EHG=67.5°，进而求得
△AGH △HEG
∠DHE、∠HDE的度数，推出△DEH是等腰直角三角形，由EF不垂直DH可知S ≠S ，据此判断③.
△EFH △EFD
10．（2021八下·漳州期末）在 中， 于 ， 是 的中点，
，若 ， ，则 的长是（ ）A． B． C．1 D．2
【答案】C
【完整解答】解：连接CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，DF⊥AB，AB=4，S =12，
▱ABCD
∴ ，CD=AB=4，
∴DF=3，
在Rt△DCF中，CF= ，
延长FE和 CD相交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，E是AD的中点，
∴CD∥AB，DE=AE，
∴∠G=∠EFA，∠GDE=∠A，
∴△GED △FEA(AAS)，
∴ ，GE=FE，
∵EF⊥EC，
∴EC是线段GF的垂直平分线，
∴CF=CG=5，
∴AF=DG=CG-CD=5-4=1，
故答案为：C.
【思路引导】连接CF，先由平行四边形的性质结合四边形的面积公式即可得到 ，CD=AB=4，进而得到DF=3，在Rt△DCF中，根据勾股定理即可得到CF的长，延长FE和 CD相交于点G，然
后根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定即可证明△GED △FEA(AAS)，进而得到 ，
GE=FE，接着根据垂直平分线的判定和性质即可得到CF=CG=5，最后运用AF=DG=CG-CD即可求解.
二、填空题
11．（2021八上·开化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以点A，B为圆心，大于
线段AB长度一半的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN分别交 AB，AC于点E，D，若 AD=8，则AB的长
为 .
【答案】
【完整解答】解：由作图可得：BD=AD=8，
∠BDC=∠A+∠ABD=60°，
∴BC=BDsin∠BDC=4 ，
∴AB=2BC= .
故答案为： .
【思路引导】由作图可知MN为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质求出BD长和∠BDC=60°，然后利
用三角函数求出BC，再利用含30°角的直角三角形的性质求AB长即可.
12．（2021八上·芜湖期末）如图，线段AB、BC的垂直平分线l、l 相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC
1 2
＝ ．【答案】76°
【完整解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l、l 相交于点O，
1 2
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝38°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2×38°＝76°；
故答案为：76°．
【思路引导】先求出∠DOE＋∠ABC＝180°，再求出∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，最后计算求解即可。
13．（2020八上·荣县月考）在△ 中，按以下步骤作图：
①.分别以 为圆心，大于 的长为半径画弧相交于两点 ；②.作直线 交 于点
.连接 ;若 ，则 的度数为 .【答案】52°
【完整解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝32°，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，
∴∠C＝52°，
故答案为：52°.
【思路引导】根据尺规作图可知MN垂直平分AB，可得DA=DB，利用等边对等角及三角形外角的性质可得
∠DBA＝∠A＝32°，∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝64°，根据三角形内角和即可求解.
14．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，
分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC＋FG的最小
值为 ．
【答案】8
【完整解答】解：如图，连接AG，CF，∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴ ，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
【思路引导】连接AG，CF，根据DE是AC的垂直平分线，得出点A与C关于DE对称，此时，FC+FG最小值
为AG的长，再由三角形面积公式计算即可。
15．（2021八上·吉林期末）如图，在 中， ， ． 为 边上的垂直平分线，
若点D在直线 上，连接 ， ，则 周长的最小值为 ．【答案】12
【完整解答】解：连接CD，如图，
∵ 为 边上的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴ 周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD，
∴当AD+CD有最小值时， 周长的最小，
当A、D、C在一条直线上时，AD+CD有最小值，此时AD+CD最小值为AC的长，
∴ 周长的最小值为AB+AC的值，
∵ ， ，
∴ 周长的最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
【思路引导】利用线段垂直平分线的性质，最短距离问题即可得出答案。
16．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ，
， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，
你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C
三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°, ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
17．（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB
的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中
正确的结论是 .【答案】②③④
【完整解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，
设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，
分别是 的角平分线，是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【思路引导】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在
OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得
∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点
I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是
∩BOC的角平分线，据此判断③④.
18．（2021八上·营山月考）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝
∠1+∠2，AE＝CD，BF 则AD的长为 .
【答案】8
【完整解答】解：在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK.
∵EB=ET，
∴∠B=∠ETB，
∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，
∴∠AET=∠2，
∵AE=CD，ET=CK，
∴△AET≌△DCK（SAS），
∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，∴∠ETB=∠DKB，
∴∠B=∠DKB，
∴DB=DK，
∴BD=AT，
∴AD=BT，
∵BT=2BF=8，
∴AD=8，
故答案为：8.
【思路引导】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK，利用等边
对等角可证得∠B=∠ETB，由此可推出∠AET=∠2，利用SAS证明△AET≌△DCK，利用全等三角形的性质得
DK=AT，∠ATE=∠DKC；再证明∠B=∠DKB，利用等角对等边可证得DB=DK=AT，AD=BT，然后根据BT=2BF，即
可求出AD的长.
19．（2021八下·青山期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图：
⑴分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）；
⑵作直线MN交AB于点O，交BC于点D；
⑶用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．垂足为F，交AD于点G．
下列结论：①CD＝2GF；②BD2﹣CD2＝AC2；③SBOE＝2SAOG；其中正确的结论有 ．（填序
△ △
号）
【答案】①②③
【完整解答】解：根据作图过程可知：AO＝BO，OE＝OD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴四边形ADBE是菱形，
∵OF⊥AC，BC⊥AC，
∴OF∥BC，又AO＝BO，
∴AF＝CF，AG＝GD，
∴CD＝2FG．
∴①符合题意；
∵四边形ADBE是菱形，
∴AD＝BD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2−CD2＝AC2，
∴BD2−CD2＝AC2．
∴②符合题意；
∵点G是AD的中点，
∴SAOD＝2SAOG，
△ △
∵SAOD＝SBOE，SBOE＝2SAOG；
△ △ △ △
∴③符合题意；
故答案为：①②③．
【思路引导】①根据作图过程可得，四边形ADBE是菱形，再根据三角形中位线定理即可判断；②根据菱形
的四个边都相等，再根据勾股定理即可判断；③根据三角形一边的中线分两个三角形面积相等即可判断。
20．（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，
PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距
离相等．正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【完整解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法符合题意；
∵∠BAC＝124°，
∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法符合题意；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴BF不一定等于CE，
∴无法判定PE与PF是否相等，③说法不符合题意；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法符合题意，
故答案为：①②④．
【思路引导】根据垂直的定义，四边形内角和等于360度计算，判断①，根据线段垂直平分线的性质得到
EC＝EA，FB＝FA，进而得出∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，判断②，根据等腰三角形的性质，判断③，根据线
段垂直平分线的性质判断④。
21．（2020八下·福田期中）如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延
长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠PCB=90°；
③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正确的有 .(填上所有正确结论的序号)
【答案】①②③④
【完整解答】解：如图，连接∵AD⊥BC，
是 的中垂线， ，
即结论①符合题意；
连接BO，如图1所示：
由
是等边三角形，即结论②符合
题意；
是等边三角形，
即结论③符合题意；
在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图所示：
∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，
∴∠CAP=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=EP，
又∵△OPC是等边三角形，
∴OP=CP，
又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，
∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，
∴∠APO=∠EPC，
在△APO和△EPC中，
{ AP＝EP
∠APO＝∠EPC ，
OP＝CP
∴△APO≌△EPC（SAS），
∴AO=EC，
又∵AC=AE+EC，AE=AP，
∴AC=AO+AP， 即结论④符合题意；
综合所述，①，②，③，④都符合题意，
故答案为：①，②，③，④．
【思路引导】连接 ，证明 ，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO与∠DCO的和等于
30°，再证明 是等边三角形，可判断结论②，③；, 在线段AC上截取AE=AP，连接PE，证明
△APO≌△EPC可判断结论④．
22．（2020八上·自贡期中）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线
交于点O,将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
【答案】128
【完整解答】如图：
连接OB、OC，
∵∠BAC=56°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×56°=28°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= (180°−∠BAC)= (180°−56°)=62°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=28°，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=62°−28°=34°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=34°，
∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=34°，
在△OCE中,∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−34°−34°=112°
故答案为112.
【思路引导】先利用“SAS”证出 ，得到 ，
再利用折叠的性质。得到CE=OE，再得到 ，最后在 中，利用三角形内角和求出
即可。
三、解答题
23．（2021八上·乌兰察布期末）有公路l 同侧、l 异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座
1 2
信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l，l 的距离也必须相
1 2
等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕
迹，不要求写出画法）
（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；
（2）作线段AB的垂直平分线FG；
则射线OD，OE与直线FG的交点C，C 就是所求的位置．
1 2【答案】（1）
（2）
【思路引导】（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；
（2）作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C，C 就是所求的位置．
1 2
24．（2021八上·南京期末）如图，已知线段 ，用两种不同的方法作一点 ，使得
.
要求：（1）尺规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
【答案】解：作法一如下，
说明：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，作NC=NB，可得CN=AN=NB，∠ANC=∠BNC=90°，从而△ANC和
△BNC为等腰直角三角形，∠CAN=∠BCN=45°，所以可得∠ACB=90°；
作法二如下，说明：过点A向右上方作射线AM，过点B作AM的垂线与AM交于C，连接BC，则∠ACB=90°.
【思路引导】作法一：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，再作NC=NB，可得CN=AN=NB，利用等腰直角
三角形的性质，可得到∠ACB=90°；作法二：过点A向右上方作射线AM，利用尺规作图过点B作AM的垂线
与AM交于C，连接BC，利用垂直的定义可知∠ACB=90°.
25．（2021八上·怀柔期末）如图，在 ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若
∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．
【答案】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC ．
∴∠DBC=∠C ．
∵∠A=100°，∠ABD=22°．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴∠C= ．
【思路引导】先求出 DB=DC，再求出∠BDC=122°，最后计算求解即可。
26．（2021八上·思南月考）如图，在 ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN
交BC于E，DM与EN相交于点F.（1）若 CMN的周长为16cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数.
【答案】（1）解：∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC，
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=16cm；
（2）解：∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°.
【思路引导】（1） 根据线段垂直平分线的性质可得MA=MC，NB=NC，根据AB=AM+MN+NB=
MC+MN+NC=△CMN的周长即可求解；
（2）由垂直的定义及四边形内角和求出∠ACB=110°，利用三角形的内角和求出∠A+∠B=70°， 由
MA=MC，NB=NC得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，从而求出∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –
(∠A+∠B)=40°.
27．（2021八上·浦东期末）如图， 中， ， ， ．点P是射线CB上的
一点（不与点B重合），EF是线段PB的垂直平分线，交PB与点F，交射线AB与点E，联结PE、AP．
（1）求 的度数；（2）当点P在线段CB上时，设 ， 的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数
的定义域；
（3）如果 ，请直接写出 的面积．
【答案】（1）解：∵ 中， ， ， ，
∴ ， ．
∴ ，
∴ ．
∵ 中， ， ，
∴ ．
取BC的中点H，连接AH，如图所示：
∴ ， ，
∴ ，
∴△AHC是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过A作 ，垂足为点D．
中，∵ ， ，∴ ．同理： ．
中， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，
∴所求函数解析式为 ，
∵点P在线段CB上，且不与点B重合，
∴ ，
∴定义域为： ．
（3）解： ．
【完整解答】解：（3）当 时，①当点P在线段CB上时，由（2）可知： ，
②当点P在线段CB延长线上时，过A作 ，垂足为点M．如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【思路引导】（1）先利用勾股定理逆定理可得 ，再结合 可得
， ，即可得到△AHC是等边三角形， 再求解即可；
（2）先求出 ， ，再利用
即可得到函数的解析式为 ；
（3）分两种情况，再利用三角形的面积及割补法求解即可。
28．（2021八上·五常期末）
（1）画图探究：如图①，若点 ， 在直线 的同侧，在直线 上求作一点 ，使
的值最小，保留作图痕迹，不写作法；（2）实践运用：如图②，等边 的边 上的高为6， 是边 上的中线， 是
上的动点， 是 的中点，求 的最小值．
【答案】（1）解：如答图①，点 即为所求．
（2）解：∵ 是等边 的边 上的中线，
∴ 是边 的垂直平分线，
∴BM=CM，
∴ME+MC=ME+MB，
∴要ME+MC最小，即ME+MB最小，
∴当M、E、B三点共线时，ME+MB最小，最小为BE
∵ 是 的中点，
∴ 是等边 的边 上的高，
∴ ，
∴ 的最小值为6．
【思路引导】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 是边 的垂直平分线， 再求出 ME+MC=ME+MB， 最后求解即可。
29．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：
BE＝CF．【答案】证明：连接BD、CD，
∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，DE=DF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF．
【思路引导】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得DE=DF，再
根据两个三角形是直角三角形即可证明Rt△CDF≌Rt△BDE，从而可得出结果．
30．（2019八上·同安期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交
DE于点P，交AC于点M，连接PC．
（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表
示）．
【答案】解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠A＝60°，∠ACP＝24°， ∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝
120°﹣24°， ∴3∠ABP＝120°﹣24°， ∴∠ABP＝32°； （Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC，
∴BM⊥AC， ∴∠BMC＝90°， ∵PD⊥BC，点D是BC边的中点， ∴PD垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∵△PCM
的周长为m+2， ∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2， ∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BM•CM＝m2+2•BM•CM＝（m+2）2， ∴BM•CM＝2m+2， ∴△BCM的面积＝ BM•CM＝m+1．
【思路引导】（Ⅰ）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC
＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（Ⅱ）根据直角三角形的性质得
到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BM•CM＝
2m+2，于是得到结论．
