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七年级数学下学期期末精选 60 题（压轴版）（北师大版）
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•南昌县期末）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不
可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2020秋•历下区期末）甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两
种不同的速度V 与V （V ＜V ），甲用一半的路程使用速度V 、另一半的路程使用速度V ；
1 2 1 2 1 2
乙用一半的时间使用速度V 、另一半的时间使用速度V ；关于甲乙二人从A地到达B地的路
1 2
程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴t表示时间，纵轴s表示
路程，其中正确的图示分析为（ ）
A．图（1） B．图（1）或图（2）
C．图（3） D．图（4）
3．（2019春•永春县期末）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣
3．那么函数y＝x﹣[x]的图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019•本溪）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接
AP，设AP＝x，PA﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（ ）A． B．
C． D．
5．（2021秋•开封期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD
于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；
③BE＝ CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正
确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
6．（2020秋•市南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作
DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是
（ ）
A．32° B．64° C．77° D．87°
二．填空题（共10小题）
7．（2020春•建平县期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三
角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有 项，系数分别为 ；（2）（a+b）n展开式共有 项，系数和为 ．
8．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕
点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时
间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边
（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 ．
9．（2021春•钦州期末）如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操
作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E ，第二次操作，分别作∠ABE 和∠CDE 的
1 1 1
平分线，交点为E ，第三次操作，分别作∠ABE 和∠CDE 的平分线，交点为E ，…第n
2 2 2 3
（n≥2）次操作，分别作∠ABE
n﹣1
和∠CDE
n﹣1
的平分线，交点为E
n
，若∠E
n
＝ 度，则
∠BED＝ 度．
α
10．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和
∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝ ．
11．（2020秋•龙岗区期末）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E ，
1
第二次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，
1 1 2
第三次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，
2 2 3
…，
第n次操作，分别作∠ABE
n﹣1
和∠DCE
n﹣1
的平分线，交点为E
n
．
若∠E ＝1度，那∠BEC等于 度．
n
12．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线l ∥l ，且l 和l 、l 分别交于A、B两点，点P
1 2 3 1 2
在AB上．
（1）∠1、∠2、∠3之间的关系为 ；
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为 ；
（3）如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为
．
13．（2021秋•福田区校级期末）如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如
图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的
度数为 ．
14．（2021春•光明区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，
AD，BE，CF交于一点G，BC＝3DC，S△GEC ＝3，S△GBD ＝8，则△ABC的面积是 ．15．（2021春•光明区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且
AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD＝6，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
16．（2021秋•海淀区校级期末）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把
其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是 ．
三．解答题（共44小题）
17．（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）
（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式： ．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
18．（2021春•宝安区校级月考）先化简后求值：[（a﹣2b）2﹣（a+3b）（a﹣2b）]÷（﹣5b），
其中|a+2|+（b﹣1）2＝0．19．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分
成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影 ＝ ；
【方法2】S阴影 ＝ ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
20．（2019秋•望花区期末）某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图
（2）的形状，且外圆的直径不变，请你比较两种方案，确定哪一种方案砌各圆形水池的周边
需用的材料多？（友情提示：比较两种方案中各圆形水池周长的和）
21．（2018秋•宁城县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个
数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b
的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝ ．
22．（2018秋•巴南区校级期末）（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积．
方法①： ；
方法②： ；
（2）根据（1）写出一个等式： ；
（3）若x+y＝8，xy＝3.75，利用（2）中的结论，求x，y；
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图2，它表示了（2m+n）（m+n）＝
2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2．
23．（2018秋•克山县期末）图①是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片，将长方形纸片沿图中
虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图②中小正方形（阴影部分）的面积：
方法一：S小正方形 ＝ ；
方法二：S小正方形 ＝ ；
（2）（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为
（3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若x+y＝9，xy＝14，求x﹣y的值．
24．（2019春•赫山区期末）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：
3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．
请借鉴该同学的经验，计算： ．
25．（2019春•沧州期末）请先观察下列算式，再填空：
32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2．
①72﹣52＝8× ；
②92﹣（ ）2＝8×4；
③（ ）2﹣92＝8×5；
④132﹣（ ）2＝8× ；
…
（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．
（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？
26．（2018春•抚州期末）阅读下面的材料并填空：
①（1﹣ ）（1+ ）＝1﹣ ，反过来，得1﹣ ＝（1﹣ ）（1+ ）＝
②（1﹣ ）（1+ ）＝1﹣ ，反过来，得1﹣ ＝（1﹣ ）（1+ ）＝ ×
③（1﹣ ）（1+ ）＝1﹣ ，反过来，得1﹣ ＝ ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）……（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）27．（2017春•市南区期末）“杨辉三角”揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的
规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟
393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和
的关系：
根据上述规律，完成下列各题：
（1）将（a+b）5展开后，各项的系数和为 ．
（2）将（a+b）n展开后，各项的系数和为 ．
（3）（a+b）6＝ ．
下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下
列问题：
（4）若（m，n）表示第m行，从左到右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是 ，
则（6，2）表示的数是 ，（8，3）表示的数是 ．28．（2021秋•南京期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOB＝80°，则∠BOC＝ °，∠AOD＝ °；
（2）如图②，若∠AOB＝140°，求∠AOD的度数；
（3）若∠AOB＝n°，直接写出∠AOD的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范
围．
29．（2021秋•井研县期末）已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，
CD平分∠ACM，CE⊥CD．
（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA；
（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．
30．（2021秋•东洲区期末）如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分
∠AOC和∠BOC．
（1）与∠AOE互补的角是 ．
（2）若∠AOC＝72°，求∠DOE的度数；
（3）当∠AOC＝x时，请直接写出∠DOE的度数．
31．（2021春•大连期末）如图，点D是∠BAC外一点，过点D作DE∥AB交AC于点F，以DE
为边作∠EDG．
（1）若DG∥AC，则∠BAC与∠EDG的数量关系是 ；（2）若DG与直线AC交于点P（点P不与点A、F重合），用等式表示∠BAC，∠EDG，
∠APD三者之间的数量关系，画出相应的图形，并给出其中一种情况的证明．
32．（2021春•越城区期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为
两平行线间一点．
（1）求证∠APB＝∠DAP+∠FBP；
（2）利用（1）的结论解答：
①如图2，AP 、BP 分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P 的数量关系是
1 1 1
．
②如图3，AP 、BP 分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，则∠AP B的度数是 ．
2 2 2
33．（2021春•桂林期末）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b
上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作
EG∥AB）；
（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当
∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数．
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于
点F，设∠ABC＝ ，∠ADC＝ ，用含有 ， 的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果
即可）
α β α β
34．（2021春•黄冈期末）已知：AB∥CD．
（1）如图①，点E在直线AB与CD之间，连接AE，CE，试说明∠AEC＝∠A+∠C．
（2）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC
的度数为 ．（请直接写出答案）
35．（2021春•肥西县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求
∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝ ．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠ ，∠BCP＝∠ ．
α β（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠ 、∠ 之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出
α β
∠CPD、∠ 、∠ 之间的数量关系．
α β
36．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出
∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有
何数量关系？并说明理由．
37．（2021春•婺城区校级期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点
（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出
它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是 ．38．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出
发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，
到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变
速度，分别变为每秒2cm、 cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图
2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y （cm），点Q还剩的路程为y （cm），请分别求出改变速度后，
1 2
y 、y 和运动时间x（秒）的关系式；
1 2
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
39．（2021春•沈河区期末）如图1，AB∥CD，E是直线CD上的一点，且∠BAE＝30°，P是直
线CD上的一动点，M是AP的中点，直线MN⊥AP且与CD交于点N，设∠BAP＝x°，
∠MNE＝y°．
（1）在图2中，当x＝12时，∠MNE＝ ；
在图3中，当x＝50时，∠MNE＝ ；
（2）研究表明：y与x之间关系的图象如图4所示（y不存在时，用空心点表示，请你根据图
象直接估计当y＝100时，x＝ ．
（3）探究：当x＝ 时，点N与点E重合；
（4）探究：当x＞105时，求y与x之间的关系式．40．（2019春•灵石县期末）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起
点后小明做了一会准备活动朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们
距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中
给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）朱老师的速度为 米/秒；小明的速度为 米/秒；
（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为 米．41．（2019春•右玉县期末）如图1，正方形ABCD的边长为4厘米，E为AD边的中点，F为AB
边上一点，动点P从点B出发，沿B→C→D→E，向终点E以每秒a厘米的速度运动，设运动
时间为t秒，△PBF的面积记为S．S与t的部分函数图象如图2所示，已知点M（1， ）、
N（5，6）在S与t的函数图象上．
（1）求线段BF的长及a的值；
（2）写出S与t的函数关系式，并补全该函数图象；
（3）当t为多少时，△PBF的面积S为4．
42．（2019春•西乡县期末）甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路
程与时间关系的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？
（2）分别求出甲、乙两人的行驶速度；
（3）在什么时间段内，两人均行驶在途中？（不包括起点和终点）43．（2021秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．
（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．
（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，
BD＝CD，证明：GD＝DF．
44．（2021秋•蚌埠期末）如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，
求证：AB＝AC+BD．
45．（2021秋•潮安区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、
BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD＝2cm，BC＝5cm．
（1）求证：FC＝AD；
（2）求AB的长．46．（2021秋•黄石期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝
∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；
（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．
47．（2021秋•通榆县期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过
合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
48．（2021秋•霍林郭勒市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，
AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
49．（2021秋•长寿区期末）如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD
平分线上一点，EB＝EC过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB＝3，AC＝5，求AF的长．50．（2021春•镇江期末）直线AB、CD为平面内两条直线，点M、点N分别在直线AB、CD上，
点P（P不在直线AB、CD上）为平面内一动点．
（1）如图1，若AB、CD相交于点O，∠MON＝40°；
①当点P在△OMN内部时，求证：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；
②小芳发现，当点P在∠MON内部运动时，∠MPN、∠OMP、∠ONP还存在其它数量关系，
这种数量关系是 ；
③探究，当点P在∠MON外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有
种；
（2）如图2，若AB∥CD，请直接写出∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是
．
51．（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝
ED．
（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD；
（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝
AB＝4．求点E到BC的距离．52．（2021春•高明区校级期末）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的
数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，
求∠A的度数．
53．（2021秋•德城区期末）同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问
题：
（1）如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC
一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC
＝ ，所以射线 是∠AOB的平分线；
（2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕．
①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数；
②过点E再将长方形的另一角∠B做折叠，使点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，H为EH与射线BC的交点．请猜想∠A′EF，∠B′EH与
∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由．
54．（2021秋•木兰县期末）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在
格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点A的坐标为（﹣5，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的A B C ；
1 1 1
（2）通过画图在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB并直接写出点Q
的坐标．Q的坐标为 ．
55．（2021秋•浦东新区期末）生活中，有人喜欢把传送的便条折成“ ”形状，折叠过程
按图①、②、③、④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长
方形纸条（图①）长为26厘米，分别回答下列问题：
（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么在
图②中，BE＝ 厘米；在图④中，BM＝ 厘米．
（2）如果长方形纸条的宽为x厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两
端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离
（结果用x表示）．56．（2021秋•开封期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为
△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、
AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关
系．
（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是
；此时 ＝ ；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？
若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系
如何？并给出证明．
57．（2021秋•滑县校级期末）已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE
交线段AB于E，DF交直线BC于F．
（1）如图（1），求证：DE＝DF；
（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF＝ BC．
（3）如图（3），若BE＝ AE，则CF＝ BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝
BC．
58．（2020春•福田区期末）“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由
转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．
颜色 奖品
红色 玩具熊
黄色 童话书
绿色 彩笔
无色 无奖品
小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：
（1）小明获得奖品的概率是多少？
（2）小明获得童话书的概率是多少？
59．（2018春•砀山县期末）贵阳市某中学初一年级的学生参加军训，在一次野外生存训练中，
教官将一包食品随意埋在如图所示的区域中（图中每个三角形的大小、形状完全相同）．
（1）食品埋藏在A区域的概率是多少？
（2）假如你去寻找食品，你认为在哪个区域找到食品的可能性大？说明理由．
60．（2017•南岗区模拟）某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的
随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图．
（1）把折线统计图补充完整；（2）求出扇形统计图中，公务员部分对应的圆心角的度数；
（3）若从被调查的学生中任意抽取一名，求取出的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率．
