文档内容
专题 01 利用勾股定理求最短路径问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、圆柱中的最短路径模型...................................................................................................................1
题型二、长方体中的最短路径模型...............................................................................................................4
题型三、阶梯中的最短路径模型...................................................................................................................7
题型四、将军饮马与最短路径模型...............................................................................................................9
B综合攻坚・能力跃升
题型一、圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
1．一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱高为 ，底面半径为 ，那么蚂
蚁爬过的最短路径 的长为 ．
【答案】 / 厘米
【分析】此题主要考查了平面展开 最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，
再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
首先根据题意画出示意图，连接 ，根据圆的周长公式算出底面圆的周长， 底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出 的长即可．
【详解】解：连接 ，
圆柱的底面半径为 ，
，
在 中， ，
则 ，
即蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
故答案为：
2．如图，一圆柱高 ，底面半径是 ，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从
点 爬到点 ，圆周率 取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ．
【答案】 / 厘米
【分析】本题考查了勾股定理与最短路径问题，将圆柱展开为长方形，利用勾股定理求对角线的长即为最
短路径的长．先画出圆柱展开图形，最短路程是 的长， 是底面圆周长的一半，据此根据勾股定理计
算求解即可．
【详解】解：如图所示，将圆柱沿着高展开，
由题意得， ，
∴由勾股定理得： ，
∴蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ，
故答案为： ．
3．如图，有一个高为 ，底面直径为 的圆柱．在圆柱下底面的点 有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点 处的食物，它从点 爬到点 ，然后再沿另一面爬回 点，蚂蚁爬行的最短路程是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解出点A到点B的最短
距离即可得到答案．
【详解】解：由题意侧面展开得到下图所示：
∵底面直径为 ，高为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴它从点 爬到点 ，然后再沿另一面爬回 点，蚂蚁爬行的最短路程是 ，
故答案为： ．
题型二、长方体中的最短路径模型
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.【最值原理】两点之间线段最短.
4．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点B离点C ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的
表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短路径问题，分三种情况进行讨论，分别计算 的长度，进而比
较即可求解．
【详解】解：展开前面和右面，如图：
；
展开左面和上面，如图：
；
展开上面和前面，如图：
；∵ ，
∴ ，
∴需要爬行的最短距离是25，
故答案为：25．
5．如图，长方体的高为 ，底面是边长为 的正方形，一只蚂蚁从顶点 开始，爬向顶点 ，那么
它爬行的最短路程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径的计算，掌握勾股定理是关键．
根据题意，数形结合，分类讨论即可求解．
【详解】解：如图，
（1） ；
（2） ，
由于 ；
则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
故答案为： ．
6．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面
爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm．【答案】25
【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧
面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，
由题意，得 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： 负值已舍去
故答案为：
题型三、阶梯中的最短路径模型
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
7．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是 ， 和 ，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A
上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解
决本题的关键．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为 ，长为 ，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点 最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得， ，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是 ；
故答案为：
8．如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽 平行且棱
长大于 ，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是
米．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开—最短路径问题，由题意可得，将木块展开，相当于是
个正方形的宽，求出展开后的长为 米，宽为2米，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：由题意可得，将木块展开，相当于是 个正方形的宽，如图所示：，
∴展开后的长为 米，宽为2米，
∴最短路径为 米，
∴一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程 米，
故答案为： ．
9．某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，
它的横截面图中半圆的半径为 ，其边缘 ，点E在 上， ．一名滑雪爱好者
从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据题意可得， ， ，线段
即为滑行的最短路线长．在 中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．
【详解】解：将半圆面展开可得：
，
在 中， ，
即滑行的最短路线长为 ，
故答案为： ．
题型四、将军饮马与最短路径模型
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
10．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，在容器内壁离容器底部 的点B
处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最
短路径为 ，则该圆柱底面周长为 ．
【答案】18
【分析】题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的意义，将容器的侧面展开，建立点A关于 的
对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度为爬行最短距离，然后根据勾股定理求出 ，即可求
解．
【详解】解：将圆柱的侧面展开， 为上底面圆周长的一半，作点A关于 的对称点 ，连接 交
于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需要爬行的最短路径为 ，
如图，过点 作 交 的延长线于点D，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴圆柱底面周长为 ；
故答案为：18．
11．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高 ，水深 ．在水面
上紧贴内壁的 处有一块面包屑，且 ．一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处
吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ．【答案】100
【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出
A关于 的对称点 ，连接 ，与 交于点Q，此时 最短； 为直角 的斜边，根据
勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示作出A关于 的对称点 ，连接 ，与 交于点Q，蚂蚁沿着 的路
线爬行时路程最短．
则 ，
根据题意： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴最短路线长为 ，
故答案为： ．
12．如图，在笔直的河边 的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边 饮马，然后前往
草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中 的长度， ，垂足为D）为12米，B处到河边
的距离（即图中 的长度， ，垂足为E）为28米，且 两处相距30米．
(1)在图中画出从A到 再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；
(2)C是河边 上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，
行走路程比（1）中的最短路径长多少？
【答案】(1)见解析，最短路径的长度 米(2) 米
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对
称解决最短问题．
（1）作点A关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于点P，连接 ，点P即为所求，利用勾股定理求
出 可得结论；
（2）利用勾股定理求出 ， 可得结论．
【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B．
过点 作 交 的延长线于点T，
∵ 米， 米， 米，
∴ （米），
∴ （米），
∴最短路径的长 （米）；
（2）∵ （米），
（米），
∴行走路程比（1）中的最短路径长： 米．
一、单选题
1．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台
阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ）A． 分米 B． 分米 C．16分米 D．20分米
【答案】D
【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出 的长即可得出结论．
本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出台阶的表面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的
关键．
【详解】解：如图所示
（分米）
答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是20分米．
故选：D
2．如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知 米， 米，该木块的较
长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块到达 处需要走的最短路程是
多少米？（ ）
A．15 B． C．13 D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面展开 最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间
想象能力．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图，将木块展开， 即为所求，
则 （米 ， 米，
最短路径为： （米 ．
故选：D．3．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点 的距离为 ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点
爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开
图是解题关键．
将长方体展开，连接 ，根据两点之间线段最短，即可求解．
【详解】解：将长方体展开，连接 ，
根据两点之间线段最短，共有 种情况：
①如图，
， ，
由勾股定理，得： ；
②如图，
， ，
由勾股定理，得： ；
③如图，
， ，由勾股定理，得： ；
，
蚂蚁需要爬行的最短距离是 ．
故选：B．
4．如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点 到顶点 沿六棱柱的侧面镶有一
圈金属丝，已知此六棱柱的高 为 ，底面边长为 ，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解
题的关键．将六棱柱侧面展开后，再运用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为 的长，
由勾股定理得， ，
这圈金属丝的长度至少为 ．
故选：A．
二、填空题
5．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条
“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路 比走路 ”少了
米．【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
在 中，直接利用勾股定理得出 的长，再利用 进而得出答案．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内壁底部的点 处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的爬行最短路线
的长为 ．（杯壁厚度不计）
【答案】13
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于 的
对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即最短，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于 的对称点 ，
∴ 为矩形，
根据题意得 ， ， ，∴ ，
连接 ，则 即为最短距离，
．
故答案为：13．
7．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点 处，不计线头，
细线的最短长度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“
”是解题的关键．把长方体沿边 剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把长方体沿边 剪开，连接 ，
根据题意： ， ，
在 中，由勾股定理得： .
故答案为： ．
8．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯
线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么
用在该建筑物上的灯线最短需要 米．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与最短路径的计算，理解题意，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
根据题意，将立体图形展开，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示， 米，
点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，
米，
∴ 米，
故答案为： ．
三、解答题
9．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部
的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部 的点 处，
则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少 ？
【答案】 ．
【分析】把圆柱侧面展开成平面矩形，利用轴对称性质将蚂蚁爬行的路径转化为平面上两点间的线段，再
借助勾股定理计算最短路径长度．本题主要考查了圆柱侧面展开图、轴对称性质及勾股定理的应用，熟练
掌握“将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中两点间线段问题，借助轴对称和勾股定理求解”是
解题的关键．
【详解】解：如图：高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的A处有一饭粒，此时一只蚂
蚁正好在容器外壁且距离容器上沿 的点 处，
底部周长的一半为 ， ，
将容器侧面展开，作A关于 的对称点 ，
连接 ，则 即为最短距离，
10．如图①，圆柱的底面直径为 ，高 ，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点 爬到点 的最短路
径长多少厘米：
(1)图②是将圆柱侧面沿 裁剪后展开形成的四边形 ，点 在线段 上，求 的长（ 取
3）；
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
【答案】(1) ；
(2) ，图见解析
【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段
最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键．
（1）根据 的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案；
（2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段 ，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路
径的长度．
【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知， 的长为圆柱底面圆的周长，
圆柱的底面直径为 ，
；（2）解：如图所示：
由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段 ，
由（1）知 ，高 ，
，
在 中，由勾股定理可得 ．
11．如图，长方体的长 ，宽 ，高 ，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点
出发到点 处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱 后到达点 处（即 ），蚂蚁乙的行走路径为翻
过棱 后到达点 处（即 ），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱 后到达点 处（即
）．
(1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？
(2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？
【答案】(1) ， ，
(2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达
【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论；
（2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径 ， ， 的大小，即可得出结论．
【详解】（1）解：将长方体表面展开，
如图 ，连接 ，在 中， ，
，
如图 ，连接 ，
在 中， ，
，
如图 ，连接 ，
在 中， ，
，
甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是 ， ， ；
（2）解： ，即 ，
，
又 三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点 出发，
行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达，
即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．
12．如图，观察图形解答下面的问题：(1)此图形的名称为_______；
(2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是
一个_______；
(3)如果点 是 的中点，在 处有一只蜗牛，在 处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的
侧面爬行一周到 处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4) 的长为10，侧面展开图的圆心角为 ，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．
【答案】(1)圆锥
(2)扇形
(3)见解析
(4)125
【分析】本题考查勾股定理应用、圆锥的侧面展开图，“化曲面为平面”等知识，解题的关键是理解扇形
的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（1）根据几何体的特点可判断此图形为圆锥；
（2）圆锥的侧面展开图是扇形；
（3）要求蜗牛爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果；
（4）直接用勾股定理解直角三角形即可．
【详解】（1）解：此图形的名称为圆锥;
故答案为：圆锥；
（2）动手操作略．它的侧面展开图是一个扇形；
故答案为：扇形；
（3）把此立体图形的侧面展开，如答图所示，连接 ，则 为蜗牛爬行的最短路线．
（4）由题易知 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
故蜗牛爬行的最短路程的平方为125．
13．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为 的无盖长方体木箱（如图3，
）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
【答案】(1)A
(2)
(3)最短为 ，方案见解析
【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键．
（1）结合图形即可得出结果；
（2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解；
（3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意，
故选：A；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为： ，
∴最短长度是 ；
（3）①把 展开，如图此时总路程为 ，②把 展开，如图
此时的总路程为 ；
③如图所示，把 展开，
此时的总路程为 ，
由于 ，所以第三种方案路程更短，最短路程为 ．
14．【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【答案】（1） （2） （3）
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，
故答案为： ；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
故答案为： ；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，
， ,
，
，
，
蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是 ．
15．【阅读材料】
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点
之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置
如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段 的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ，在外侧距下底 的点S处有一蜘蛛，与
蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走
的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度
在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆
虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？【答案】（1）34cm；（2） 秒．
【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握
运用勾股定理是解题关键．
（1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可；
（2）设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径 爬行，爬行捕
捉到昆虫甲需x秒．在 中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段 就是蜘蛛走的最短路线．
由题意可得在 中，
， ， ，
∴ ，
∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm．
（2）设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径 爬行，爬行捕
捉到昆虫甲需x秒．
如图2，在 中，
∵长方体的棱长 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
解得 ．
答：昆虫乙至少需要 秒才能捕捉到昆虫甲．
