文档内容
专题 01 利用勾股定理求最短路径问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、圆柱中的最短路径模型...................................................................................................................1
题型二、长方体中的最短路径模型...............................................................................................................4
题型三、阶梯中的最短路径模型...................................................................................................................7
题型四、将军饮马与最短路径模型...............................................................................................................9
B综合攻坚・能力跃升
题型一、圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
1．一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱高为 ，底面半径为 ，那么蚂
蚁爬过的最短路径 的长为 ．
2．如图，一圆柱高 ，底面半径是 ，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从
点 爬到点 ，圆周率 取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ．3．如图，有一个高为 ，底面直径为 的圆柱．在圆柱下底面的点 有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点
相对的点 处的食物，它从点 爬到点 ，然后再沿另一面爬回 点，蚂蚁爬行的最短路程是
．
题型二、长方体中的最短路径模型
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
4．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点B离点C ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的
表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ．5．如图，长方体的高为 ，底面是边长为 的正方形，一只蚂蚁从顶点 开始，爬向顶点 ，那么
它爬行的最短路程为 ．
6．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面
爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm．
题型三、阶梯中的最短路径模型
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
7．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是 ， 和 ，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A
上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ．
8．如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽 平行且棱
长大于 ，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是米．
9．某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，
它的横截面图中半圆的半径为 ，其边缘 ，点E在 上， ．一名滑雪爱好者
从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m．
题型四、将军饮马与最短路径模型
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
10．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，在容器内壁离容器底部 的点B
处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最
短路径为 ，则该圆柱底面周长为 ．
11．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高 ，水深 ．在水面
上紧贴内壁的 处有一块面包屑，且 ．一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处
吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ．12．如图，在笔直的河边 的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边 饮马，然后前往
草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中 的长度， ，垂足为D）为12米，B处到河边
的距离（即图中 的长度， ，垂足为E）为28米，且 两处相距30米．
(1)在图中画出从A到 再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；
(2)C是河边 上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，
行走路程比（1）中的最短路径长多少？
一、单选题
1．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台
阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ）
A． 分米 B． 分米 C．16分米 D．20分米
2．如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知 米， 米，该木块的较
长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块到达 处需要走的最短路程是
多少米？（ ）A．15 B． C．13 D．10
3．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点 的距离为 ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点
爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点 到顶点 沿六棱柱的侧面镶有一
圈金属丝，已知此六棱柱的高 为 ，底面边长为 ，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条
“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路 比走路 ”少了
米．
6．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内壁底部的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的爬行最短路线
的长为 ．（杯壁厚度不计）
7．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点 处，不计线头，
细线的最短长度为 ．
8．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯
线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么
用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
三、解答题
9．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部
的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部 的点 处，
则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少 ？
10．如图①，圆柱的底面直径为 ，高 ，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点 爬到点 的最短路
径长多少厘米：(1)图②是将圆柱侧面沿 裁剪后展开形成的四边形 ，点 在线段 上，求 的长（ 取
3）；
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
11．如图，长方体的长 ，宽 ，高 ，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点
出发到点 处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱 后到达点 处（即 ），蚂蚁乙的行走路径为翻
过棱 后到达点 处（即 ），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱 后到达点 处（即
）．
(1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？
(2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？
12．如图，观察图形解答下面的问题：
(1)此图形的名称为_______；
(2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是
一个_______；
(3)如果点 是 的中点，在 处有一只蜗牛，在 处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的
侧面爬行一周到 处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4) 的长为10，侧面展开图的圆心角为 ，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．
13．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的
金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为 的无盖长方体木箱（如图3，
）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
14．【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
15．【阅读材料】
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点
之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置
如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段 的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ，在外侧距下底 的点S处有一蜘蛛，与
蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走
的最短路线的长度．（2）如图4，长方体的棱长 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度
在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆
虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
