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专题 01 利用勾股定理求最短路径问题的四种模型
目录
题型一：圆柱中的最短路径模型..............................................................................................................................1
题型二：长方体中的最短路径模型..........................................................................................................................9
题型三：阶梯中的最短路径模型............................................................................................................................18
题型四：将军饮马与最短路径模型........................................................................................................................24
题型一：圆柱中的最短路径模型
例题：如图①，圆柱的底面直径为 ，高 ，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点 爬到点 的最短
路径长多少厘米：
(1)图②是将圆柱侧面沿 裁剪后展开形成的四边形 ，点 在线段 上，求 的长（ 取
3）；
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
【答案】(1) ；
(2) ，图见解析
【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段
最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键．
（1）根据 的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案；
（2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段 ，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路
径的长度．
【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知， 的长为圆柱底面圆的周长，
圆柱的底面直径为 ，
；
（2）解：如图所示：由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段 ，
由（1）知 ，高 ，
，
在 中，由勾股定理可得 ．
【方法总结】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
【变式训练】
1．如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面与A点相
对的B点处的食物，当圆柱的高 厘米，底面半径 厘米时，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是
．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先
画出圆柱的平面展开图，求出 长，再利用勾股定理可求出 的长．
【详解】解：圆柱的展开图如下：连接 ，
由题意得： ，
，
∴ ．
故答案为： ．
2．如图，实心圆柱的底面周长为 ，高 ， 的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A
处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径．展开成
平面，连接 ，则 长时蚂蚁在圆柱表面从点 爬到点 的最短路程，求出 的长，根据勾股定理，
即可求解，
【详解】解：展开成平面，连接 ，
则 长为蚂蚁在圆柱表面从点 爬到点 的最短路程，
∴ ， ，
在 中， ，
故答案为： ．3．如图，圆柱的底面直径为 ，高为 ，一只蚂蚁在 处，沿圆柱的侧面爬到 处，现将圆柱
侧面沿 “剪开”，则在侧面展开图上蚂蚁爬行的最短路程是
【答案】 /
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键．沿过
点的母线剪开，连接 ，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：沿过 点的母线剪开，连接 ，
根据两点之间，线段最短．
由勾股定理得： ，
故蚂蚁爬行的最短路程为 ，
故答案为： ．
4．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高 ，底面圆的直径为 ，在外侧距下底 的点 处有一蜘蛛，
与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口 的 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最
短路线的长度．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开
图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式求解，首先将圆柱展开，将两个点放在同一平面上，构建直角 ，可知捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的
最短路线就是 的长；根据已知求出 ，由题意可知： 是底面的周长的一半，根据底面圆的
直径为 和圆的周长公式，可以求 的长，从而由勾股定理求出 的长．
【详解】解：画圆柱的展开图，如图所示：过 作 于 ，
由题意得： ， ，
，
，
由勾股定理得： ，
答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为 ．
5．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手
绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上
信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行
路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行
10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
【答案】(1)50cm
(2)300cm
【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为 的长，圆柱的高即为 的长，求出 的长即
为葛藤绕树的最短路程．
（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．【详解】（1）解：如图，
树干的周长即底面圆的周长为30cm
cm
葛藤升高40cm
cm
由勾股定理得 cm
所以，葛藤爬行的路程是50cm
（2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm
cm
葛藤绕一圈爬行50cm
cm
由勾股定理得绕行1圈的高度
爬行10圈到达树顶
树干高 cm
所以，树干高为300cm
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边 的
长．
6．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而
达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高
为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 处缠绕而上．(1)若绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕 周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
【答案】(1)25
(2)
【分析】（1）根据题意画出图形，在Rt 中，再根据勾股定理求解即可；
（2）在Rt 中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
在Rt 中， ， ，
（尺）
答：葛藤长为25尺．
故答案为：25；
（2）解：在Rt 中， ， ，
（尺），
答：葛藤长为 尺．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题
的关键．
7．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金
属丝．
(1)现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(4)如图③，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点A处有一滴蜂蜜，此时
一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的
最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】(1)A
(2)20
(3)
(4)10
【知识点】最短路径问题、 圆柱的展开图、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了平面展开 最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形
的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾
股定理解决．
（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，
根据勾股定理计算即可；
（3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及 的高为直角三角形的斜边长
的4倍；
（4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的
长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形， 展开应该是两线段，且有公共点 ．
故选：A；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为 的长度．
圆柱底面的周长 ，圆柱的高 ，
该长度最短的金属丝的长为 ；
（3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以周长及 的高为直角三角形的斜边长的4倍：．
（4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连
接 ，
由题意得： ，
，
∵底面周长为 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ．
题型二：长方体中的最短路径模型
例题：如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那
么它爬行的最短路程是 ．
【答案】
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，分三种情况，展开图形，结合勾股定理计算并
比较，即可得解．
【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短路线是 ；
第二种情况：把我们所看的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是5和4，
则所走的最短路线是 ；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和2，
则所走的最短路线是 ；
∵ ，
∴它爬行的最短路程是 ，
故答案为： ．
【方法总结】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
【变式训练】
1．如图，长方体中， ，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点 ，
爬行的最短距离是 ．【答案】13
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求
出对应的最短路径，比较即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当沿着 把长方体展开时，
则 ，
∴ ，
∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点 ，爬行的最短距离是 ；
如图所示，当沿着 把长方体展开时，
则 ，
∴ ，
∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点 ，爬行的最短距离是 ；
如图所示，当沿着 把长方体展开时，
则 ，
∴ ，
∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点 ，爬行的最短距离是 ；
∵ ，
∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点 ，爬行的最短距离是 ；
故答案为：13．
2．如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱 的中点，一只蚂蚁由
A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ．【答案】
【知识点】求展开图上两点折叠后的距离、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可．
本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把
立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．
【详解】解：如图所示，根据题意，长方体的长 ，宽 ，高 ，
，
根据展开图，得到解法如下：
第一种展开图， 根据题意，得
；
第二种展开图中，根据题意，得
；
第三种展开图中，根据题意，得；
故爬行的最短路程为 ，
故答案为： ．
3．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点 处，不计线头，
细线的最短长度为 ．
【答案】
【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)、最短路径问题
【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“
”是解题的关键．把长方体沿边 剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把长方体沿边 剪开，连接 ，
根据题意： ， ，
在 中，由勾股定理得： .
故答案为： ．
4．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点B离点C ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短路径问题，分三种情况进行讨论，分别计算 的长度，进而比
较即可求解．
【详解】解：展开前面和右面，如图：
；
展开左面和上面，如图：
；
展开上面和前面，如图：
；
∵ ，∴ ，
∴需要爬行的最短距离是25，
故答案为：25．
5．如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急
于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少．
【答案】 ．
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理等．根据题意分两种情况分析，针对两种情况求出路径长，再
比较大小即可得到本题答案．
【详解】解：如图①所示， ，
如图②所示， ，
∵ ， ，
∴它从A处爬到B处的最短路线长为 ．
6．（1）如图1，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ．现有一只蚂蚁从点 处沿长方体的表面爬到点
G处，求它爬行的最短路程；
（3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为
，在容器内壁离底部 的点 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 与饭粒
相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】（1） （2） （3）
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解
题的关键．
（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．
（2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可；
（3）将容器侧面展开，建立 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求．
【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是：
；
（2）①如图， ，
②如图， ，③如图， ，
，
∴最短路程为 ；
（3）∵高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容
器外壁，离容器上沿 与饭粒相对的点 处，
将容器沿侧面展开，作 关于 的对称点 ，
，
连接 ，则 即为最短距离，
∴
题型三：阶梯中的最短路径模型
例题：如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为 、 、 ，则它爬行的最短路程为
．【答案】 /13分米
【分析】
本题考查勾股定理解决最短距离问题，将楼梯拉伸，根据两点间线段最短，结合勾股定理求解即可得到答
案；
【详解】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示，
则 的长即为它爬行的最短路程，
由勾股定理得， ，
∴它爬行的最短路程为 ，
故答案为： ．
【方法总结】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
【变式训练】
1．将矩形纸片 折叠，如图所示，已知 ， ，
，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．【答案】26
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，
解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短
连接 即可．
【详解】如图，
根据题意可得：展开图中的 ， ．
在 中，
由勾股定理可得： ，
即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．
故答案为：26．
2．如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为 ，A和B是这个台阶两个相
对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径
是 ，确定最短路径的依据是 ．
【答案】 25 两点之间，线段最短
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，两点之间，线段最短，把台阶展开，根据两点之间，线段
最短可知，线段 的长即为蚂蚁所爬的最短路径，利用勾股定理求出线段 的长即可．
【详解】解：把台阶展开如下：
由题意得， ，
∴ ，
∴蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是 ，依据是两点之间，线段最短，
故答案为：25；两点之间，线段最短．3．如图，教室的墙面 与地面 垂直，点 在墙面上，若 ，点 到 的距离是
，有一只蚂蚁要从点 爬行到点 ，则它的最短行程是 m．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题．可将教室的墙面 与地面 展开，
连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将教室的墙面 与地面 展成一个平面，
过P作 于G，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故这只蚂蚁的最短行程应该是 ．
故答案为： ．
4．如图，在一张长方形纸板 上放着一根长方体木块．已知 米， 米．该木块的长与
平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块到达点 需要走的最短路程是
米．【答案】
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是 个正方形的宽，
∴长为 米；宽为 米．
于是最短路径为： 米．
故答案为： ．
5．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根
正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一个边长为 的等边三角形，求一只蚂
蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ；
(2)线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
【答案】(1)图形见解析
(2)两点之间线段最短.
(3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，
解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接 即可；
（2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中 等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中 等于长方
形地毛毯的宽，根据勾股定理计算 的长即可求解．【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的 ， ．
在 中，由勾股定理可得： ，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
6．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理最短路径问题：（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由勾股定理，得： ；
故答案为：25；
（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
， ，
由勾股定理得： ；
故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
由题意得： ，
，
∵底面周长为 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ，
题型四：将军饮马与最短路径模型
例题：如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底
部 的 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点 处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部 的点 处，
则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的
性质画出蚂蚁走的最短路径，构造直角三角形，、利用勾股定理求出结果．
【详解】解：如下图所示，将圆柱的侧面展开，
则有 ， ， ，
作点 关于 的对称点 ，作 交 的延长线于点 ，
则 ， ，
，
故答案为： ．
【方法总结】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
【变式训练】
1．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为 ， ， ，一只壁虎从外表面顶点 出
发，沿长方体表面爬到内侧点 处，点 在 上且距离上沿 （即 ），壁虎爬行的最短路程是（ ）（鱼缸厚度忽略不计）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长 到点 ，使 ，连接 ，交 于点
P，连接 ．则 ． 的最小值为 的长．利用勾股定理求出 的长度即为壁虎爬行最
短路程．
【详解】解：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，交 于点P，连接 ．
则 ． 的最小值为 的长．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
2．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高 ，水深 ．在水面
上紧贴内壁的 处有一块面包屑，且 ．一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处
吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ．
【答案】100
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出
A关于 的对称点 ，连接 ，与 交于点Q，此时 最短； 为直角 的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示作出A关于 的对称点 ，连接 ，与 交于点Q，蚂蚁沿着 的路
线爬行时路程最短．
则 ，
根据题意： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴最短路线长为 ，
故答案为： ．
3．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的
马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【答案】
【分析】如图（见详解），将小河看成直线 ，由题意先作A关于 的对称点 ，连接 ，构建直
角三角形，则 就是最短路线；在 中， ， ， ，利用勾股
定理即可求出 ．
【详解】如图，做出点A关于小河 的对称点 ，连接 交MN于点P，则 就是牧童要完成这件事
情所走的最短路程长度．由题意知： ， ， ，
在 中，由勾股定理求得 ，
则他要完成这件事情所走的最短路程是 ．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．
4．如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为 和
，且A、B两村相距 ．
(1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
(2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多
少元？
【答案】(1)见解析
(2)60000元
【分析】本题考查最短路线问题，作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解题的关键．
（1）作点 关于河边所在直线的对称点 ，连接 交直线于 ，则点 为水泵站的位置；
（2）利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质即可求解．
【详解】（1）解：作点 关于河边所在直线的对称点 ，连接 交直线于 ，则点 为水泵站的位置，
此时， 的长度之和最短，即所铺设水管最短；（2）过 点作直线的垂线，过 作直线的平行线，设这两线交于点 ，则 ．过 作 于 ，
依题意： ， ，
，
（负值已舍去），
由题意得： ，
， ，
，
（负值已舍去），
，
，
答：最节约铺设水管的费用为60000元．
5．如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为 ， ，
，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之
和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长 ，取 ，再连接 ，与 交于点E即可；
（2）作出以 为斜边的直角 ，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；（2）如图，作出以 为斜边的直角 ，
由（1）可知： ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为 ．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于 的对称点是
确定建水厂位置的关键．
