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专题 01 利用勾股定理求最短路径问题的四种模型
目录
题型一：圆柱中的最短路径模型..............................................................................................................................1
题型二：长方体中的最短路径模型..........................................................................................................................9
题型三：阶梯中的最短路径模型............................................................................................................................18
题型四：将军饮马与最短路径模型........................................................................................................................24
题型一：圆柱中的最短路径模型
例题：如图①，圆柱的底面直径为 ，高 ，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点 爬到点 的最短
路径长多少厘米：
(1)图②是将圆柱侧面沿 裁剪后展开形成的四边形 ，点 在线段 上，求 的长（ 取
3）；
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
【方法总结】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.【变式训练】
1．如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面与A点相
对的B点处的食物，当圆柱的高 厘米，底面半径 厘米时，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是
．
2．如图，实心圆柱的底面周长为 ，高 ， 的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A
处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ．
3．如图，圆柱的底面直径为 ，高为 ，一只蚂蚁在 处，沿圆柱的侧面爬到 处，现将圆柱
侧面沿 “剪开”，则在侧面展开图上蚂蚁爬行的最短路程是
4．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高 ，底面圆的直径为 ，在外侧距下底 的点 处有一蜘蛛，
与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口 的 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最
短路线的长度．（结果保留根号）
5．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上
信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行
路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行
10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
6．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而
达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高
为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕 周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
7．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金
属丝．
(1)现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(4)如图③，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点A处有一滴蜂蜜，此时
一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的
最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
题型二：长方体中的最短路径模型
例题：如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那
么它爬行的最短路程是 ．
【方法总结】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
【变式训练】
1．如图，长方体中， ，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点 ，
爬行的最短距离是 ．2．如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱 的中点，一只蚂蚁由
A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ．
3．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点 处，不计线头，
细线的最短长度为 ．
4．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点B离点C ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的
表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ．
5．如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急
于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少．
6．（1）如图1，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ．现有一只蚂蚁从点 处沿长方体的表面爬到点
G处，求它爬行的最短路程；
（3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为
，在容器内壁离底部 的点 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 与饭粒
相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
题型三：阶梯中的最短路径模型
例题：如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为 、 、 ，则它爬行的最短路程为
．
【方法总结】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
【变式训练】
1．将矩形纸片 折叠，如图所示，已知 ， ，
，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．2．如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为 ，A和B是这个台阶两个相
对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径
是 ，确定最短路径的依据是 ．
3．如图，教室的墙面 与地面 垂直，点 在墙面上，若 ，点 到 的距离是
，有一只蚂蚁要从点 爬行到点 ，则它的最短行程是 m．
4．如图，在一张长方形纸板 上放着一根长方体木块．已知 米， 米．该木块的长与
平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块到达点 需要走的最短路程是
米．
5．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根
正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一个边长为 的等边三角形，求一只蚂
蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ；(2)线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
6．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
题型四：将军饮马与最短路径模型
例题：如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底
部 的 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点 处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部 的点 处，
则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
【方法总结】将军饮马与最短路径基本模型如下：解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
【变式训练】
1．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为 ， ， ，一只壁虎从外表面顶点 出
发，沿长方体表面爬到内侧点 处，点 在 上且距离上沿 （即 ），壁虎爬行的最短
路程是（ ）（鱼缸厚度忽略不计）
A． B． C． D．
2．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，高 ，水深 ．在水面
上紧贴内壁的 处有一块面包屑，且 ．一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处
吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ．
3．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的
马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
4．如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为 和，且A、B两村相距 ．
(1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
(2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多
少元？
5．如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为 ， ，
，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之
和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
