文档内容
专题 01 利用勾股定理求几何最值问题的三种考法
考点01 求最短路径问题
考点02 将军饮马求模型最值问题
考点03 构造几何求最值问题
考点01 求最短路径问题
1．如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ） ．
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用
展开图，轴对称，勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，
根据题意， ，
作点 关于直线 的对称点G，连接 ，则 为所求最小值，
则 ，
过点 作 ，交 的延长线于点E，
则四边形 是矩形，
故 ，
故 ，
故 ，故选：C．
2．如图是一个长 、宽 、高 的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间
把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去
吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作点P关于 的对称点A，则 ，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间
把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中
， ，连接 ，交 于点E，此时最短，解答即可．
本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键．
【详解】解：作点P关于 的对称点A，则 ，
由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角
线交点Q处有一滴糖，
故展开图中 ， ，
连接 ，交 于点E，此时最短，
且
故选：D ．
3．如图，一只蚂蚁从 处出发沿台阶爬行到达 处，已知每级台阶的宽度和高度分别是 和 ，
台阶长度 ，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．【答案】275
【分析】本题考查求最短路径问题—勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长
和宽即可解答．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
每级台阶的宽度和高度分别是 和 ，
台阶平面展开图为长方形，长 ，宽 ，
蚂蚁从A点沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得： ，
故答案为：275．
4．如图，用一条花带从高 的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱
子的底面周长是 ，则这条花带的长度至少为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间
的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
把圆柱沿 展开三圈，B点的对应点为C点，如图，由于 ，则利用勾股定理可计算出
，然后根据两点之间线段最短求解．
【详解】解：把圆柱沿 展开三圈，B点的对应点为C点，如图，则 ，
∵ ，
∴ （ ）．
∴这条花带的长度至少为 ．
故答案为： ．
5．如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离
厘米，B点到桶口的距离 厘米，圆弧 长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米．
【答案】39
【分析】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的两条直角边的平方
和等于斜边的平方．
依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，
根据勾股定理计算出最短路程．（勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
【详解】解：过B作 于E点，如图：
则 厘米， 厘米， （厘米）
在直角三角形 中 ，
因为
所以 厘米
6．如图，教室的墙面 与地面 垂直，点P在墙面上．若 ，点P到 的
距离是 ，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程．【答案】这只蚂蚁的最短行程是
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点
间的线段长来进行解决．
可将教室的墙面 与地面 展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将墙面 展开与地面 处于同一平面内，过点P作 于点G，连接
．
由题意，得 ，
∴由勾股定理，得 ．
∵ ，
∴由勾股定理，得 ，
∴ ．
故这只蚂蚁的最短行程是 ．
7．如图，长方体的长为10，宽为5，高为24，点B为棱上一点，且 ，如果蚂蚁要沿长方体的表面
从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路程是多少．
【答案】蚂蚁爬行的最短路程是25
【分析】本题主要考查长方体的展开图及勾股定理，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图及勾股定理．
由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右面和上面进行展开时，③当沿长
方体的后面和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】解：按照答图①展开，因为长方体的宽为5，高为24，点B到点C的距离是2，所以，
在 中，由勾股定理，得 ；
按照答图②展开，因为长方体的宽为5，高为24，点B到点C的距离是2，所以 ， ，
在 中，由勾股定理，得 ；
按照答图③展开，因为长方体的宽为5，高为24，点B到点C的距离是2，所以 ， ，
在 中，由勾股定理，得 ；
因为 ，
所以蚂蚁按答图①爬行时，路程最短， ，
答：蚂蚁爬行的最短路程是25．
考点02 将军饮马模型求最值问题
8．如图，在 中， ， ， ，点D，E分别是 上的动点，且
，连接 ，则 的最小值是（ ）．
A．5 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
如图：过点B作 ，且使 ，连接 ，先由勾股定理求出 ， ，证明
，进而依据“ ”判定 和 全等得 ，继而得 ，由
此得当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得 ，据此即
可得出 的最小值．
【详解】解：如图：过点B作 ，且使 ，连接 ，在 中， ， ， ，
∴ ，
，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
当 为最小时， 为最小，
根据“两点之间线段最短”得： ，
当点F，E，A共线时， 为最小，最小值是 ， 的最小值是
故选：B．
9．如图， 中， ， ， ， ，若点M、N分别在边 上，
当四边形 的周长最小时， 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】作点P关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 交 于M，交 于 ，此
时四边形 的周长最小，过点P作 于H，由勾股定理求出 ， ，得出
，再求出 ，过点 作 于K，在 中， ，
，则 ， ，在 中，由勾股定理得 ，即可得出
结果．
【详解】解：如图，作点P关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 交 于M，交
于 ，此时四边形 的周长最小，
过点P作 于H，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
过点 作 于K，
在 中， ， ，
∴ ， ，
在 中， ， ，∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含 角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解
题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题．
10．如图，在 中， ， ， ，E为 上一点，且 ， 平分
交 于D．若P是 上的动点，则 的最小值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称 最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．作
点E关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，由对称可得 ，所以
，且当 、 、 依次共线时 的值最小，最小值为 ，作
于H，利用等面积法和勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图，作点E关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，
由对称可得 ，
∴ ，且当 、 、 依次共线时 的值最小，最小值为 ，作
于H．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11．如图，四边形 中， ， ， ， ，点 是 边上一动点，则
周长的最小值为 ．
【答案】18
【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 证明 ，再计算 周长即可．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接
， ，
，
，
，
垂直平分线段 ，
，
，
的最小值为 ，
的周长最小值为 ．
12．如图，在直角 中， ， ， 为 的中点， 为 上的一个动点，连接
， ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点P关于 的对
称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，证明当 、C三点共线时， 的值最小，
最小值为 的长，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，作点P关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，
则 ，
即当 、C三点共线时， 的值最小，最小值为 的长．
∵ 中， ，
，
∴ ，
又∵P为 的中点，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案为：
13．如图，在 中， ， ， ，点D、E分别是 边上的动点，且
，则 的最小值 ．
【答案】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作 ，使 ，且点F与点E在直线 的异侧，连接 ，由 ， ， ，
求得 ， ，而 ，则 ，推导出 ，可证
明 ，得 ，由 ，得 ，所以 的最小值为 ，于
是得到问题的答案．
【详解】解：作 ，使 ，且点F与点E在直线 的异侧，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
14．如图，在 中， 点P为边 上一动点，过点P分别作 于
点D， 于点E，点F为 中点，连接 ，则线段 最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识点，根据
勾股定理是逆定理求出 ，根据三角形的面积公式求出 边上的高，根据直角三角形斜边上的
中线的性质得到 ，根据垂线段最短解答即可，根据勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式求
出 边上的高是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 边上的高为： ，
∵ ，点F为 中点，
∴ ，
当 最小时， 最小，
∵当 时， 最小，最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
15．在四边形 中， ， ， ， ，在 、 上分别
找一点 、 ，使得 的周长最小，求 周长的最小值为
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作点 关于 的对称点 ，
关于 的对称点 ，连接 ，与 、 分别交于点 、 ，由轴对称的性质可得， ，
，表示出 的周长，由两点之间线段最短，此时 的周长最小，为 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，则 为等腰三角形，结合勾股定理可得 ，求出
，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ，与 、 分别交于
点 、 ，则此时 的周长最小，
，
由轴对称的性质可得， ， ，
∴ 的周长 ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 的周长最小，为 ，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长最小值为 ，
故答案为： ．
16．在 中， ， ， ．过点C作 ，使 ，连接 ．点
P，Q分别是边 和 上的动点，始终保持 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点 作 ，
且 ，连接 ， ，根据 得到 ，即可得到 ，然后得到当M、
P、C三点共线时， 最小为 ，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】解：过点 作 ，且 ，连接 ， ，
则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即当M、P、C三点共线时， 最小为 ，
这时 ，
∴ ，
故答案为： ．
17．如图，在 中, ，点D是 的中点，点P、Q分别为 、 上的动点，则
的最小值 ．【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、垂线段最短及三角形面积公式的应用，解题的关
键是利用轴对称将 转化为 ，将 的最小值转化为点 到 的垂线段长度．
由 、 是 中点可知 是 的对称轴，点 关于 的对称点为 ，故 ；根据垂
线段最短，当 、 、 共线且 时， 最小（即最小值为 ；利用 的面积，分别
以 、 为底计算，结合勾股定理求出的 ，可解得 ．
【详解】解：∵ ，点 是 的中点，
∴ 是 的对称轴，点 关于 的对称点为点 ，
∴ ，
∴ ．
根据垂线段最短，当 、 、 三点共线且 时， 取最小值，即最小值为 的长．
在 中， ， ，
由勾股定理得： ．
∵ ，
∴ ，解得： ．
故答案为： ．
18．如图，在 中， ， ， 是边 上一点， ， ， 是 上一
动点，求 的最小值．【答案】10
【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称
解决最值问题．
作点B关于 的对称点D，连接 ．证明 ，推出 ，由 是等腰直
角三角形，得到 ，由轴对称可得 ，从而得到 是直角三角形，利用
勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图，作点B关于 的对称点D，连接 ， ．
，
，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴由轴对称可得 ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
，
，
的最小值为 ．
考点03 构造几何图形求最值
19．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助
数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．(1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且 ，求 的最小值．通过分析，小明想
到了利用下面的构造解决此问题：如图， ， ， ， ， ，点E是线段
上的动点，且不与端点重合，连接 ， ，设 ， ．
①用含m的代数式表示 ________，用含n的代数式表示 ________；
②据此写出 的最小值是____________；
(2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式 的最小值；
【答案】(1)① ， ；②5
(2)
【分析】本题考查了轴对称 最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法．
（1）①利用勾股定理可得 和 的长；
②利用三角形三边的关系得到 （当且仅当C、E、D共线时取等号），作 交 的延
长线于H，易得四边形 为长方形，利用勾股定理计算出 ，从而得到结论；
（2）利用（1）中的方法画出图形，设 ， ， ， ，则 ，利用勾股定
理得到， ， ；根据三角形三边的关系得到而
（当且仅当C、E、D共线时取等号），作 交 的延长线于H，易得四边形
为长方形，利用勾股定理计算出 即可得到代数式 的最小值．
【详解】（1）解：①在 中， ，
在 中， ，
故答案为： ， ；
②连接 ，
由①得 ，
而 （当且仅当C、E、D共线时取等号），
作 交 的延长线于H，如图1，
∵ ， ，
则四边形 为长方形，∴ ， ，
在 中， ，
∴ 的最小值为5，
即 的最小值是5；
故答案为：5；
（2）解：如图，
设 ， ， ， ，则 ，
在 中， ，
在 中， ；
∴ ，
而 （当且仅当C、E、D共线时取等号），
作 交 的延长线于H，则四边形 为长方形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
20．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万
事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和
形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探
索与分析
【提出问题】已知 ，求 的最小值【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】
(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形 ，P为 边上的动点．设 ，则 ．
① ； ．
② ______ ______的线段和．
(2)在（1）的条件下，已知 ，求 的最小值；
【答案】(1) ， ；② ，
(2)
【分析】本题考查勾股定理及应用，用轴对称求最小距离等知识，解题的关键是掌握轴对称问题的解决方
法．
（1）①根据勾股定理可得答案；
②根据图形可得答案；
（2）作 关于直线 的对称点 ，连接 ，连接 交 于 ，可得， ，根据两点之间线
段最短可知，当 与 重合时， 最短，再用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：①∵边长为 的正方形 ，设 ，则 ，
由勾股定理可得， ， ，
故答案为： ， ；
② ， ，
，
故答案为： ， ；
（2）作 关于直线 的对称点 ，连接 ，连接 交 于 ，如图：由 ， 关于直线 对称可得， ，
，
根据两点之间线段最短可知，当 与 重合时， 最短，
，
，
，
当 时， 的最小值为 .
21．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式 的最小值．
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜
边， 是直角边分别是 和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 和
，并使直角边 和 在同一直线上（图1），向右平移直角 使点B和E重合（图2），这
时 ， 问题就变成“点B在线段 的何处时， 最短？ ”
根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
(1)代数式 的最小值为 ；
(2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；【答案】(1)13
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题．
（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，设 ， ，点A在 的上方，且 ，点D在 的下
方，且 ，对于 任意一点B，过点D作 ，交 延长线于点G，连接 ，则
，
∴代数式 表示 ，
∵ 的最小值为 的长，
即代数式 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的最小值为13；
故答案为：13
（2）解：设 ， ，点A在 的上方，且 ，点D在 的下方，且
，对于 任意一点B，过点D作 ，交 延长线于点H，连接 ，则
， ，
∴代数式 表示 ，
∵ 的最小值为 的长，
∴代数式 的最小值为 的长，
∵ ，即代数式 的最小值为 ．
22．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析．
【提出问题】已知 ，求 的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形 ，P为 边上的动点，设 则
，则 _________ _________；
（2）在（1）的条件下，已知 ，请结合图形求 的最小值；
【应用拓展】（3）直接写出 的最小值为_________．
【答案】（1）PA ， PD；（2） （3）7
【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题：
（1）利用勾股定理，即可得出结果；
（2）作点D关于 的对称点 ，连结 ，与 交于点P，则 ，此时 的值最小，
且 ，即 的最小值为 的长，
利用勾股定理求出的长即可；
（3）构造一个长方形 ，使两边长 ， ，点P为 边上一动点，设 ，则
，作点D关于 的对称点 ，连结 ，与 交于点P，则 ，此时
的值最小，且 ，即 的最小值为 的长，利用（1）的方法进行求解即
可．
【详解】解：（1）根据题意得： ；
故答案为： ； ；
（2）作点D关于 的对称点 ，连结 ，与 交于点P，则 ，此时 的值最小，且 ，
即 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ；
（3）如图，构造一个长方形 ，使两边长 ， ，点P为 边上一动点，设 ，则
，作点D关于 的对称点 ，连结 ，与 交于点P，则 ，
此时 的值最小，且 ，
即 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ 的最小值为7，
∴ 的最小值为7．
23．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助
数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的．(1)【经历体验】已知 ， 均为正实数、且 ，求 的最小值．
通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图， ， ， ， ，
，点 是线段 上的动点，且不与端点重合，连接 ， ，设 ， ．
①用含 的代数式表示 ______，用含 的代数式表示 ______；
②据此写出 的最小值是______；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式 的最小值是______；
(3)【感悟探索】
①已知 ， ， 为正数，且 ，试运用构图法，画出图形，并写出
的最小值；
②若 ， 为正数，试运用构图法，直接写出以 ， ， 为边的三角形的面积是
______．
【答案】(1)① ， ②
(2)
(3)① ②
【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短
解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法.
（1）①利用勾股定理可得 和 的长；
②利用三角形三边的关系得到 (当且仅当 、 、 共线时取等号) ，过点 作 于
点 ，则四边形 是矩形，利用勾股定理计算出 长即可；
（2）利用（1）中的方法画出图形，设 则 利用勾股定理得到
， 根据三角形三边的关系得到而 (当且仅当 、 、
共线时取等号)，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，利用勾股定理计算出 长即可；
（3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为 的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结
论；
②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长 ， 的长方形，利用勾股定理构图解答即可.
【详解】（1）解：① ， ，故答案为： ， ；
②连接 ，
由①可得 ，
∵ (当且仅当 、 、 共线时取等号)，
∴最小值为 长，
过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ，
故答案为： ；
（2）解：根据（1）可得，作 ， ， ， ， ，点 是线段 上的动
点，连接 ， ，设 ， ．
∴ ， ，
∴ ，
连接 ，
∵ (当且仅当 、 、 共线时取等号)，
∴最小值为 长，
过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ，
故答案为： ；（3）①解：画出边长为 的正方形，在边上截取出长为 ， ， 的线段，作图如下：
则 ， ，
，
利用两点之间线段最短可知： (当且仅当 、 、 、 共线时取等号) ，
，
的最小值为 ，
的最小值为 ；
②分别以 ， 为边长作出矩形 ，则 ，取 ， 的中点为 ， 连接 ，
， ， 如图，
则 ， ，
， ，
∴以 为边的三角形的面积 ，
，
∴以 为边的三角形的面积为 ，
故答案为： ．
