文档内容
专题 01 利用勾股定理求几何最值问题的三种考法
考点01 求最短路径问题
考点02 将军饮马求模型最值问题
考点03 构造几何求最值问题
考点01 求最短路径问题
1．如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ） ．
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图是一个长 、宽 、高 的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间
把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去
吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一只蚂蚁从 处出发沿台阶爬行到达 处，已知每级台阶的宽度和高度分别是 和 ，
台阶长度 ，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．4．如图，用一条花带从高 的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱
子的底面周长是 ，则这条花带的长度至少为 ．
5．如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离
厘米，B点到桶口的距离 厘米，圆弧 长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米．
6．如图，教室的墙面 与地面 垂直，点P在墙面上．若 ，点P到 的
距离是 ，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程．
7．如图，长方体的长为10，宽为5，高为24，点B为棱上一点，且 ，如果蚂蚁要沿长方体的表面
从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路程是多少．
考点02 将军饮马模型求最值问题
8．如图，在 中， ， ， ，点D，E分别是 上的动点，且
，连接 ，则 的最小值是（ ）．
A．5 B． C．6 D．9．如图， 中， ， ， ， ，若点M、N分别在边 上，
当四边形 的周长最小时， 的值为（ ）
10．如图，在 中， ， ， ，E为 上一点，且 ， 平分
交 于D．若P是 上的动点，则 的最小值等于 ．
11．如图，四边形 中， ， ， ， ，点 是 边上一动点，则
周长的最小值为 ．
12．如图，在直角 中， ， ， 为 的中点， 为 上的一个动点，连接
， ，则 的最小值为 ．
13．如图，在 中， ， ， ，点D、E分别是 边上的动点，且
，则 的最小值 ．14．如图，在 中， 点P为边 上一动点，过点P分别作 于
点D， 于点E，点F为 中点，连接 ，则线段 最小值为 ．
15．在四边形 中， ， ， ， ，在 、 上分别
找一点 、 ，使得 的周长最小，求 周长的最小值为
16．在 中， ， ， ．过点C作 ，使 ，连接 ．点
P，Q分别是边 和 上的动点，始终保持 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
17．如图，在 中, ，点D是 的中点，点P、Q分别为 、 上的动点，则
的最小值 ．
18．如图，在 中， ， ， 是边 上一点， ， ， 是 上一
动点，求 的最小值．考点03 构造几何图形求最值
19．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助
数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且 ，求 的最小值．通过分析，小明想
到了利用下面的构造解决此问题：如图， ， ， ， ， ，点E是线段
上的动点，且不与端点重合，连接 ， ，设 ， ．
①用含m的代数式表示 ________，用含n的代数式表示 ________；
②据此写出 的最小值是____________；
(2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式 的最小值；
20．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万
事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和
形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探
索与分析
【提出问题】已知 ，求 的最小值
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形 ，P为 边上的动点．设 ，则 ．
① ； ．② ______ ______的线段和．
(2)在（1）的条件下，已知 ，求 的最小值；
21．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式 的最小值．
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜
边， 是直角边分别是 和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 和
，并使直角边 和 在同一直线上（图1），向右平移直角 使点B和E重合（图2），这
时 ， 问题就变成“点B在线段 的何处时， 最短？ ”
根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
(1)代数式 的最小值为 ；
(2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；
22．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析．
【提出问题】已知 ，求 的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形 ，P为 边上的动点，设 则
，则 _________ _________；（2）在（1）的条件下，已知 ，请结合图形求 的最小值；
【应用拓展】（3）直接写出 的最小值为_________．
23．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助
数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知 ， 均为正实数、且 ，求 的最小值．
通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图， ， ， ， ，
，点 是线段 上的动点，且不与端点重合，连接 ， ，设 ， ．
①用含 的代数式表示 ______，用含 的代数式表示 ______；
②据此写出 的最小值是______；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式 的最小值是______；
(3)【感悟探索】
①已知 ， ， 为正数，且 ，试运用构图法，画出图形，并写出
的最小值；
②若 ， 为正数，试运用构图法，直接写出以 ， ， 为边的三角形的面积是
______．
