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专题02 特殊平行四边形（难点）
一、单选题
1．如图， 、 、 、 分别是四边形 四条边的中点，顺次连接 、 、 、 得四边形 ，
连接 、 ，下列命题不正确的是（ ）
A．当四边形 是矩形时，四边形 是菱形
B．当四边形 是菱形时，四边形 是矩形
C．当四边形 满足 时，四边形 是菱形
D．当四边形 满足 ， 时，四边形 是矩形
【答案】C
【分析】先证四边形EFGH是平行四边形；再根据选项条件结合矩形、菱形的判定定理进行判断即可．
【解析】解： ， 分别是 ， 的中点，
， ，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
， 分别是 ， 的中点， 、 分别是 、 中点，
， ，
当四边形 是矩形时， ，
，
四边形 是菱形，故A正确，不符合题意；
当四边形 是菱形时， ，
， ，
，
1四边形 是菱形，故B正确，不符合题意；
当四边形 满足 时，不能证明四边形 是菱形，故C错误，符合题意；
当四边形 满足 ， 时，
∵ ， ，
∴AC是BD的垂直平分线，即
∵ ，
∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°
∴四边形 是矩形，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，灵活利用矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键
2．如图，E、F、H分别为正方形 的边 、 、 上的点，连接 ， ，且 ，
平分 交 于点G．若 ，则 的度数为（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
【答案】D
【分析】过点 作 ，由正方形的性质 ， ， ，四边形
为矩形，利用HL易证得 ，可得 ，进而可得 ，
由角平分线可得的 度数，即可求得得 度数．
【解析】解：过点 作 ，
2∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，则四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ （HL），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线，构造全等三角形，利用其性质转
化角度是解决问题的关键．
3．如图： 是边长为1的正方形 的对角线 上一点，且 ， 为 上任意一点，
于点 ， 于点 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，过 作 ，利用面积法求解， 的值等于 点到 的距离，即正方形
对角线的一半．
【解析】解：连接 ，过 作 ，如图所示：
3，
，
，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
， ，
为 中点，
，
即 值是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方
形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键．
4．如下图，在菱形 中， ， ，过菱形 的对称中心 分别作边 ， 的垂
线，交各边于点 ， ， ， ，则四边形 的周长为（ ）
4A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明 是等边三角形，求出EF，同理可证 都是等边三角形，然后求
出EH，GF，FG即可．
【解析】解：如图，连接BD，AC，
∵四边形ABCD是菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
同法可证， 都是等边三角形，
5∴ ， ，
∴四边形EFGH的周长为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BF⊥AC交CD于点F，DE⊥AC交AB于点E，垂
足分别为M、N，连接EM、FN．则下列四个结论：① ；②EM//FN；③ ；④当
时，四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据矩形的性质得到AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//
BC，根据平行线的性质得到DE⊥AC，根据垂直的定义得到∠DNA=∠BMC=90°，由全等三角形的性质得到
DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证 ADE≌△CBF（ASA），得出AE=FC，DE=BF，故③正确；证四边
形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，△故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，
则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在 DNA和 BMC中，
△ △
，
6∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；
在 ADE和 CBF中，
△ △
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=FC，DE=BF，故③正确；
∴DE-DN=BF BM，即NE=MF，
∵DE//BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM//FN，故②正确；
∵AB=CD，AE=CF，
∴BE=DF，
∵BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=∠ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等
边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等
是解题的关键．
6．如图，菱形ABCD中， ，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且 ，连接
7BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
① ；② ；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④ ，其中
正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG= AB，①正
确；
③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此
OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；
②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则
S BDF=S ABF=2S BOF=2S DOF=S ODGF，则S ODGF=S ABF，②错误；即可得出结论．
四边形 四边形
△ △ △ △ △
④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到 ，则S ACD＝
△
4S AOG，再由S AOG＝S BOG，得到S ACD＝4S BOG，故④正确；
△ △ △ △ △
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在 ABG和 DEG中，
△ △
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
8∴OG是 ABD的中位线，
△
∴OG＝ AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、 BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝△AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵连接CG，
∵O、G分别是AC，AD的中点，
∴ ，
∴S ACD＝4S AOG，
△ △
∵ ，
∴S AOG＝S BOG，
△ △
∴S ACD＝4S BOG，故④正确；
△ △
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到 ABD三边的距离相等，
∴S BD△F＝S ABF＝2S BOF＝2S DOF＝S ODGF，
四边形
△ △ △ △
∴S ODGF＝S ABF，故②错误；
四边形
△
正确的是①③④，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中
位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
97．如图，在正方形 中， 、 是射线 上的动点，且 ，射线 、 分别交 、
延长线于 、 ，连接 ，在下列结论中：① ；② ；③ ；
④若 ，则 ，
⑤ ，其中正确的结论有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】由“ ”可证 ，可得 ，故 正确；
如图 ，在 上截取 连接 ，由“ ”可证 ，可得 ，
由“ ”可证 ，可得 ，
，故 正确；
如图2，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，由旋转的性质可得 ，
， ，由“ ”可证 ，可得 ，由勾股定理可得
，故 正确；
如图1，设 ，则 ，利用勾股定理可求 ,故 错误；
由三角形的面积公式可求 ，故 正确；
【解析】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
故 正确；
10如图1，在 上截取 ，连接 ，
， , ，
，
, ，
，
，
，
又 ， ，
，
， ，
故 正确；
如图2，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
11， ， ，
，
， ，
，
，
又 ， ，
，
，
在 中， ，
，
故 正确；
，
设 ，则 ，
，
如图1，在 上截取 ，连接 ，
由 可得： ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
12故 错误；
如图1， ，
，
，
故 正确；
正确的结论有 ，共 个．
故选：
【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，
添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
8．正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在 处，点B
落在 处， 交BC于G．下列结论错误的是（ ）
A．当 为CD中点时，则 ＝
B．当 时，则 ＝
C．连接 ，则
D．当 （点 不与C、D重合）在CD上移动时， 周长随着 位置变化而变化
【答案】D
【分析】当 为CD中点时，设 则 ，由勾股定理列方程求解，进一步求得
的值，进而可判断A的正误；当 三边之比为3：4：5时，设 ， ，
，由 可求a 的值，进一步求得 的值，进而可判断B的正误；过点E作
EM⊥BC，垂足为M，连接 交EM，EF于点N，Q，证明 ，进而可判断C的正误；
D．过点A作 ，垂足为H，连接 ，AG，先证 ，可得 ， ，
13再证 ，可得 ，由此证得 周长＝16，进而可判断D的正误．
【解析】解：∵ 为CD中点，正方形ABCD的边长为8，
∴ ，
由折叠的性质，设 则 ，
在 中，由勾股定理得 ，即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5，DE＝3，
∴ ，
故A正确；
当 三边之比为3：4：5时，设 ， ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
故B正确；
如图，过点E作EM⊥BC，垂足为M，连接 交EM，EF于点N，Q，
∴ ，
∴ ，
由翻折可知：EF垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
14，
，
∴ ，
故C正确；
过点A作 ，垂足为H，连接 ，AG，则 ，
由折叠的性质可知 ，
∴
∵
∴ ，
∵
∴ ，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
15∴ ，
∴ 周长
∴当 在CD上移动时， 周长不变，
故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关
键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．如图，点 为正方形 的中心， ， 平分 交 于点 ，延长 到点 ，使
，连接 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 则以下四个结论中：①
；② ；③连接 ，则 ；④ ；正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③
【答案】C
【分析】①过点 作 于点 ，求出 ，证明 ，然后可得 ，再根据
16等腰三角形三线合一与中位线定理可得出结论；②由三角形中位线定理知， ，
，然后可得结论；③先证 ，由点 是 的中点，得 ，
，从而得 ，进而即可判断③错误；④根据四边形 是正方形，
是 的平分线可求出 ，进而得到 ，再由 是 中点，可得 ，
求出 即可得出结论．
【解析】解：①过点 作 于点 ，则 ，
∵ ，
是等腰直角三角形，
∴∴ ，
， ,
∵ ，
∴∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
17∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，故①正确；
②∵点 为正方形 的中心， ， ，
∴ ，
是 的中位线， ,
∵
, ,
∴
,
∴
，
∴
，
∴
故②正确；
③如图，
，
∵
，
∴
点 是 的中点，
∵
，
∴
，
∵ ,
，
∴
，
∵
18，故③错误；
∴
④∵四边形 是正方形， 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形
的判定与性质以及正方形的性质等知识，利用正方形的性质结合角平分线的性质逐步解答是解题关键．
10．已知，矩形 中， ， ，点 是线段 上的一个动点，将线段 绕点 逆时
针旋转 得到 ，过 作 于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ．点 在运动
过程中，下列结论：
① ；
②当点 和点 互相重合时， ；
③ ；
④ ．正确的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由四边形 是矩形，线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，可证 ，故①正
确；当点 和点 互相重合时，由 是等腰直角三角形， 是 的中点， ，可得
19，从而 ，故②正确；由等腰直角三角形的三线合一和 得
，从而得到 ，故③错误；分别求出 的最大值、最小值，可得
，故④正确．
【解析】解： 四边形 是矩形，
，
线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
，
，
，
，故①正确；
当点 和点 互相重合时，如图，
线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
是等腰直角三角形，
是 的中点， ，
，
，
，
，故②正确；
20线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
，
是 的中点， ，
，
，故③错误；
当 与 重合时， 最短，如图：
，
此时 与 都在 上，
是等腰直角三角形， 是 的中点，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的最小值为 ，
当 与 重合时， 最大，过 作 于 ，如图：
，
，
，
21， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
解得： （舍去）或 ，
，
，
，
的最大值为 ，
，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与
性质、勾股定理等知识，解题的关键是求出 的最大值、最小值．
二、填空题
11．菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝
FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝ ．
【答案】
【分析】过点E作AB的垂线分别交AB于N、交CD延长线于M，先证明△EMH≌△FNE得EM＝NF，EN
22＝MH，设MD＝x，用勾股定理表示DH＝ ，CH＝AF＝ ，由DH+CH＝4求出x，
算出DH即可．
【解析】解：过点E作AB的垂线分别交AB于N、交CD延长线于M，如图，
则
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠MEH+∠NEF＝90°，
∵∠NEF+∠EFN＝90°，
∴∠MEH＝∠EFN，
在△EMH与△FNE中，
，
∴△EMH≌△FNE（AAS），
∴EM＝NF，EN＝MH，
设MD＝x，
在菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴MD＝ DE，
∴DE＝2x，
EM＝ ，
∴AE＝4﹣2x，AN＝ ＝2﹣x，
23∴EN＝ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵AB＝CD，BF＝DH，
∴AF＝CH＝ ，
∵DH+CH＝4，
∴ ，
解得： ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，30°所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，勾股定
理，作出辅助线MN构造全等三角形是解题的关键．
12．如图，在正方形 中， ， 是对角线 上的一点，连结 ，过点 作 交 于
点 ． 和 的面积分别为 和 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】连接ED，过E作MN⊥BC于N，交AD于M，推出MN=CD=6，DM=CN，证明△CDE≌△CBE，得
到ED=EB，∠EDC=∠EBC，再利用等腰三角形的性质证明ED=EF，DM=MF，说明△NEC是等腰直角三角
形，设NE=NC=x，分别表示出S 和S，根据2S=3S 得到方程，解之即可得到CE．
1 2 1 2
24【解析】解：连接ED，过E作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠DAB=90°，
∴∠1=∠2=45°，
∵MN⊥BC，
∴∠ENC=∠ENB=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=6，DM=CN，∠DME=90°，
在△CDE和△CBE中，
，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，
∵∠CDA=∠CBA=90°，
∴∠CDA-∠EDC=∠CBA-∠EBC，
即∠ADE=∠ABE，
∵EF⊥BE，
∴∠FEB=90°，
∵∠FEB+∠DAB+∠AFE+∠ABE=360°，
∴∠AFE+∠ABE=360°-∠FEB-∠DAB=180°，
∵∠AFE+∠EFD=180°，
∴∠ABE=∠EFD，
∴∠ADE=∠EFD，
∴ED=EF，
∵∠DME=90°，
25∴EM⊥DF，
∴DM=MF，
在△NEC中，∠1=45°，
∴△NEC是等腰直角三角形，
设NE=NC=x，
则CE= x，DM=MF=CN=x，
∴AF=AD-DM-MF=6-2x，
ME=MN-EN=6-x，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∴CE= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
解一元二次方程，知识点较多，有一定难度，解题的关键是利用特殊图形的性质得到线段之间的关系．
13．已知：边长为 的菱形 ，过点O作两条夹角为 的射线，分别交边 ，边
于点M，N，连结 ，则下列命题：①S OMFN ，② 的长度为定值，③ 的形状为
四边形
等边三角形， 的最小值为3．其中正确的有 （填序号）
26【答案】①③
【分析】连接 ，由菱形的性质得出 ， ， ， ，得出
是等边三角形，得出 ， ，证明 得出 ，证出 是
等边三角形，得出②不正确， 的面积 的面积，得出 的面积 ，①正
确，当 时， 最小，等边 的面积最小 ，求出 的面积 ，得出 ，
③正确；即可得出结论．
【解析】解：连接 ，如图所示：
四边形 是菱形，
， ， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是等边三角形，②不正确， 的面积 的面积，
27的面积 ，①正确，
当 时， 最小，等边 的面积最小 ，
的面积 ，
，③正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的面
积计算等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．如图，正方形 中，在 的延长线上取点E，F，使 ， ，连接 分别交 ，
于H，G．下列结论：①图中有8个等腰三角形；② ；③ ；④ ．其
中正确的有 （填序号）．
【答案】③④
【分析】①根据正方形的性质及等腰三角形的判定，可得出图中共有9个等腰三角形；②根据正方形的性
质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD=CE，BD∥CE，无法证出G为CE的中点；③由SAS可
证明 GHC≌△DGE；④由上述推理可得， DBG∽△GDE，再根据三角形的面积等于相似比的平方可得结论．
【解△析】解：如图，在正方形 中，△
， ，
28和 是等腰三角形；
， ，
和 是等腰三角形；
， ，
，
，
和 是等腰三角形；
， ，
是等腰三角形，且 ， ，
， ，
和 是等腰三角形，
综上，图中共有9个等腰三角形；故①不正确；
正方形 ， ，
， ， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
要使 ，只要 为 的中点即可，
且 ， ，
，
即 和 不全等，
点 不是 中点，②错误
由①分析可知，
在 和 中，
，
；故③正确；
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，交AF于N，
设NG=x，则MG=1-x，
∵△CDE为等腰三角形，
29∴∠DCE=∠DEC=45°，
可得△CGM为等腰直角三角形，
∴CM=1-x，
∴CG= ，
设正方形ABCD的边长为1，
则BC=DE=1，BD=DF=CE= ，
∵△BCG为等腰三角形，
∴ ，
解得： ，
∴ ，故④正确；
综上，③④正确．
故答案为：③④．
【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的
性质与判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
15．如图，在 中， ，将 沿对角线 折叠得到 ， 与 交于点F，
恰出如下结论：①当 时，则 ；②当F恰好为 的中点时，则 的面积为 ；③
当 时，连接 ，四边形 是菱形，其中正确的结论为 ．（只填序号）
30【答案】②
【分析】①设AF=CF=x，构建方程求出x即可判断；②证明∠BAC=90°，利用勾股定理求出AC，求出平行
四边形ABCD的面积即可判断；③当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，不符合题意．
【解析】解：①如图1中，
∵∠B=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠DAC=∠CAE，
∴∠ACF=∠CAF，
∴AF=CF，设AF=CF=x，
在Rt△ABF中，则有x2=62+（8-x）2，
解得x= ，
∴EF=8- = ，故错误；
如图2中，
31当BF=CF时，
∵AF=CF=BF，
∴∠BAC=90°，
∴AC= ，
∴S ABCD=AB•AC=6× = ，故正确；
平行四边形
如图3中，
当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，故错误．
故答案为：②．
【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，四边形 是边长为 的正方形，M为对角线 （不含B点）上任意一点．
（1） 的最小值是 ．
（2） 的最小值是 ．
32【答案】 2 +1
【分析】（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，根据正方形的边长求出AC即可；
（2）以AB为边作等边△ABE，连接CE，根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，
求出EF和BF，再利用勾股定理求出CE的长即可．
【解析】解：（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，
∵AB=BC=CD=DA= ，
∴AC =2；
（2）如图，以AB为边作等边△ABE，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最
小．
理由如下：在EC上截取EN=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
又∵BM=BM，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=BC，∠ABE=60°，
33∴∠BEC=∠BCE=15°，
又∵BE=BC，EN=CM，
∴△BEN≌△BCM（SAS），
∴BM=BN，∠EBN=∠CBM=45°，
∴∠ABN=15°，
∴∠MBN=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，
∴当点M在BD上使∠BCM=15°时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
∵正方形ABCD的边长为 ，
如图，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF= BE= ，
∴BF= = ，
∴EC= = = +1，
故答案为：2， +1．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定
34与性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键确定点M的位置．
17．如图，矩形 中， ，点H在边 上， ，E为边 上一个动点，连 ．以
为一边在 的右上方作菱形 ，使点G落在边 上，连结 ．
（1）当菱形 为正方形时， 的长为 ；
（2）在点E的运动过程中， 的面积S的取值范围为 ．
【答案】 1
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=90°，HG=HE，
易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=1；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有
∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从
而有FM=HA=1，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【解析】解：（1）如图1，当菱形 为正方形时， ， ，
四边形 为矩形，
，
，
，
在 和 中，
，
35，
；
故答案为：1；
（2）如图2，过 作 ，交 延长线于 ，连接 ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，即无论菱形 如何变化，点 到直线 的距离始终为定值1，
因此 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
，
的最小值为 ，此时 ， 的最大值为 ，此时 ，
36在点 的运动过程中， 的面积 的取值范围为： ；
故答案为： ；
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．如图，菱形 中， ，点E在对角线 上，且 ，点F在 延长线上，连
接 ，作 ．交 延长线于点G， ，则 ，延长 ， 交于点H，则
的长是 ．
【答案】
【分析】先根据题意求得 ，如图，过点 作 ，则可的 是等边三角形，由
可得 , , 则 ， ,进而根据
AAS可证明 ，进而可得 的长，过点 作 于点 ，过 作 于 ，根
据勾股定理可得 的长，设 ，进而求得 的长由 ，可得 是等边三角形，
进而求得 ,根据 的面积等于 ，据此列出方程，解方程即可求得 ,进而
求得 ．
【解析】如图，过点 作 ，
37四边形 是菱形，
， 是等边三角形
是等边三角形
，
,
即
在 和 中
（AAS）
,
38是等边三角形，
过点 作 于点 ，过 作 于 ，如图，
在 中，
在 中，
在 中，设 ,
是等边三角形，
的面积等于
39整理得
因式分解得：
解得 或 （舍）
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，添加辅助线
是解题的关键．
三、解答题
19．如图，已知四边形 是正方形， ，点E为对角线 上一动点，连接 ．过点E作
，交射线 点F，以 为邻边作矩形 ．连接 ．
(1)连接 ，求证： ．
(2)求证：矩形 是正方形．
(3)探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 的值是定值，定值为4．
【分析】（1）根据正方形的性质以及边角边的关系证明 即可得到结论；
（2）作出辅助线，得到 ，然后判断 ，得到 ，则有
40即可证明矩形 是正方形；
（3）同（法判断出 得到 ，即可求解．
【解析】（1）证明：∵点E是正方形 对角线上的点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，作 ，
∴ ，
∵点E是正方形 对角线上的点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
∴矩形 是正方形；
（3）解： 的值是定值，定值为4．
41理由：∵四边形 、 都是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解
本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
20．如图，在矩形 中， 平分 交 于E，连接 ， ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，若点F是 边上的一点，若 ，连结 交 于G，
①猜想 的度数，并说明理由；
②若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)① ，理由见解析；②
【分析】（1）由矩形的性质得 ， ， ，由角平分线的性质
得出 ，则 是等腰直角三角形，得出 ，推出 ，由勾
股定理得出 ；
（2）①连接 ，由（1）得 ， ，由 证得 ，得出 ，
42，证明 是等腰直角三角形，即可得出结论；
②根据矩形的性质得到 ，求得 ，过D作 于M，根据余角的性
质得到 ，得到 ，过A作 于N，根据等腰三角形的性质得到
，根据全等三角形的性质得到 ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）① ，
理由：连接EF，如图所示：
由（1）得： ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
43②∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
过D作 于M，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由①知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过A作 于N，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
44∴ ，
由①知， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与
性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴，点 在 轴正半轴，且 ， ．
(1)求点 和点 的坐标；
(2)点 从点 出发以2个单位/秒的速度向 轴负方向运动，同时点 从点 出发以2个单位/秒的速度向
轴正方向运动，一个点停止运动另外一个点也随之停止运动．连接 交直线 于点 ，连接 ，设
、 两点运动时间为 ， 的面积为 ，请用含 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当 在线段 上运动时，过 作 ，过 作 轴的平行线交 于点 ，延
长 至 ，使 ，连接 ，若 时，求此时 的值并求出 的长度．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ，
45【分析】（1）由勾股定理求出 ，即可求出点 和点 的坐标；
（2）过C作 交 于 ，可得 ，即可证明 ，得到 ，
即可利用 计算即可，注意分类讨论．
（3）过M作 于 ，过F作 于 ，再证明四边形 是正方形即可得到
，得到 ， ，即可得到 ，
最后根据 求出 的值，再用勾股定理求出 的长度．
【解析】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵点 在 轴的正半轴，点 在 轴正半轴，
∴ ，
（2）由题意得 ，
∵ ，
∴ ，
过C作 交 于 ，则 ，
∴
当 在线段 上运动时， ， ，
∵
46∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理当 在 下方时， ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，
（3）过E作 于 ， 于 ，过M作 于 ，过F作 于 ，连 、 、
、 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
47∵ ， ，
∴四边形 是菱形
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
48此时 ， ，
∴ ．
【点睛】本题综合考查全等与直角坐标系的综合，还考查正方形的性质与判定，准确的做出辅助线构造全
等是解题的关键．
22．已知，矩形 ，点 在 上，点 在 上，点 在射线 上，点 在 上．
(1)如图 ，当矩形 为正方形时，且 ，求证： ；
(2)在（1）的条件下，将 沿 向右平移至点 与点 重合，如图 ，连接 ，取 的中点 ，连接
，试判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)如图 ，点 在 上，连接 ， 交 于 ， ，若 ， ， ，求
线段 的长
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点 作 于 ，证 ，得 ，即可得出结论；
（2）过点 作 ，交 于点 ，证 ，得 ，再证 是等腰
直角三角形，得 ，即可解决问题；
（3）过点 作 交 于 ，作 交 于 ，证四边形 和四边形 都是平行
四边形，得 ， ，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，得四边
形 是正方形，则 ，延长 到 ，使 ， 交 于 ，连接 ，然后证
49，得 ， ，进而证 ，得 ，设 ，
， ，利用勾股定理得 ，即 ，解得
，则 ，由勾股定理得 ，最后由三角形中位线定理的 ，即可得出结论．
【解析】（1）证明：过点 作 于 ，如图1所示：
则 ，
四边形 是正方形，
， ， ，
， ，四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
；
（2）解： 与 的数量关系为： ，理由如下：
过点 作 ，交 于点 ，如图2所示：
50是 的中点，
是 的中位线，
， ，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，
即 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：过点 作 交 于 ，作 交 于 ，如图3所示：
51四边形 是矩形，
， ， ， ，
四边形 和四边形 都是平行四边形，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ，
，
四边形 是正方形，
，
延长 到 ，使 ， 交 于 ，连接 ，
， ，
，
， ，
， ， ，
，
，
，
即 ，
，
又 ， ，
，
，
设 ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
，
52在 中，由勾股定理得： ，
，
，
是 的中点，
是 的中位线，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与
性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，
本题综合性强，难度较大，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题．
23．如图①，四边形 是正方形， ， 分别在边 、 上，且 ，我们称之为“半
角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将 绕点 顺时针旋转
，点 与点 重合，连接 、 、 ．
(1)试判断 ， ， 之间的数量关系；
(2)如图②，点 、 分别在正方形 的边 、 的延长线上， ，连接 ，请写出
、 、 之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)如图③，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ，
上， ，请直接写出 ， ， 之间数量关系．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）首先利用 证明 ，得 ，从而得出答案；
53（2）在 上取 ,连接 ，首先由 ，得 ， ，再
利用 证明 ，得 ，即可证明结论；
（3）将 绕点 逆时针旋转 得 ，由旋转的性质得点 、 、 共线，由（1）同理可得
，得 ，从而解决问题．
【解析】（1）解： ，
证明如下：
如图：
四边形 是正方形，
，
，
由旋转的性质可得： ， ， ， ，
，
点 、 、 共线，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
54；
（2）解： ，
证明如下：
如图，在 上取 ，连接 ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
55；
（3）解：如图，将 绕点 逆时针旋转 得 ，
， ， ，
，
，
点 、 、 共线，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用
旋转构造全等三角形是解题的关键．
24．综合与实践
如图①，四边形 是正方形， 是边 上一点， ，且 交正方形外角平分线 于点 ，
求证 （不需要证明），对于本题，我们常用的思路是在 上截取 ，如图⑦构造全等三
角形进行证明．
56小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路：
思路一：如图②，在 的延长线上截取 ，使 连接 ， 利用全等三角形和特殊四边形，
转化得到线段之间的数量关系，获证．
思路二：如图③，连接 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，利用全等三
角形，获证．
思路三：如图④，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，利用全等三角形，获证．
【进一步探究】小明继续对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答．
四边形 是正方形， 是直线 上一点， 交正方形外角平分线 于点 ．
(1)如图⑥，若点 在边 上， ，则 的度数为______；
(2)如图⑤，若点 在边 的延长线上， ，线段 与线段 存在怎样的数量关系？并加以证
明；
(3)如图⑧，四边形 是正方形， 是边 上一点， ，且 交正方形外角平分线 于点
，过 作 垂直 交 的延长线与 ， ， ，则 的长为_______．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析．
(3)
【分析】（1）连接 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，在线段 的延
57长线上任取一点 ，先证得四边形 为正方形，进而可证明 ，即可求得答案．
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，可证得 ， ，进而可证得
．
（3）在线段 上取一点 ，使 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交
的延长线于点 ，可证得 ，进而证得 ，根据
，即可求得答案．
【解析】（1）如图所示，连接 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，在
线段 的延长线上任取一点 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
又 ，
∴四边形 为矩形．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 为正方形．
∴ ．
在 和 中
∴ ．
58∴ ．
又 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
（2） ，理由如下：
如图所示，延长 至点 ，使 ，连接 ．
根据题意可知 ，
∴ ．
又 ， ， ，
∴ ．
∵ ， ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
（3）如图所示，在线段 上取一点 ，使 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ．
根据题意可知 ， ．
59∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中
60∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查正方形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理，能根据题意构建辅助
线是解题的关键．
25．综合与实践
问题情境：
在矩形 中，对角线 、 交于点O， 交 于点E，连接 ，F是 的中点．
探究发现：
(1)如图1，直接写出 和 的数量关系：______；
(2)探究拓展：勤奋小组的同学们在射线 上任取一点P，将射线 绕点O逆时针旋转得射线 ，使
，与射线 交与点Q．在如图2中，猜想并证明线段 与线段 之间的数量关系．
(3)探究拓广：在（2）的条件下，若 ， ，当 时，直接写出 的长度．
61【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3) 或
【分析】（1）根据矩形的性质得 ，可得 ，由直角三角形斜边中线的性质得出 ，
即： ，再根据三角形的中位线定理得出 ， ，进而得出 ，即可
得出结论；
（2）只要证明 ，即可解决问题．
（3）分两种情形：如图2中，当点 在 的延长线上时，如图3中，当点 在线段 上时，作
于 ．分别求解即可解决问题．
【解析】（1）解： ，
证明：如图1中，连接 ．
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
，
， 是 的中点，
62，
， 是 的中点，
， ，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2） ，
证明：如图2中，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
63（3）如图2中，当点 在 的延长线上时，
， ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
是 的中点，
，
；
如图3中，当点 在线段 上时，作 于 ．
， ，
，
64，
，
，
，
，
综上所述， 的长度为 或 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，全
等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考
问题，属于中考压轴题．
26．如图，在菱形 中， ， ．点 在边 上由 向 运动，点 在边 上由
向 运动，速度均为 ，连接 、 ，以 ， 为邻边构造 ，连接 过点 作
，交折线 于点 ，分别交 、 于点 、 ．
(1)求证： 为菱形．
(2)连接 ， ，求 周长的最小值，并说明理由．
(3)当点 在线段 上时，若某时刻满足 ，
①证明： 为 中点．
②请直接写出此时 点的运动时间．
【答案】(1)证明见解析
65(2) ，理由见解析
(3)①证明见解析；②
【分析】（1）连接 ，证明 ，得到 ，即可证明平行四边形 为菱形；
（2）连接 ， ，证明 ， ，可得 的周长
，求出 的长即为所求；
（3）①证明 ，可得 ，则 是 的中点；②连接 交 于点 ，证明
，可得 ， ，设 ， ，所以 ，再由
，得出 ，即可得到 ．
【解析】（1）证明：连接 ，如图1所示：
四边形 是菱形，
，
，
，
、 点的运动速度相同，
，
66，
，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形；
（2）解：连接 ， ，如图2所示：
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
67，
，
的周长 ，
， ，
，
的周长的最小值为 ；
（3）①证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的中点；
②解：连接 交 于点 ，如图所示：
， ，
为等边三角形，
68，
，
，
，
，
， ，
设 ， ，
，
，即 ，解得
，
，
，解得
点的运动时间 ．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握菱形的判定及性质，平行线的性质，三角形全等的判定及
性质，等边三角形的性质是解题的关键．
27．如图1，正方形 的边长为1， 为边 上一点（不与点 、 重合），垂直于 的一条直线
分别交 、 、 于点 、 、 ．
(1)①求证： ；
②连接 、 、 ，直接写出四边形 的面积S的取值范围．
(2)如图2，若垂足 为 的中点，连接 ，交 于点 ，连接 ，求 的度数．
69(3)如图3，当垂足 在正方形 的对角线 上时，作 ，垂足为 ，点 在边 上运动过
程中， 的长度是否变化？若不变，求出 的长；若变化，说明变化规律．
【答案】(1)①见解析；②四边形 的面积S的取值范围为
(2)
(3)不变，
【分析】（1）①过点B作 于点F．由正方形的性质结合所作辅助线可得出四边形MBFN为平行
四边形，即得出MN=BF， ，从而得出 ，进而可证明 ．即可利
用“ASA”证明 ，得出AE=BF，从而证明AE=MN；②由 ，可得出 ，再根
据 ，即得出 ，从而得出 ；
（2）连接AF，过点F作 ，分别交AD，BC于点H，I．由所作辅助线即可得出
， ．由BD是正方形ABCD的对角线，可得出 ，即证明
是等腰直角三角形，得出HD=HF，AH=FI．再根据线段垂直平分线的判定和性质得出AF=FE．即可
利用“HL”证明 ，得出 ，从而可求出 ，即可求出
；
（3）过点P作 于点Q， 于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作
，交BD于点K．由所作辅助线结合题意易求出 ，即可利用“ASA”证明
，得出 ，从而得出 ，进而可证明 ，即可利用
“SAS”证明 ，得出 ，即说明F，B，C三点共线．由平行线的性质和等
腰三角形的性质可证明出DH=HK．又可证明 (ASA)，得出BP=PK，从而得出
．
【解析】（1）①证明：由正方形的性质可知 ， ， ．
如图，过点B作 于点F．
70∴四边形MBFN为平行四边形，
∴MN=BF， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴在 和 中 ，
∴ (ASA)，
∴AE=BF，
∴AE=MN；
②∵ ，
∴ ，
∵E为边BC上一点（不与点 、 重合），
∴ ．
∵正方形 的边长为1，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接AF，过点F作 ，分别交AD，BC于点H，I，
71∵四边形ABCD是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形ABIH为矩形，
∴ ， ．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴HD=HF，AH=FI．
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AF=FE．
∴在Rt 和Rt 中 ，
∴ (HL)，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
（3）PH的长度不变，理由如下：
过点P作 于点Q， 于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作
，交BD于点K，
72∵四边形ABCD是正方形，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ (ASA)，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵PF=PN， ，
∴AF=AN，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵AB=AD，
∴ (SAS)，
∴ ，
∴ ，
∴F，B，C三点共线．
∵ ，
∴ ， ，
∴DN=KN．
又∵ ，
73∴DH=HK．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，PN=PF，
∴ (ASA)，
∴BP=PK，
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定
和性质以及勾股定理等知识，综合性强，困难题型．正确的作出辅助线是解题关键．
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