专题04因式分解（知识点梳理+典例剖析+变式训练）-八年级数学下学期期末冲刺满分必刷常考压轴题（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 04 因式分解 （知识点梳理+典例剖析+变式训练） 【知识点梳理】 考点1 因式分解 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变 形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即： 考点2 公因式 像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 。 提公因式： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个整式 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式分解法。 考点3 公式法 （1）平方差公式； 两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积 （2）完全平方公式：a²﹢2ab+b²=（a+b）²；a²﹣2ab+b²=﹙a－b﹚² 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 考点4 十字相乘法 （1）十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项 系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。 （2）ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两 个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c ₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂) 考点5 分组分解法分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式， 分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。 【经典题型】 考点1 因式分解 ( ) 【典例1】下列变形中，属于因式分解且正确的是 2x62(x3) a(a1)a2 a A． B． x2 xx(x1)(x1) x2 3x1x(x3)1 C． D． ( ) 【变式1-1】下列从左到右的变形是因式分解的是 (x2)(x2)x2 4 (a3)(a7)a2 8a21 A． B． x3 xx(x1)(x1) 3x3 6x43x2(x2) C． D． ( ) 【变式1-2】下列等式从左到右的变形是因式分解的是 x2 2x1(x1)2 12a2b3a4ab A． B． x2 98x(x3)(x3)8x (x3)(x3)x2 9 C． D． ( ) 【变式1-3】下列各式中，从左到右变形是因式分解的是 (x3y)(x3y)x2 9y2 9x2 (3x)(3x) A． B． x2 6x4(x2)2 2x x2 8(x4)(x4) C． D． 考点2 公因式 3x2y2 12x2y4 6x3y3 ( ) 【典例2】多项式 的公因式是 3xy x2y2 3x2y2 3x3y2 A． B． C． D． 【变式2-1】多项式8a3b2 12ab3c的公因式是 ( )abc 4ab2 ab2 4ab2c A． B． C． D． m(ax)(xb)mn(ax)(bx) ( ) 【变式2-2】在 中，公因式是 m m(ax) m(ax)(bx) (ax)(bx) A． B． C． D． 6x3y2 3x2y3 ( ) 【变式2-3】 分解因式时，应提取的公因式是 3xy 3x2y 3x2y3 3x2y2 A． B． C． D． 【典例3】多项式m2 4m分解因式的结果是 ( ) m(m4) (m2)(m2) m(m2)(m2) (m2)2 A． B． C． D． x2y4xy 【变式3-1】分解因式 ． 2a(yz)3b(z y) 【变式3-2】分解因式： ． m2(a2)m(a2) ( ) 【变式3-3】把多项式 因式分解，结果正确的是 (a2)(m2 m) m(a2)(m1) m(a2)(m1) m(2a)(m1) A． B． C． D． xy 3 x y 2 x2yxy2 ( ) 【典例4】已知 ， ，则代数式 的值是 6 5 1 A ． B ． 6 C ． D ． 【变式4-1】已知ab4，ab3，则a2bab2  ． x y10 xy1 x2yxy2 【变式4-2】已知 ， ，则代数式 的值为 ． 【变式4-3】已知ab4，ab2，则a2bab2 的值为 ． 【变式4-4】计算：40372 80722019 ． 考点3 公式法( ) 【典例5】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 a2 b2 a2 (b)2 (a)2 (b)2 a2 1 A． B． C． D． 【变式5-1】把x2 9分解因式，结果正确的是 ( ) x(x9) (x9)(x9) (x3)(x3) (x3)2 A． B． C． D． 4x2 9y2 ( ) 【变式5-2】把 分解因式，正确的是 (4x y)(x9y) (3x2y)(3x2y) A． B． (2x9y)(2x y) (2x3y)(2x3y) C． D． 【变式5-3】已知 x2 16(xa)(xa) ，那么a等于 ( ) A．4 B．2 C．16 D．4 ( ) 【典例6】下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是 4x2 4x1 x2 2x1 x2 xy2y2 9x2 4x A． B． C． D． ( ) 【变式6-1】下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是 a2 4 x2 6x9 x2 2x1 a2 abb2 A． B． C． D． 【变式6-2】若 x2 kx25(x5)2 ，那么k的值是 ( ) A．5 B．5 C．10 D．10 【变式6-3】关于x的二次三项式x2 ax36能直接用完全平方公式分解因式，则a的值是 ( ) A．6 B．6 C．12 D．12 考点4 提公因式与公式法 【典例7】分解因式2x2 8结果正确的是 ( )2(x2)(x2) 2(x2)2 2(x2 8) 2(x2)2 A． B． C． D． 【变式7-1】分解因式a2bb3 结果正确的是 ( ) b(ab)(ab) b(ab)2 b(a2 b2) b(a2 b2) A． B． C． D． 【变式7-2】因式分解：5x3 20x ． 【变式7-3】分解因式：2ma2 8mb2  ． 考点5 十字相乘法 【典例7】将多项式x2 2x8分解因式，正确的是 ( ) (x2)(x4) (x2)(x4) (x2)(x4) (x2)(x4) A． B． C． D． 【变式7-1】把多项式x2 3x54分解因式，其结果是 ( ) (x6)(x9) (x6)(x9) (x6)(x9) (x6)(x9) A． B． C． D． 【变式7-2】把多项式x2 5xm因式分解得 (xn)(x2) ，则常数m，n的值分别为 ( ) A．m14，n7 B．m14，n7 C．m14，n7 D．m14， n7 【变式7-3】若 x2 mx12(x4)(xn) ，则m的值是 ( ) A．3 B．3 C．1 D．1 考点6 分组分解法 【典例8】因式分解： (ab)(x y)(ba)(x y) (x2 1)2 4x2 （1） （2） ．axbyaybx 【变式8-1】因式分解： ． 4x2  y2 2y1 【变式8-2】因式分解： ． 4(mn)a2 (nm)b2 【变式8-3】分解因式： ． 考点7 因式分解的应用 【典例9】（2021春•江都区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m， 则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2． 再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请 你解答下列问题： （1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ； （2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1； （3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81． 【变式9-1】（2021春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的 因式分解： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）m3﹣2m2﹣4m+8． （2）x2﹣2xy+y2﹣9． 【变式9-2】（2021春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的 因式分解： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）m3﹣2m2﹣4m+8． （2）x2﹣2xy+y2﹣9． 【变式9-3】（2021春•商河县校级期末）先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后 两项分成组，并提出b，从而得 am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）． 这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从 而得到（m+n）（a+b），因此有 am+an+bm+bn ＝（am+an）+（bm+bn） ＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后， 它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： （1）ab﹣ac+bc﹣b2 ＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程） ＝ （2）m2﹣mn+mx﹣nx； （3）x2y2﹣2x2y﹣4y+8， 专题 04 因式分解 （知识点梳理+典例剖析+变式训练） 【知识点梳理】 考点1 因式分解 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变 形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即：考点2 公因式 像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 。 提公因式： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个整式 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式分解法。 考点3 公式法 （2）平方差公式； 两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积 （2）完全平方公式：a²﹢2ab+b²=（a+b）²；a²﹣2ab+b²=﹙a－b﹚² 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 考点4 十字相乘法 （1）十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项 系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。 （2）ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两 个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c ₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂) 考点5 分组分解法 分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式， 分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。 【经典题型】 考点1 因式分解 ( ) 【典例1】下列变形中，属于因式分解且正确的是 2x62(x3) a(a1)a2 a A． B． x2 xx(x1)(x1) x2 3x1x(x3)1 C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是因式分解，故本选项符合题意； B、左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、左右两边不相等，所以不是因式分解，故本选项不符合题意； D、左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A． ( ) 【变式1-1】下列从左到右的变形是因式分解的是 (x2)(x2)x2 4 (a3)(a7)a2 8a21 A． B． x3 xx(x1)(x1) 3x3 6x43x2(x2) C． D． 【答案】C 【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B． (a3)(a7) a2 7a3a21 a2 10a21，计算错误，即不是因式分解，故本选项不符合题意； C．x3 x x(x2 1) x(x1)(x1) ，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 3x2(x2)3x3 6x2 3x3 6x4 D． ，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符 合题意； 故选：C． ( ) 【变式1-2】下列等式从左到右的变形是因式分解的是 x2 2x1(x1)2 12a2b3a4ab A． B． x2 98x(x3)(x3)8x (x3)(x3)x2 9 C． D． 【答案】A x2 2x1(x1)2 【解答】解：A． ，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；B．12a2b3a4ab，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意； C． x2 98x(x3)(x3)8x ，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解， 故本选项不合题意； (x3)(x3)x2 9 D． ，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意； 故选：A． ( ) 【变式1-3】下列各式中，从左到右变形是因式分解的是 (x3y)(x3y)x2 9y2 9x2 (3x)(3x) A． B． x2 6x4(x2)2 2x x2 8(x4)(x4) C． D． 【答案】B 【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D． x2 8(x2 2)(x2 2) ，故本选项不符合题意； 故选：B． 考点2 公因式 3x2y2 12x2y4 6x3y3 ( ) 【典例2】多项式 的公因式是 3xy x2y2 3x2y2 3x3y2 A． B． C． D． 【答案】C 3x2y2 12x2y4 6x3y3 3x2y2 【解答】解：多项式 的公因式是 ． 故选：C． 【变式2-1】多项式8a3b2 12ab3c的公因式是 ( ) abc 4ab2 ab2 4ab2c A． B． C． D． 【答案】B【解答】解：多项式8a3b2 12ab3c的公因式是：4ab2 ． 故选：B． m(ax)(xb)mn(ax)(bx) ( ) 【变式2-2】在 中，公因式是 m m(ax) m(ax)(bx) (ax)(bx) A． B． C． D． 【答案】C m(ax)(xb)mn(ax)(bx) 【解答】解： ， m(ax)(xb)mn(ax)(xb) ， m(ax)(xb)(1n) m(ax)(bx)(1n) ， 故选：C． 6x3y2 3x2y3 ( ) 【变式2-3】 分解因式时，应提取的公因式是 3xy 3x2y 3x2y3 3x2y2 A． B． C． D． 【答案】D 6x3y2 3x2y3 3x2y2(2x y) 【解答】解： ， 6x3y2 3x2y3 3x2y2 因此 的公因式是 ． 故选：D． 【典例3】多项式m2 4m分解因式的结果是 ( ) m(m4) (m2)(m2) m(m2)(m2) (m2)2 A． B． C． D． 【答案】A m2 4mm(m4) 【解答】解： ， 故选：A． x2y4xy 【变式3-1】分解因式 ．xy(x4) 【答案】 x2y4xyxy(x4) 【解答】解： ． xy(x4) 故答案为： ． 2a(yz)3b(z y) 【变式3-2】分解因式： ． (yz)(2a3b) 【答案】 2a(yz)3b(z y) 【解答】解： 2a(yz)3b(yz) (yz)(2a3b) m2(a2)m(a2) ( ) 【变式3-3】把多项式 因式分解，结果正确的是 (a2)(m2 m) m(a2)(m1) m(a2)(m1) m(2a)(m1) A． B． C． D． 【答案】C m2(a2)m(a2) 【解答】解： m(a2)(m1) ． 故选：C xy 3 x y 2 x2yxy2 ( ) 【典例4】已知 ， ，则代数式 的值是 6 5 1 A ． B ． 6 C ． D ． 【答案】A xy 3 x y 2 【解答】解： ， ， x2yxy2  xy(x y)6 故选：A． 【变式4-1】已知ab4，ab3，则a2bab2  ．【答案】12 【解答】解：当ab4，ab3时， a2bab2 ab(ab) 34 12， 故答案为：12． x y10 xy1 x2yxy2 【变式4-2】已知 ， ，则代数式 的值为 ． 【答案】10 x y10 xy1 【解答】解： ， ， x2yxy2 xy(x y) 110 10． 【变式4-3】已知ab4，ab2，则a2bab2 的值为 ． 【答案】8 ab(ab) 【解答】解：原式 ， 当ab4，ab2时，原式8． 故答案为：8． 【变式4-4】计算：40372 80722019 ． 【答案】1 【解答】解：原式40372 240362019 40372 40364038 40372 (40371)(40371) 40372 (40372 1) 1故答案为：1 考点3 公式法 ( ) 【典例5】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 a2 b2 a2 (b)2 (a)2 (b)2 a2 1 A． B． C． D． 【答案】D a2 b2 (a2 b2) 【解答】解：A、 ，无法因式分解，故此选项错误； a2 (b)2 a2 b2 B、 ，无法因式分解，故此选项错误； C、 (a)2 (b)2 a2 b2 ，无法因式分解，故此选项错误； a2 11a2 (1a)(1a) D、 ，故此选项正确． 故选：D． 【变式5-1】把x2 9分解因式，结果正确的是 ( ) x(x9) (x9)(x9) (x3)(x3) (x3)2 A． B． C． D． 【答案】C x2 9(x3)(x3) 【解答】解： ． 故选：C． 4x2 9y2 ( ) 【变式5-2】把 分解因式，正确的是 (4x y)(x9y) (3x2y)(3x2y) A． B． (2x9y)(2x y) (2x3y)(2x3y) C． D． 【答案】D 4x2 9y2 (2x3y)(2x3y) 【解答】解： ． 故选：D． 【变式5-3】已知 x2 16(xa)(xa) ，那么a等于 ( )A．4 B．2 C．16 D．4 【答案】D (x4)(x4)(xa)(xa) 【解答】解：已知等式变形得： ， 则a4． 故选：D． ( ) 【典例6】下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是 4x2 4x1 x2 2x1 x2 xy2y2 9x2 4x A． B． C． D． 【答案】A 4x2 4x1(2x1)2 【解答】解：A、 ，故A符合题意； x2 2x1(x1)2 B、 ，故B不符合题意； 1 1 x2 xy y2 (x y)2 C、 4 2 ，故C不符合题意； 9x2 6x(x3)2 D、 ，故D不符合题意； 故选：A． ( ) 【变式6-1】下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是 a2 4 x2 6x9 x2 2x1 a2 abb2 A． B． C． D． 【答案】B x2 6x9(x3)2 【解答】解： ． 故选：B． 【变式6-2】若 x2 kx25(x5)2 ，那么k的值是 ( ) A．5 B．5 C．10 D．10 【答案】D x2 kx25(x5)2 【解答】解： ， x2 kx25x2 10x25， k 10，故选：D． 【变式6-3】关于x的二次三项式x2 ax36能直接用完全平方公式分解因式，则a的值是 ( ) A．6 B．6 C．12 D．12 【答案】D 【解答】解：关于x的二次三项式x2 ax36能直接用完全平方公式分解因式， a12． 故选：D． 考点4 提公因式与公式法 【典例7】分解因式2x2 8结果正确的是 ( ) 2(x2)(x2) 2(x2)2 2(x2 8) 2(x2)2 A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：2x2 8 2(x2 4) 2(x2)(x2) ． 故选：A． 【变式7-1】分解因式a2bb3 结果正确的是 ( ) b(ab)(ab) b(ab)2 b(a2 b2) b(a2 b2) A． B． C． D． 【答案】A b(a2 b2)b(ab)(ab) 【解答】解：原式 ， 故选：A． 【变式7-2】因式分解：5x3 20x ．5x(x2)(x2) 【答案】 5x3 20x5x(x2 4) 【解答】解： 5x(x2)(x2) ． 5x(x2)(x2) 故答案为： ． 【变式7-3】分解因式：2ma2 8mb2  ． 2m(a2b)(a2b) 【答案】 【解答】解：2ma2 8mb2 2m(a2 4b2) 2m(a2b)(a2b) ， 2m(a2b)(a2b) 故答案为： ． 考点5 十字相乘法 【典例7】将多项式x2 2x8分解因式，正确的是 ( ) (x2)(x4) (x2)(x4) (x2)(x4) (x2)(x4) A． B． C． D． 【答案】A x2 2x8x2 (42)x(42)(x4)(x2) 【解答】解： ． 故选：A． 【变式7-1】把多项式x2 3x54分解因式，其结果是 ( ) (x6)(x9) (x6)(x9) (x6)(x9) (x6)(x9) A． B． C． D． 【答案】B x2 3x54(x9)(x6) 【解答】解： ，故选：B 【变式7-2】把多项式x2 5xm因式分解得 (xn)(x2) ，则常数m，n的值分别为 ( ) A．m14，n7 B．m14，n7 C．m14，n7 D．m14， n7 【答案】A 【解答】解：由题意得： x2 5xm(xn)(x2) ， x2 5xmx2 nx2x2n， x2 5xmx2 (n2)x2n ， n25，m2n， n7，m14， 故选：A． 【变式7-3】若 x2 mx12(x4)(xn) ，则m的值是 ( ) A．3 B．3 C．1 D．1 【答案】C x2 mx12(x4)(xn) 【解答】解： ， x2 mx12 x2 4xnx4n， x2 mx12x2 (4n)x4n ， m4n，4n12， n3，m1， 故选：C． 考点6 分组分解法 【典例8】因式分解： (ab)(x y)(ba)(x y) (x2 1)2 4x2 （1） （2） ．2x(ab) (x1)2(x1)2 【答案】（1） （2） (ab)(x y)(ab)(x y) 【解答】解：（1）原式 (ab)[(x y)(x y)] 2x(ab) ， (x2 1)2 (2x)2 （2）原式 (x2 12x)(x2 12x) (x1)2(x1)2 ． axbyaybx 【变式8-1】因式分解： ． (ab)(x y) 【答案】 axbyaybx 【解答】解： (axbx)(ayby) x(ab) y(ab) (ab)(x y) ． (ab)(x y) 故答案为： ． 4x2  y2 2y1 【变式8-2】因式分解： ． (2x y1)(2x y1) 【答案】 4x2  y2 2y1 【解答】解： 4x2 (y2 2y1) (2x)2 (y1)2 (2x y1)(2x y1) ．(2x y1)(2x y1) 故答案为： ． 4(mn)a2 (nm)b2 【变式8-3】分解因式： ． (mn)(2ab)(2ab) 【答案】 4(mn)a2 (nm)b2 【解答】解： 4(mn)a2 (mn)b2 (mn)(4a2 b2) (mn)(2ab)(2ab) ． 考点7 因式分解的应用 【典例9】（2021春•江都区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m， 则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2． 再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请 你解答下列问题： （1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ； （2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1； （3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81． 【答案】（1） （ x ﹣ y + 1 ） 2 （2）（3x﹣7）2 （3）（x﹣3）4 【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2， 令x﹣y＝m， 则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2． 再将x﹣y＝m代入，得原式＝（x﹣y+1）2， 故答案为：（x﹣y+1）2； （2）9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1， 令x﹣2＝n，则原式＝9n2﹣6n+1＝（3n﹣1）2． 再将x﹣2＝n代入，得原式＝（3x﹣6﹣1）2＝（3x﹣7）2； （3）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2， 故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2＝（x2﹣6x+9）2＝（x﹣3）4． 【变式9-1】（2021春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的 因式分解： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）m3﹣2m2﹣4m+8． （2）x2﹣2xy+y2﹣9． 【答案】(1) （m﹣2）2（m+2） (2)（x﹣y+3）（x﹣y﹣3） 【解答】解：（1）原式＝m2（m﹣2）﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2（m+2）； （2）原式＝（x﹣y）2﹣9＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）． 【变式9-2】（2021春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的 因式分解： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）m3﹣2m2﹣4m+8． （2）x2﹣2xy+y2﹣9． 【答案】(1) （m﹣2）2（m+2） (2)（x﹣y+3）（x﹣y﹣3） 【解答】解：（1）原式＝m2（m﹣2）﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2（m+2）； （2）原式＝（x﹣y）2﹣9＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）． 【变式9-3】（2021春•商河县校级期末）先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后 两项分成组，并提出b，从而得 am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）． 这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从 而得到（m+n）（a+b），因此有 am+an+bm+bn ＝（am+an）+（bm+bn） ＝a（m+n）+b（m+n） ＝（m+n）（a+b）． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后， 它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： （1）ab﹣ac+bc﹣b2 ＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程） ＝ （2）m2﹣mn+mx﹣nx； （3）x2y2﹣2x2y﹣4y+8， 【答案】（1） （ a ﹣ b ）（ b ﹣ c ） （2） （m+x）（m﹣n） （3）（y﹣2）（x2y﹣4） 【解答】解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2 ＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c） ＝（a﹣b）（b﹣c）； 故答案为（a﹣b）（b﹣c）． （2）m2﹣mn+mx﹣nx ＝m（m﹣n）+x（m﹣n） ＝（m+x）（m﹣n）；（3）x2y2﹣2x2y﹣4y+8 ＝x2y（y﹣2）﹣4（y﹣2） ＝（y﹣2）（x2y﹣4）．