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专题 04 子母型
【基本模型】
如 图 为 斜 “ A” 字 型 基 本 图 形 ． 当 时 ， ， 则 有 ．
．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当 时， ，则有 ．
【例题精讲】
例1.如图，在 中， ，点P、D分别是 边上的点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，当 时，求 的长．例2．在 中， ， 平分 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的长．
（2）如图2，过 分别作 交 于 ， 于 ．
①求证： ；
②求 的值．
例3．如图，在 中， ， ， ， ， ，则CD的长为
______．例4．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果 与 互为母子三角形，则 的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1， 中， 是 的角平分线， ．
求证： 与 互为母子三角形．
（3）如图2， 中， 是中线，过射线 上点 作 ，交射线 于点 ，连结 ，射线
与射线 交于点 ，若 与 互为母子三角形．求 的值．
【变式训练1】如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求
证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【变式训练2】如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，∠BAD＝∠ECA．
△（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
△
【变式训练3】如图，在矩形 中，点 是 边上的一点，且 垂足为点 ．
_ ．
若四边形 的面积为 ，求 的面积．
【变式训练4】在 ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．
△（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；
（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．
①求证：∠ABC＝∠EAF；
②求 的值．
【课后训练】
AD 1
1.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E， = ，△CEF的面积为S ，△AEB的面
1
AB 2
积为S ，则S 的值等于（ ）
2 1
S
2
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 5 4 25
2．如图，在 中， 平分 在 延长线上，且 ，若 ， ，则
的长为_____．
3．如图， 中， 点 分别是 的中点， 与点 ．（1）求证： ；
（2）求 的大小；
（3）若 ，求 的面积．
4．（1）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧， ，求证： ；
（2）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧， ， ，
， ，求 的值；
（3）如图， 中，点 在 边上，且 ， ， ，点 在 边上，连接 ，
， ，求 的值．5．如图， 中， ，点 为 上一点，且 ． 交 于 ，交 的延
长线于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 ．
6．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足 ，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是 的边AB的中点， ， ，试判断点D是不是 的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在 中， ， ， ，若点D是 的“理想点”，求CD的长．
7．如图，已知矩形 的两条对角线相交于点O，过点 作 分别交 、 于点 、 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ．求证： ．
8．在Rt ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图△1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 ，求 的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
