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专题 04 子母型
【基本模型】
如 图 为 斜 “ A” 字 型 基 本 图 形 ． 当 时 ， ， 则 有 ．
．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当 时， ，则有 ．
【例题精讲】
例1.如图，在 中， ，点P、D分别是 边上的点，且 ．
（1）求证： ；（2）若 ，当 时，求 的长．
【解析】（1）∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ；
（2）如图，∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
例2．在 中， ， 平分 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的长．
（2）如图2，过 分别作 交 于 ， 于 ．
①求证： ；
②求 的值．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②
【详解】解：（1）∵在 中， ， 平分 ，
∴ ，又∠A=∠A，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ；
（2）①∵ 交 于 ， 于 ，
∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ；
②过 作 ，与 的延长线交于 ，
∵ ，∴ ，
∴ 、 和 均为等腰三角形，∴ ，
∵在等腰 中， 于 ，
∴ ，即 ，
∴ 的值为 ．
例3．如图，在 中， ， ， ， ， ，则CD的长为
______．
【答案】5
【详解】解：在CD上取点F，使 ，
， ，
由 ， ，
， ，
且 ，
，
， ∽ ，
，， ，
又 ， ，
∽ ， ，
又 ， ，
或 舍去 ，
经检验： 符合题意，
．
故答案为：5．
例4．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果 与 互为母子三角形，则 的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1， 中， 是 的角平分线， ．
求证： 与 互为母子三角形．
（3）如图2， 中， 是中线，过射线 上点 作 ，交射线 于点 ，连结 ，射线
与射线 交于点 ，若 与 互为母子三角形．求 的值．
【答案】（1）C；（2）见解析；（3） 或3．【详解】（1）∵ 与 互为母子三角形，∴ 或2，故选：C
（2） 是 的角平分线， ，
， ．
又 ， 与 互为母子三角形．
（3）如图，当 分别在线段 上时，
与 互为母子三角形， ， ，
是中线， ，
又 ， ． ，
， ．
如图，当 分别在射线 上时，
与 互为母子三角形， ， ，
是中线， ，
又 ， ． ， ，
．
综上所述， 或3【变式训练1】如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求
证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，∴ ，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴ ．
∵AB=10，BC=12，∴ ，∴BP= ．
【变式训练2】如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，∠BAD＝∠ECA．
△（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
△
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
．
（2）解： ，
，
，
，
AD是 ABC的中线，
△ ，
，即： ，
∴ ．
【变式训练3】如图，在矩形 中，点 是 边上的一点，且 垂足为点 ．_ ．
若四边形 的面积为 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）2
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∠DAE=2∠BAE，
∴∠DAE=60°，∠BAE=30°，
又∵AE⊥BD，∠BAD=90°，
∴BD=2AB，AB=2BF，
∴BD=4BF，
∴DF=3BF，
∴BF：DF=1：3，故答案为：1：3；
（2）∵∠BAE=30°
∴∠AEB=60°，
∵AE⊥BD，
∴∠DBC=30°，∠BFE=∠BCD=90°
∴ ，
∴ ，
∵∠FBE=∠CBD，∠BFE=∠DCB，
∴△BEF∽△BDC，
∴ ，
∵四边形 的面积为 ，∴12S =S =S +S ，
BEF BCD BEF 四边形EFDC
△ △ △
∴S =2．
BEF
△
【变式训练4】在 ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．
△
（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；
（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．
①求证：∠ABC＝∠EAF；
②求 的值．
【答案】（1）AD＝ ；（2）①见解析；② ．
【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.
又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，
∴ ，即 ，∴AD＝
（2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.
又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.
∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.
②如图，取CE的中点M，连接AM.
在Rt ACE中，AM＝ CE，∠AME＝2∠C.
△
∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，
∴ ．
【课后训练】
AD 1
1.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E， = ，△CEF的面积为S ，△AEB的面
1
AB 2积为S ，则S 的值等于（ ）
2 1
S
2
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 5 4 25
AD 1
【解析】∵ = ，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC=√5a，
AB 2
∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC
√5a 4√5a CE 1
∴a2＝CE•√5a，4a2＝AE•√5a，∴CE= ，AE= ，∴ = ，
5 5 AE 4
∵△CEF∽△AEB，∴S （CE）2 1 ，故选：A．
1= =
S AE 16
2
2．如图，在 中， 平分 在 延长线上，且 ，若 ， ，则
的长为_____．
【答案】
【详解】解：∵BD平分∠ABC， DE=BD
∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD
∴∠DBC=∠AED
如图，在BC上取点，使BF=AE则在 与 中，
∴
∴AE=BF=2， ， ，∴CF=BC-BF=8-2=6
∵∠BAD= ，∠DFC=
∴∠BAD=∠DFC
又∵∠C=∠C，∴ CFD∽ CAB
∴
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∠BAD=∠DFC
∴
∵ ，∴
∴DF=FC=6，则AD=DF =6，∴CA=6+CD
又∵CF=6，BC=8，
∴ ，解得 ．故答案为： ．
3．如图， 中， 点 分别是 的中点， 与点 ．（1）求证： ；
（2）求 的大小；
（3）若 ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）2．
【详解】（1） ， ，
在 和 中， ， ， ， ；
（2） ， 是等腰直角三角形， ，
由（1）可知， ， ，
点E是AC的中点， ， ，
在 和 中， ，
， ，
又 ， ， ；
（3）设 ，
是等腰直角三角形， ，
点 分别是 的中点， ，
在 中， ，，
由（1）知， ， ，即 ，解得 ，
在 中， ， ，
在 和 中， ， ，
，即 ，解得 ，
又 ， ，解得 ，
，
则 的面积为 ．
4．（1）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧， ，求证： ；
（2）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧， ， ，
， ，求 的值；（3）如图， 中，点 在 边上，且 ， ， ，点 在 边上，连接 ，
， ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【详解】解：（1）证明：∵ ，
， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
(2)解：如解图， 与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ， ，设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：如解图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ．
5．如图， 中， ，点 为 上一点，且 ． 交 于 ，交 的延
长线于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 ．
【答案】(1)见解析;(2) .
【详解】（1）∵ ，∴ ．
又∵ ， ，∴ ．
而 ， ，∴ ，∴ ，∴ ．
又 ， ，∴ ∽ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）由（1）可知 ，而 ， ，
∴ ，∴ ，
∴在 中根据勾股定理可知 ．
∵ ∽ ，∴ ， ．
6．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足 ，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是 的边AB的中点， ， ，试判断点D是不是 的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在 中， ， ， ，若点D是 的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1) 为 的理想点,理由见解析；(2) 或
【解析】(1)解：点 是 的“理想点”，理由如下：
是 中点， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
， 点 是 的“理想点”；
(2)① 在 上时，如图：
是 的“理想点”，
或 ，
当 时， ，
， ，即 是 边上的高，
当 时，同理可证 ，即 是 边上的高，
在 中， ， ， ， ，
， ，② ， ，
有 ，
“理想点” 不可能在 边上，
③ 在 边上时，如图：
是 的“理想点”，
，
又 ， ，
，即 ， ，
综上所述，点 是 的“理想点”， 的长为 或 ．
7．如图，已知矩形 的两条对角线相交于点O，过点 作 分别交 、 于点 、 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ．求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABE=90°
∴∠ABG+∠EBG=90°
∵
∴∠ABG+∠BAG=90°
∴∠EBG=∠BAG∴Rt BEG∽Rt AEB
△ △
∴
∴
（2）由（1）有：
∵BE=CE
∴
∴
∵∠CEG=∠AEC
∴△CEG∽△AEC
∴∠CGE=∠ACE
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∴OB=OC
∴∠DBC=∠ACE
∴
8．在Rt ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图△1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 ，求 的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴设 ，则 （ ），
∵ ， ，
同（1）得： ，
∴ ，
在 中， ，
过 作 于 ，如图2所示：
则 ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（3）解：过点 作 于 ，如图3所示：
∵ ，
∴设 ，则 （ ），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故答案为： ．
