文档内容
专题 04 实数特殊运算的三种考法
考点01 新定义实数运算
考点02 实数运算规律性探究问题
考点03 实数运算实际应用
考点01 新定义实数运算
1．对于一个正实数 ，我们规定：用符号 表示不大于 的最大整数 表示不大于 的最大整
数），称 为 的根整数，如： ， ．如果我们对 连续求根整数，直到结果为1为
止．例如：对 连续求根整数2次， ，这时候结果为 ．现有如下四种说法：
① ；
② ：
③若方程 ，则满足条件的 的整数值有3个；
④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数 中，最大值与最小值之差为239．
其中说法不正确的有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．若我们约定： 表示不大于 的最大整数，例如： ， ，记
，则 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与百位数字组成的两位数等于十位
数字与个位数字之和的 倍（ 为正整数），则把这个四位数叫做“ 和数”，例如四位数2439，因为
，所以2439是“2和数”，再如四位数6318，因为 ，所以6318是“7和数”．
若四位自然数 是“4和数”，则 的最大值是 ；若四位自然数 是“1和数”，记
，若 是一个有理数，则所有符合条件的 之和为 ．4．小东对有理数 定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“ ”．他写出了一些按照“乘减
法”运算的算式： ，
．
小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：
“你的理解完全正确．”
(1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得___________，异号得___________，并把___________；绝对值相
等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
(2)计算：① ；② ；③ ；
(3)小玲已经掌握了“乘减法”的运算法则，接下来，她想要继续研究“乘减法”的运算律，请你一起思考：
结合律在有理数的“乘减法”中仍然成立吗？若成立，请说明你的理由；若不成立，请举出两个反例．
5．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根
都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称
为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数， ， ， ，其结果分别为2，
3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是
6．
(1)请证明2，8， 这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
(2)已知4，a， 三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．6．已知 ， 都是实数， 为整数，若 ，则称 与 是关于 的一组“平衡数”，例： ，
则称3与5是关于4的一组“平衡数”．
(1) 与________是关于2的一组“平衡数”；
(2)若 与 是关于 的一组“平衡数”，其中 ， ，求实数 ；
(3)若 ， ，判断是否存在整数 ，使 与 为关于 的一组“平衡数”，如果存在，求
的值．
7．阅读材料：
材料一：定义 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ；
材料二：定义新运算 ，如 ，对有序实数对 ，若满足 ，则
称该有序数对为“望一”数对；若满足 ，则称该有序数对为“望音”数对．
(1)计算： ．
(2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号）
； ； ； ； ．
(3)计算 的值．考点02 实数运算规律性探究问题
8．先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ；
(1)根据上面三个等式，请猜想 的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设 +···+ ，求不超过m的最大整数是多少？
9．观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) __________________； __________________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 （为正整数）表示的等式：______；
(3)利用上述规律计算：10．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
① ；② ；③ ；④ __________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
① ，② ；③ ；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
___________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
① ；
② ．
11．阅读下列解题过程，解答问题．
；
；
；
…
(1) ， ；
(2)观察上面的解题过程，求 （ 为自然数）；
(3)计算： ．12．学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．
是
的面积
（ 是 的面积）；
（ 是 的面积）；
…．．
(1)推算出 ____________； ___________（ 为正整数）．
(2)求出 的值．
13．观察下列各式：
① ；② ；③ ；…．
(1)根据上列式子的规律，直接写出 ；
(2)①根据上列式子的规律，直接写出 ；
②小明同学将99…9写成 ，将 写成 ，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明
同学的思路，证明①中你写出的结果．14．如图，已知 （ 为正整数），认真观察图形，根据你发
现的规律解决下列问题．
(1)已知 ，则 ，同理可得 ，…
填空： ______； ______．
(2)填空： ______．
(3)求 的值．
15．观察下列等式：
第1个等式 ；
第2个等式
第3个等式 ；
…
根据你所发现的规律，解决下列问题：
(1)填空 ______；
(2)猜想 ______；（用含n的式子表示，n为正整数）(3)计算 ．
考点03 实数运算实际应用
16．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可
作如下变形（提示： ）；
，
又 ，
，即 .
当且仅当 ，即 时等号成立．
【小试牛刀】（1）若 ，代数式 的最小值为______，此时 ______．
【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成
中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
【灵活应用】（3）如图2，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别为
9和4，求四边形 面积的最小值．17．小李同学探索 的近似值的过程如下：
∵面积为83的正方形的边长是 ，且 ，
∴设 ，其中 ；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
又∵ ，
∴
当 时，假设忽略 不计，得 ，解得 ，即 ．
(1)填空： 的整数部分的值为 ；
(2)类比上述方法，探究 的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求
解过程）
18．如图1，长方形内两正方形 和 ，它们的面积分别为 和 ．
(1)当 ， 时．
①则长方形的宽为_____________ ，长为____________ ，图中两块阴影部分的面积和为____________
；
②若在正方形 内沿边的方向裁剪一块长宽比为 的长方形，其面积为 ，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由；
(2)先在长方形内分别裁剪出正方形 和 ，再按图2的方式把正方形 裁剪成四个相同的直角三角形，它
们恰好与正方形 拼接成一个大正方形，请直接写出 与 的数量关系．
19．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无
理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果 ，其中 、 为有理数， 为无理数；那么必然
有 ，且 ，据此，解决下列问题．
(1)如果 ，其中 、 为有理数，则 ___________， ___________；
(2)如果 ，其中 、 为有理数，求 的平方根．
20．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，
给出了计算公式 ①，并给出了证明．其中 是三角形的三边长，
， 为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—
约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 ②．后人经过对
公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶
公式．
请根据上述公式，解答下列问题：
(1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角
形的面积；（利用公式①求解）
(2)若一个三角形的三边长分别为 ，求该三角形的面积．（利用公式②求解）
(3)如图，四边形 中， ，求该四边形 的面积．
