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专题 04 实数特殊运算的三种考法
考点01 新定义实数运算
考点02 实数运算规律性探究问题
考点03 实数运算实际应用
考点01 新定义实数运算
1．对于一个正实数 ，我们规定：用符号 表示不大于 的最大整数 表示不大于 的最大整
数），称 为 的根整数，如： ， ．如果我们对 连续求根整数，直到结果为1为
止．例如：对 连续求根整数2次， ，这时候结果为 ．现有如下四种说法：
① ；
② ：
③若方程 ，则满足条件的 的整数值有3个；
④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数 中，最大值与最小值之差为239．
其中说法不正确的有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，实数新定义，理解题意正确计算是解题关键．根据题中的
定义结合举反例和列举法逐项判断即可．
【详解】解：①因为 ， ， ，故 ；
故①不符合题意；
②举反例，当 时， ，而 ，不相等，
故②符合题意；
③由题意知， ，当 时， ，所以 不可以是3；
当 时， ，所以 可以是4；
当 时， ，所以 可以是5；
当 时， ，所以 可以是6；当 时， ，所以 不可以是7；
同理， 也不可以是8，9，10，11，12；所以满足题意的 有3个，
故③不符合题意；
④首先找最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数， ， ， ，所以最小的3次
连续求根整数运算后结果为1的数是16；
然后找最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数， ， ， ，所以最大的3次
连续求根整数运算后结果为1的数是255；
，
故④不符合题意．
故选：B．
2．若我们约定： 表示不大于 的最大整数，例如： ， ，记
，则 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，
当 时， （n为正整数），当x取正整数时，满足 的整数共有 个，则
中，共有3个1，5个2，7个3，……，19个9，1个10，由此即可求解．
【详解】解： ，
，
当 时， （n为正整数），当x取正整数时，满足 的整数共有 个，则
中，共有3个1，5个2，7个3，……，19个9，1个10，
．
．
故选：B．
3．如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与百位数字组成的两位数等于十位
数字与个位数字之和的 倍（ 为正整数），则把这个四位数叫做“ 和数”，例如四位数2439，因为，所以2439是“2和数”，再如四位数6318，因为 ，所以6318是“7和数”．
若四位自然数 是“4和数”，则 的最大值是 ；若四位自然数 是“1和数”，记
，若 是一个有理数，则所有符合条件的 之和为 ．
【答案】
【分析】依据“ 和数”定义，要让高位数字尽可能大，通过尝试不同十位、个位数字组合，找到满足千
位与百位组成的两位数是其和4倍的最大数；再由定义得 ，结合 是有理数，推出
为完全平方数，进而分析 的表达式，确定符合条件的 并求和 ．本题主要考查新定义“ 和
数”的理解与应用，涉及数字组合、数位运算、完全平方数特征等知识．熟练掌握新定义内涵，准确分析
数字间的数量关系，结合完全平方数的性质筛选符合条件的数，是解题关键．
【详解】解：设 为“4和数”，即 ，
当p，q取最大时，即p=9，q=8，此时 ， ，不符合题意，
p=9，q=7，此时 ， ，符合题意，
∴ 的最大值是 ，
∵四位自然数 是“1和数”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是有理数，
∴ 是完全平方数，
是千位数字（ ）， 是个位数字（ ），且 、 、 、 互不相等、均不为 ，
当 时， 需为完全平方数．尝试 ，则 （是完全平方数）．此时
，即 ：
， （ 与 重复，舍去）；
， ， ；
， ， ；
， ， ．
当 时， （如 ， 时， ，但 会导致 ， 超出
范围，无解 ），无法满足完全平方数非负的要求．
符合条件的 为 、 、 ，其和为： ．
故答案为： ， ．4．小东对有理数 定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“ ”．他写出了一些按照“乘减
法”运算的算式： ，
．
小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：
“你的理解完全正确．”
(1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得___________，异号得___________，并把___________；绝对值相
等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
(2)计算：① ；② ；③ ；
(3)小玲已经掌握了“乘减法”的运算法则，接下来，她想要继续研究“乘减法”的运算律，请你一起思考：
结合律在有理数的“乘减法”中仍然成立吗？若成立，请说明你的理由；若不成立，请举出两个反例．
【答案】(1)正，负，绝对值相减
(2)① ，② ，③
(3)不成立，见解析
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是正确的计算；
（1）根据例子推导出计算的规律，得到答案即可；
（2）根据（1）中的规律得到答案即可；
（3）举出具体例子进行计算，看看是否成立，通过计算可发现结合律在“乘减法”中不适合即可；
【详解】（1）解：通过观察发现所有同号的两个数得结果都是正数，异号的两个数得的结果都是负数，
并且后面的数是两个数的绝对值的差；
故答案为：正，负，绝对值相减
（2）解：① ，
② ，
③ ，
（3）解：不成立，
例 ，
，所以 ，
例 ，
，所以 ，
所以结合律在有理数的“乘减法”中不成立．5．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根
都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称
为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数， ， ， ，其结果分别为2，
3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是
6．
(1)请证明2，8， 这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
(2)已知4，a， 三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．
【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是 ;(2)1或
【分析】本题考查了算术平方根的概念．熟练掌握算术平方根的概念以及理解“和谐组合”、“最小算术
平方根”与“最大算术平方根”的定义是解题的关键．
（1）根据和谐组合”的定义，计算三个数两两乘积的算术平方根进行判断即可；
（2）计算并验证三个数两两乘积的算术平方根是否为整数，再确定最小和最大算术平方根．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴2，8， 这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是 ；
（2）解：分三种情况：①当 时， 得： （舍去），
②当 时， ，得： ，经检验符合题意，
③当 时， ．得： ，经检验符合题意．
综上所述，a的值为1或 ．
6．已知 ， 都是实数， 为整数，若 ，则称 与 是关于 的一组“平衡数”，例： ，
则称3与5是关于4的一组“平衡数”．
(1) 与________是关于2的一组“平衡数”；
(2)若 与 是关于 的一组“平衡数”，其中 ， ，求实数 ；
(3)若 ， ，判断是否存在整数 ，使 与 为关于 的一组“平衡数”，如果存在，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了新定义，二次根式的混合计算，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义计算出 的结果即可得到答案；
（2）根据题意可得 ，则 ，解之即可得到答案；
（3）根据题意计算出 的值，进而得到 的值，据此可求出c的值．【详解】（1）解： ，
∴ 与 是关于2的一组“平衡数”；
（2）解：∵ 与 是关于 的一组“平衡数”，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 为关于31的一组“平衡数”．
7．阅读材料：
材料一：定义 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， ；
材料二：定义新运算 ，如 ，对有序实数对 ，若满足 ，则
称该有序数对为“望一”数对；若满足 ，则称该有序数对为“望音”数对．
(1)计算： ．
(2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号）
； ； ； ； ．
(3)计算 的值．
【答案】(1) ；
(2) ； ；
(3) ．
【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌
握相关的定义．
（ ）根据题干中给出的信息进行计算即可；
（ ）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可；
（ ）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为： ；
（2）解： ，
∴ 是“望音”数对；
，
∴ 既不是“望一”数对，也不是“望音”数对；
，
∴ 是“望一”数对；
∴ 是“望一”数对；
，
∴ 是“望音”数对；
故答案为： ； ；
（3）解：由 ， ， ；
， ， ， ， ；
， ， ， ， ， ；
；
， ，
∴
，
设 ，
∴当 不是完全平方数时，存在整数 使得 ，此时 ，则该
项的值为 ；
当 是完全平方数时，设 （ 为正整数），则 ，
∵ 是偶数，
∴ 必为偶数，此时 ，
∴该项的值为 ，
因此，我们只需计算原式中值为 的项的个数，
∵ 且 ，
∴ ，
又∵ 为偶数，
∴ 可取 ， 的个数为 个，
∴原式的值为 ．
考点02 实数运算规律性探究问题
8．先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ；
(1)根据上面三个等式，请猜想 的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设 +···+ ，求不超过m的最大整数是多少？
【答案】(1)
(2)2025
【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键．
（1）根据题干列举的等式，即可得出答案；
（2）先总结规律可得 ，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2） +···+ ，，
，
，
∴不超过m的最大整数是2025．
9．观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) __________________； __________________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 （为正整数）表示的等式：______；
(3)利用上述规律计算：
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关
键．
（1）根据已知等式的规律可得结论；
（2）根据已知等式的规律可得结论；
（3）根据已知等式的规律可得答案．
【详解】（1）解：根据题中规律可得 ；
．（2）解：根据题中规律可得 ；
（3）解：原式 ．
10．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
① ；② ；③ ；④ __________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
① ，② ；③ ；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
___________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
① ；
② ．
【答案】（1）10；（2） ；（3）①5050；②41075
【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
（2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
（3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1） ；
（2）根据以上等式的规律可得， ；
（3）①
；
②．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规
律是解题关键
11．阅读下列解题过程，解答问题．
；
；
；
…
(1) ， ；
(2)观察上面的解题过程，求 （ 为自然数）；
(3)计算： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解；
（2）根据题干所给例子得出结论即可；
（3）根据（2）中得出的规律计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ；
（2）解：由题意可得： （ 为自然数）；（3）解： ．
12．学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．
是
的面积
（ 是 的面积）；
（ 是 的面积）；
…．．
(1)推算出 ____________； ___________（ 为正整数）．
(2)求出 的值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，二次根式的除法运算，数字类规律探索，求一个
数的算术平方根，实数的混合运算等知识点，发现并总结出其一般规律是解题的关键．
（1）根据已知条件中 和 的值发现并总结出其变化规律，再总结出的规律求出答案即可；
（2）根据（1）中发现并总结出的规律，求出 ， ， ， ， ， ， ，再代入所求代数式，然
后利用分母有理化进行计算即可．
【详解】（1）解： ， （ 是 的面积），
， （ 是 的面积），
， （ 是 的面积），
，
， （ 是 的面积），， ，
∴ ；
（2）解：
．
．
13．观察下列各式：
① ；② ；③ ；…．
(1)根据上列式子的规律，直接写出 ；
(2)①根据上列式子的规律，直接写出 ；
②小明同学将99…9写成 ，将 写成 ，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明
同学的思路，证明①中你写出的结果．
【答案】(1)
(2)① ；②见解析
【分析】本题考查规律型—实数运算的规律题，算术平方根，完全平方公式，弄清题中的规律是解题的关
键．
（1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果；
（2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果；
②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得： ，
故答案为： ；
（2）解：①观察下列等式：
，
，
，，
∴ ，
故答案为： ；
②证明：
，
∴ ，
即①中的结论成立．
14．如图，已知 （ 为正整数），认真观察图形，根据你发
现的规律解决下列问题．
(1)已知 ，则 ，同理可得 ，…
填空： ______； ______．
(2)填空： ______．
(3)求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了图形类变化规律、勾股定理、实数的混合运算，得出规律
是解此题的关键．（1）根据勾股定理，结合图形计算即可得出答案；
（2）根据前面列出的式子即可得出规律 ；
（3）将式子转化为 ，结合 进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
，
，
…，
，
故答案为： ；
（3）解：
．
15．观察下列等式：
第1个等式 ；第2个等式
第3个等式 ；
…
根据你所发现的规律，解决下列问题：
(1)填空 ______；
(2)猜想 ______；（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)计算 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
(1)根据题干中的已知等式即可求得答案；
(2)根据已知等式总结规律即可；
(3)根据所的规律先化简再算乘法即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2） （n为正整数 ，
故答案为： ；
（3）原式 ．
考点03 实数运算实际应用
16．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可
作如下变形（提示： ）；，
又 ，
，即 .
当且仅当 ，即 时等号成立．
【小试牛刀】（1）若 ，代数式 的最小值为______，此时 ______．
【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成
中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
【灵活应用】（3）如图2，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别为
9和4，求四边形 面积的最小值．
【答案】（1）6；
（2）所用的篱笆至少为36米
（3）最小值为
【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在 （a、
b均为正实数）中，当且仅当a、b满足 时， 有最小值 是解题的关键．
本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键；
（1）依据题意，设 ，则由 ，得 ，进而当且仅当 ，即
时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解；
（2）设花圃的宽为x米，则长为 米，所用的篱笆 ，据此即可求解；
（3）设 ，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，
由此可将 表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可．
【详解】解：（1）由题意，设 ，
由 ，得 ，
当且仅当 ，即 时，代数式取到最小值，最小值为故答案为：6；
（2）由题意，设花圃的宽为x米，则长为 米，
所用的篱笆 ，
又令 ， ，
由 ，
．
当且仅当 ，即 时，代数式取到最小值，最小值为36，
答：所用的篱笆至少为36米．
（3）由题意，设 ，
与 底边上的高相等， 与 底边上的高相等，
，
又 ，
，
当 时，即 时取等号．
四边形 面积的最小值为25．
17．小李同学探索 的近似值的过程如下：
∵面积为83的正方形的边长是 ，且 ，
∴设 ，其中 ；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：又∵ ，
∴
当 时，假设忽略 不计，得 ，解得 ，即 ．
(1)填空： 的整数部分的值为 ；
(2)类比上述方法，探究 的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求
解过程）
【答案】(1)11
(2)
【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题
的关键；
（1）利用夹逼法求解即可；
（2）仿照题干中的解题思路解答即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分的值为11；
故答案为：11；
（2）解：∵面积为127的正方形的边长是 ，且 ，
∴设 ，其中 ；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
又∵ ，
∴
当 时，假设忽略 不计，得 ，解得 ，
即 ．
18．如图1，长方形内两正方形 和 ，它们的面积分别为 和 ．
(1)当 ， 时．
①则长方形的宽为_____________ ，长为____________ ，图中两块阴影部分的面积和为____________
；
②若在正方形 内沿边的方向裁剪一块长宽比为 的长方形，其面积为 ，请问，能否裁出符合要
求的长方形？试说明理由；
(2)先在长方形内分别裁剪出正方形 和 ，再按图2的方式把正方形 裁剪成四个相同的直角三角形，它
们恰好与正方形 拼接成一个大正方形，请直接写出 与 的数量关系．
【答案】(1)①9， ， ；②不能，理由见解析
(2)
【分析】（1）①根据题意，由两个正方形的面积，得到两正方形的边长，从而得到长方形的长和宽，即
可得到面积；
②根据题意，设长方形的长为 ，宽为 ，根据面积，列出等式，求出x的值，得到长方形的长和
宽，与原长方形相比较，即可；
（2）根据左右两个图形的面积相等，构成等量关系，化简得到结果．
【详解】（1）解：（1）①设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
∵两正方形A和B，它们的面积分别为 和 ，且 ， ，
∴ （ ）， （ ），
∴长方形的宽为 （ ），长方形的长为 （ ），
∴长方形的面积为 （ ），
∴阴影部分面积为： （ ），
故答案为： ， ， ；
②不能裁出符合要求的长方形，理由如下：
设长方形的长为 ，宽为 ，
∵长方形的面积为 ，∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴长方形的长为 ，宽为 ，
∵ ，
∴ ，
答：不能裁出符合要求的长方形；
（2）如图2，
∵两正方形 和 面积分别为 和 ，
∴大正方形的边长为 ，小正方形边长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴图2中右边的正方形的面积为 ，
∵图2中左边图形面积=右边正方形面积，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了整式运算，二次根式运算，涉及到正方形、长方形的面积，熟练掌握二次根式运算是
解题的关键．
19．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无
理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果 ，其中 、 为有理数， 为无理数；那么必然
有 ，且 ，据此，解决下列问题．
(1)如果 ，其中 、 为有理数，则 ___________， ___________；
(2)如果 ，其中 、 为有理数，求 的平方根．【答案】(1)3，2
(2)
【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题
的关键．
（1）根据 ， 为有理数，由已知等式求出 与 的值即可；
（2）已知等式右边化为0，根据 ， 为有理数，求出 与 的值，即可确定出 的值，再求平方
根即可．
【详解】（1）解： ，其中 ， 为有理数， 为无理数，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， 为有理数， 为无理数，
∴ ，
解之，得 ．
则 ．
∴ 的平方根是 ．
20．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，
给出了计算公式 ①，并给出了证明．其中 是三角形的三边长，
， 为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—
约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 ②．后人经过对
公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶
公式．
请根据上述公式，解答下列问题：
(1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角
形的面积；（利用公式①求解）(2)若一个三角形的三边长分别为 ，求该三角形的面积．（利用公式②求解）
(3)如图，四边形 中， ，求该四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据
三边长度的特点选择合适的公式代入计算．
（1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可；
（2）直接套用公式②求解即可；
（3）连接 ，利用勾股定理求出 ，当假设在 中， ， ，
时，利用公式①或公式②，求出 的面积，再利用 即可求解．
【详解】（1）解：∵ ； ； ； ，
∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，
∴当假设在这个三角形中 ， ， 时，
则 ，
∴根据公式①，得该三角形的面积 ；
（2）解：∵三角形的三边长分别为 ， ， ，
∴当假设 ， ， 时，
根据公式②，得该三角形的面积
；
（3）解：方法一：如图，连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴当假设在 中， ， ， 时，根据公式②，得该三角形的面积
，
∴ ．
方法二：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴当假设在 中， ， ， 时，
则 ，根据公式①，得该三角形的面积=
=
=
= ，
∴ ．
