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2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 06 圆心角、弧、弦的关系
一．选择题
1．（2021•浦东新区模拟）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引导】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【完整解答】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
2．（2020秋•西林县期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【思路引导】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．
【完整解答】解：A．如图，
弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；C．如图，
∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；
D．如图，
弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（2020秋•阜南县期末）下列命题
①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；
③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；
④圆内接四边形的对角互补．
其中正确的命题共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路引导】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质判断．
【完整解答】解：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，本小题说法是真命题；
②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法是真命题；
③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，本小题说法是真命题；
④圆内接四边形的对角互补，本小题说法是真命题；
故选：A．
4．（2020秋•仙居县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交
⊙O于点D，若BE＝8，BG＝2，则⊙O的半径长是（ ）A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
【思路引导】连接OD，如图，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得 ＝ ，CG＝DG，则 ＝ ，所
以CD＝BE＝8，则DG＝ CD＝4，利用勾股定理得到42+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．
【完整解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB，
∴ ＝ ，CG＝DG，
∵点C是弧BE的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CD＝BE＝8，
∴DG＝ CD＝4，
在Rt△ODG中，∵OG＝r﹣2，OD＝r，
∴42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，
即⊙O的半径为5．
故选：A．
5．（2021•安徽二模）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，圆的半径为2，且CB＝CD＝2，AB＝AD，则
该S ＝（ ）
四边形ABCDA．4 B．2 C．3 D．6
【思路引导】连接AC，求出 ＝ ，求出AC是圆的直径，根据勾股定理求出AD、AB，分别求出
△ADC和△ABC的面积即可．
【完整解答】解：连接AC，
∵CB＝CD，AD＝AB，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
即AC是圆的直径，
∴∠D＝∠B＝90°，
∵圆的半径为2，
∴AC＝4，
∵CB＝CD＝2，
由勾股定理得：AD＝AB＝ ＝2 ，
∴S
四边形ABCD
＝S +S
△ADC △ABC
＝ +＝ +
＝4 ，
故选：A．
6．（2021•碑林区校级模拟）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3 ，则⊙O
的周长为（ ）
A．6 π B．4 π C．3 π D．4π
【思路引导】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出 ＝ ，根据圆周角定理求出∠BAC＝
∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC＝ （180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝
90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．
【完整解答】解：连接AB，AO，DO，
∵⊙O的弦AC＝BD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC＝ （180°﹣∠AEB）＝45°，∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝3 ，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝3 ，
∴⊙O的周长是2×π×3 ＝6 π，
故选：A．
7．（2021•南平模拟）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若∠ADB＝∠ACB＝
90°，则下面结论不一定正确的是（ ）
A．DC＝CB
B．∠DAC＝∠DBC
C．∠BCD+∠BAD＝180°
D．点A、C、D到点O的距离相等
【思路引导】由点O为AB的中点，∠ADB＝∠ACB＝90°，可知D，C在以O为圆心，AB为直径的圆
上，由圆心角定理可证．
【完整解答】解：∵点O为AB的中点，∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴D，C在以O为圆心，AB为直径的圆上，如图，
∴∠DAC＝∠DBC，∠BCD+∠BAD＝180°，点A、C、D到点O的距离相等，
当∠DAC＝∠BAC时，DC＝CB，而题目中未给出．
故选：A．
8．（2021•南海区模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是 的中点，若⊙O的半径为5，
则四边形ACBO的面积为（ ）A．25 B．25 C． D．
【思路引导】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得
△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【完整解答】解：连OC，如图，
∵C是 的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S ＝2× ＝ ．
四边形AOBC
故选：D．
9．（2020秋•北碚区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆
上一点，若AE＝BF， ，OE＝1，则BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【思路引导】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．利用全等三角形的
性质证明AE＝CJ＝BF＝BH，CT＝BH．EH＝BH，再利用勾股定理求出EC，BC即可．
【完整解答】解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．
∵AB⊥CD，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OC⊥AF，
∴∠AJO＝∠CEO＝90°，
∵∠AOJ＝∠COE，OA＝OC，
∴△AJO≌△CEO（AAS），
∴OJ＝OE，
∴AE＝CJ，
∵AB是直径，
∴∠F＝∠CJT＝90°，
∵AE＝BF，
∴BF＝CJ，
∵∠CTJ＝∠BTF，
∴△CTJ≌△BTF（AAS），
∴CT＝BT，
∵TH⊥AB，CD⊥AB，
∴TH∥CE，
∴EH＝BH，∵ ＝ ，
∴∠TBF＝∠TBH，
∵∠F＝∠THB＝90°，BT＝BT，
∴△BTF≌△BTH（AAS），
∴BF＝BH，
∵AE＝BF，
∴AE＝BH，
∵OA＝OB，
∴OE＝OH＝1，
∴EH＝BH＝2，
∴AE＝BH＝2，
∴AB＝6，OC＝OB＝3，
∴EC＝ ＝ ＝2 ，
∴BC＝ ＝ ＝2 ，
故选：A．
二．填空题
10．（2021•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙
两部分．S 表示甲的面积，则S ＝ ．
甲 甲
【思路引导】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S ＝S ，S ＝S ，根据三角
弓形AD 弓形BC 弓形AB 弓形CD
形的面积公式得到S +S ＝S +S ，于是得到结论．
△ABE △DEF △BEF △CDF【完整解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∴S ＝S ，S ＝S ，
弓形AD 弓形BC 弓形AB 弓形CD
∵S +S ＝S +S ，
△ABE △DEF △BEF △CDF
∴S ＝S ＝ S ＝ ，
甲 乙 圆
故答案为： ．
11．（2021•下城区一模）如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B
＝40°，则∠OCB＝ 20 ° ．
【思路引导】首先连接AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC＝∠AOB，再根据三角形内角和
得到∠OBA＝∠OBC，再由∠ABC＝40°，OB＝OC，即可得到结果．
【完整解答】解：如图，连接AO，BO，
∴OA＝OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA，
∵AB＝BC，
∴∠BOC＝∠AOB，
∴∠OBA＝ （180°﹣∠AOB）＝ （180°﹣∠BOC）＝∠OBC，
∵∠ABC＝40°，OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°．
故答案为：20°．
12．（2021春•温州月考）如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4 +8，点E为弧AB的中点，C为半
径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则
OE′＝ 4 ．
【思路引导】过E点作EH⊥OA于H，过E′点作E′⊥OA于F，连接OE，如图，设OF＝x，利用
∠AOB＝60°得到OE′＝2x，E′F＝ x，再利用点E为弧AB的中点得到∠AOE＝30°，所以EH＝
OE＝2 +4，OH＝ EH＝6+4 ，接着证明△CEH≌△E′CF，则CH＝E′F＝ x，CF＝EH＝2
+4，则可列方程x+2 +4+ x＝6+4 ，然后解方程求出x，从而得到OE′的长．
【完整解答】解：过E点作EH⊥OA于H，过E′点作E′⊥OA于F，连接OE，如图，设OF＝x，
∵∠AOB＝60°，
∴OE′＝2OF＝2x，E′F＝ OF＝ x，
∵点E为弧AB的中点，
∴∠AOE＝∠BOE＝ ∠AOB＝30°，
∴EH＝ OE＝ （4 +8）＝2 +4，
OH＝ EH＝6+4 ，
∵线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，∴CE＝CE′，∠ECE′＝90°，
∵∠ECH+∠CEH＝90°，∠ECH+∠E′CF＝90°，
∴∠CEH＝∠E′CF，
在△CEH和△E′CF中
，
∴△CEH≌△E′CF（AAS），
∴CH＝E′F＝ x，CF＝EH＝2 +4，
∵OH＝OF+FC+CH，
∴x+2 +4+ x＝6+4 ，解得x＝2，
∴OE′＝2x＝4．
故答案为4．
13．（2020秋•永定区月考）如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时
针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，…，则第2020秒点P所
在位置的坐标为 （﹣ 1 ， 0 ） ．
【思路引导】首先判断点P所在位置以8秒为一个周期依次循环，再求出第2020秒点P所在位置与B
点重合即可．
【完整解答】解：∵动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，
360÷45＝8，∴点P所在位置以8秒为一个周期依次循环，
∵2020÷8＝252•••4，
∴第2020秒点P所在位置与B点重合，即（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
14．（2021•秦淮区一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°， ＝ ，则
∠DAB＝ 6 8 °．
【思路引导】根据圆周角定理及已知可求得∠B的度数，从而可求得∠ADC的度数，再根据三角形内角
和公式即可求得∠DAC的度数，从而可得出∠BAD的度数．
【完整解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝46°，
∴∠B＝44°．
∴∠ADC＝180°﹣44°＝136°．
∵ ＝ ，
∴AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA＝ ＝22°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝22°+46°＝68°．
故答案是：68．
15．（2021•青浦区二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2
，∠AMC＝120°，那么OM的长为 ．【思路引导】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角
形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．
【完整解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，
则AE＝BE＝ AB＝ ，CF＝DF＝ CD＝ ，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE＝ ，
∴OE＝ ＝1，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，
∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），
∴∠OME＝∠OMF＝ ∠AMC＝60°，
∴OM＝ ＝ ，
故答案为： ．
16．（2021•锡山区一模）如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的
度数为 52 ° ．【思路引导】根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠OBC，求出∠C，再根据圆周角定理求出∠AOB＝
2∠C，再求出答案即可．
【完整解答】解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝26°，
∴∠AOB＝2∠C＝52°，
故答案为：52°．
17．（2021•无为市三模）已知四边形ABCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝
BC，∠ABE＝90°，则AD的长为 ．
【思路引导】如图，连接OD，AC．首先证明∠ACE＝ ∠ABE＝45°，推出∠AOD＝2∠ACE＝90°，可
得结论．
【完整解答】解：如图，连接OD，AC．
∵BA＝BE＝BC，∴点B是△AEC的外接圆的圆心，
∴∠ACE＝ ∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACE＝90°，
∵OA＝OD＝5，
∴AD＝5 ，
故答案为：5 ．
18．（2020秋•射阳县校级期末）如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是
上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是 ＜ S ≤ ．
【思路引导】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC面积最大，
则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长，进而得出答案．
【完整解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，
∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，
∴CF＝FO＝ ，
∴S ＝ ×1× ＝ ，
△AOC
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近 但是不能取到，
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD＝90°时DE最长为半径，
S ＝S +S ＝ + ×1×1＝ ．
四边形AODC △AOC △COE
∴ ＜S≤ ，故答案为： ＜S≤ ．
三．解答题
19．（2021春•长沙县月考）已知锐角∠POQ，如图，在射线OP上取一点A，以点O为圆心，OA长为半
径作 ，交射线OQ于点B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，交 于点E，F，连
接OE，EF．
（1）证明：∠EAO＝∠BAO；
（2）若OE＝EF．求∠POQ的度数．
【思路引导】（1）由题意得OB＝OE＝OA，AE＝AB，则∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO，
，再证出∠AOE＝∠AOB，即可得出结论；
（2）连接 OE、OF，证 OE＝OF＝EF，则∠EOF＝60°，再证 ，得∠AOE＝∠BOF＝
∠AOB，即可求解．
【完整解答】（1）证明：连接AE、OE、OF，如图所示，由题意得：OB＝OE＝OA，AE＝AB，
∴∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO， ，
∴∠AOE＝∠AOB，
∴∠EAO＝∠BAO；
（2）解：∵OE＝OF，OE＝EF，
∴OE＝OF＝EF，
∴∠EOF＝60°，
∵AE＝BF＝AB，
∴ ，
∴∠AOE＝∠BOF＝∠AOB，
∴∠POQ＝ ∠EOF＝20°．
20．（2020秋•淮安期末）如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、
OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？
【思路引导】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC＝∠BOC，又由D、E分别是半径OA、OB的中点，
可得OD＝OE，利用SAS判定△DOC≌△EOC，继而证得结论．
【完整解答】解：CD＝CE，理由如下：
∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OA＝OB，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD＝OE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），∴CD＝CE．
21．（2020秋•青田县期末）如图，在⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝BC．
【思路引导】根据AB＝CD，得到 ＝ ，得到 ＝ ，证明结论．
【完整解答】证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，即 ＝ ，
∴AD＝BC．
22．（2021春•昌江区校级期末）已知：在圆O内，弦AD与弦BC相交于点G，AD＝CB，M、N分别是
CB和AD的中点，联结MN、OG．
（1）证明：OG⊥MN；
（2）联结AB、AM、BN，若BN∥OG，证明：四边形ABNM为矩形．
【思路引导】（1）证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），推出OM＝ON，证明Rt△OMG≌Rt△ONG
（HL），推出GM＝GN，由OM＝ON，推出OG垂直平分线段MN，即OG⊥MN．
（2）设OG交MN于J．证明四边形ABNM是平行四边形，由AN＝BM，推出四边形ABNM是矩形．
【完整解答】证明：（1）连接OM，ON，OD，OC．
∵BM＝CM，AN＝ND，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
∴∠OMC＝∠OND＝90°，
∵AD＝BC，
∴CM＝DN，
∵OD＝OC，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OM＝ON，
∵OG＝OG，∠OMG＝∠ONG＝90°，
∴Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），∴GM＝GN，
∵OM＝ON，
∴OG垂直平分线段MN，即OG⊥MN．
（2）设OG交MN于J．
∵OG垂直平分线段MN，
∴MJ＝JN，
∵AN＝BM．GM＝GN，
∴AG＝BG，
∵BN∥OG，MJ＝JN，
∴BG＝GM，
∴AG＝BG＝GN＝GM，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AN＝BM，
∴四边形ABNM是矩形．
23．（2021•兴安盟）如图，AB是⊙O的直径， ＝ ＝2 ，连接AC、CD、AD．CD交AB于点F，过
点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．【思路引导】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系及垂径定理进行证明即可；
（2）根据等边三角形的性质及三角形的内角和得到∠DAB＝ ∠DAC＝30°，再由 BM⊥AB，
CD⊥AB，得到BM∥CD，利用平行线的性质得到∠AEB＝∠ADC＝60°，进而利用含30°角的直角三角
形的性质及勾股定理进行求解即可．
【完整解答】证明：（1）∵ ＝ ＝2 ，
∴AD＝CD，B是CD的中点，
∵AB是直径，
∴AD＝AC，
∴AC＝CD；
（2）如图，连接BD，
∵AD＝DC＝AC，
∴∠ADC＝∠DAC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠DAB＝ ∠DAC＝30°，∵BM切⊙O于点B，AB是直径，
∴BM⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴BM∥CD，
∴∠AEB＝∠ADC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△BDE中，
∵∠DBE＝90°﹣∠DEB＝30°，
∴BE＝2DE＝4，
∴BD＝ ＝ ＝2 ，
在Rt△BDA中，
∵∠DAB＝30°，
∴AB＝2BD＝4 ，
∴OB＝ AB＝2 ，
在Rt△OBE中，OE＝ ＝ ＝2 ．
24．（2021•青山区模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CE，CF与AB分别交于点D，点G，若AD＝AE，
点F是 的中点．
（1）求证：点G为FC中点；
（2）若tan∠F＝ ，求 的值．
【思路引导】（1）根据圆周角定理可得∠EAF＝∠BAF＝∠C，由等腰三角形三线合一的性质得：
AH⊥ED，最后由三角形的内角和定理及垂径定理可得结论；（2）连接DF，根据垂直平分线的性质得：DF＝CD，设CD＝a，则DF＝a，并根据三角函数设CH＝
4x，FH＝3x，则DH＝4x﹣a，最后根据勾股定理可得结论．
【完整解答】（1）证明：∵点F是 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠EAF＝∠BAF＝∠C，
∵AE＝AD，
∴AH⊥ED，
∴∠AHD＝90°，
∵∠ADH＝∠CDG，
∴∠CGD＝∠AHD＝90°，
∴AB⊥CF，
∵AB为⊙O的直径，
∴点G为FC中点；
（2）解：连接DF，
∵AB⊥CF，G是CF的中点，
∴DF＝CD，
设CD＝a，则DF＝a，
Rt△CHF中，tan∠AFC＝ ＝ ，
设CH＝4x，FH＝3x，则DH＝4x﹣a，
Rt△DHF中，DH2+FH2＝DF2，
∴（3x）2+（4x﹣a）2＝a2，
解得：x＝0，x＝ ，
1 2∴a＝ x，
∴ ＝ ＝ ．
25．（2021•鄞州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC
于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
【思路引导】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
【完整解答】解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴ ．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵ •AF•BC＝ •AC•AB，
∴ ，
∴ ．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴ ．
26．（2020秋•怀安县期末）如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点
F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
【思路引导】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又
知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；
（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的
半径；再利用面积法求得CE的长．【完整解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．（2分）
又∵C是 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵ ＝ ，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S ＝ AB•CE＝ BC•AC，
△ABC
∴CE＝ ＝ ＝ ．
27．（2017秋•建昌县期末）已知：如图，MN、PQ是⊙O的两条弦，且QN＝MP，求证：MN＝PQ．
【思路引导】根据圆心角、弧、弦的关系解答即可．【完整解答】证明：∵QN＝MP，
∴
∴ ，即
∴MN＝PQ．
28．（2017秋•洪泽县校级月考）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD．求证：AC＝BD．
【思路引导】根据圆心角、弧、弦的关系由AB＝CD得到 ，则 ，所以AC＝BD．
【完整解答】证明：∵AB＝CD，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴AC＝BD．
