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专题 06 待定系数求二次函数的解析式
考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式 考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式
考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式 考点四 已知顶点式求二次函数的解析式
考点五 已知交点式求二次函数的解析式
考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2
(1)若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；
(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线 （ ）经过点（
，0）．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点A（ ，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点
A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．
考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式
例题：（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 图像恰好经过
A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．【变式训练】
1．（2023·湖北·襄州七中九年级阶段练习） 如图，已知二次函数 的图象经过点A(2，
0)，B(0，-6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
2．（2021·山东·嘉祥县金屯镇中学九年级阶段练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A
（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直
接写出所有符合条件的点Q的坐标．考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式
例题：（2021·四川·邻水县坛同镇初级中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝ c的图象经过
（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)写出此抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．
【变式训练】
1．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于点A（-2，0）
和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，求AD+CD的最小值．
(3)点P是直线BC上方的点，连接CP，BP，若△BCP的面积等于3，求点P的坐标．
2．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线 与x轴的交点坐标A(﹣
4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．(1)求出抛物线的解析式；
(2)求出△ABD的面积；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明理
由．
3．（2021·河南·睢县第二中学九年级期中）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0， )三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？
若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点四 已知顶点式求二次函数的解析式
例题：（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）已知抛物线经过点 ， ，
三点，求抛物线的解析式．
【变式训练】1．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如图，已知抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴
交于点 ，抛物线的顶点为 ，连接 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理
由．
2．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于（-1，0），
(3，0)两点，且图象过点(0，3)，
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)写出它的开口方向、对称轴
3．（2022·河南·开封市东信学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，
0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．
考点五 已知交点式求二次函数的解析式
例题：（2021·宁夏·石嘴山市第九中学九年级期中）已知抛物线的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，
0），求此二次函数的解析式．
【变式训练】
1．（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学九年级阶段练习）已知某二次函数的图象经过点（2，-6），当x＝
1时，函数的最大值为-4，求此二次函数的解析式．
2．（2020·天津市西青区当城中学九年级阶段练习）抛物线的顶点坐标为（3，－1）且经过点（2，3），
求该抛物线解析式．
3．（2020·天津市西青区张家窝中学九年级阶段练习）已知二次函数图像的顶点坐标（-1，-3），且经过点
（1，5），求此二次函数的表达式．
4．（2022·湖北武汉·九年级期中）已知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，且函数有最小值－4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若0＜x＜4，求函数值y的取值范围．一、选择题
1．（2022·云南·通海县东麓中学九年级期中）若抛物线 的顶点为 ，且经过点A关于
原点O的对称点 ，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，
则a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
3．（2022·全国·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断
不正确的是（ ）
x 0 1 2
y 0 1.5 2 1.5
A．当 时，y随x的增大而增大 B．当 时，
C．顶点坐标为(1，2) D． 是方程 的一个根
4．（2022·北京·日坛中学九年级期中）已知抛物线 上的部分点的横坐标 与纵坐标 的对应
值如表：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线 的开口向下 B．抛物线的对称轴是 轴
C．方程 的根为0和2 D．当 时， 随 增大而增大二、填空题
5．（2021·信达外国语学校九年级期中）抛物线 的顶点坐标是 ，则该抛物线的解析式
是__________．
6．（2022·天津市汇文中学九年级期中）已知二次函数 的图像经过点 ，且这个二次
函数图像的对称轴是 ，则二次函数的解析式为___________．
7．（2022·北京市房山区燕山教委九年级期中）小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的
对应值：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 0 …
该二次函数的解析式是__________．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应
值如表． 下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=4时，y=5；④3是方程
ax2+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的有______ ．（填正确结论的序号）
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
三、解答题
9．（2022·福建·龙岩莲东中学九年级期中）若二次函数图象经过 ，求此二次函数的解析
式．
10．（2022·北京市回民学校九年级期中）已知二次函数的图像顶点为 ，且经过点 ．求这
个二次函数的表达式．
11．（2022·广东·广州市第二中学九年级期中）已知二次函数的图象经过点 ，对称轴为直线 ，
函数的最小值为 ．(1)求此函数的解析式；
(2)当y随x的增大而增大时，x的取值范围为______（请直接写出答案）．
12．（2022·福建·漳州三中九年级期中）已知：二次函数 中的x和y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y 3 0 0 m 8
(1)m的值为 ；
(2)当 时，则y的取值范围为 ；
(3)求出这个二次函数的解析式．
13．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期中）如图，抛物线 经过点 ， ，与
轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)点 在射线 上，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ， （点 在点 的左侧）．若 ，
求点 的坐标．14．（2021·内蒙古·呼和浩特市实验中学察哈尔校区九年级期中）已知，二次函数 （a≠0）
中的x，y满足下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y …… 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …
(1)求该二次函数的解析式；
(2)m的值为________；
(3)若 、 两点都在该函数的图象上，且 ，试比较 与 的大小．
15．（2022·北京四中九年级期中）已知，抛物线 ： 经过点 ， ．
(1)求抛物线 的对称轴；
(2)平移抛物线 ： ，使其顶点在直线 上，设平移后的抛物线 的顶点的横坐标
为 ．求抛物线 与 轴交点的纵坐标的最大值．
(3)在（2）的条件下，抛物线 与 轴交于点 ，将其向左平移2个单位得到点 ，若抛物线 与线段
只有1个公共点，直接写出 的取值范围．
