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专题 06 待定系数求二次函数的解析式
考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式 考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式
考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式 考点四 已知顶点式求二次函数的解析式
考点五 已知交点式求二次函数的解析式
考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2
(1)若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；
(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
【答案】(1)y＝x2+2x
(2)（﹣2，0）
【分析】（1）用待定系数法将（0，0）代入 进行计算即可得；
（2）设抛物线 的顶点坐标为（p，q），即可得 ，
，顶点移到最高处，即是q取最大值，而 进行计算，
利用二次函数的性质即可得．
（1）
解：将（0，0）代入 得：
，
解得m＝1，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设抛物线 的顶点坐标为（p，q），
则 ， ，
顶点移到最高处，即是q取最大值，
而
＝
＝
＝ ，
∵ ，
∴当 时，q最大值是0，
此时 ，
∴当顶点移到最高处时，抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是作为待定系数法，二次函数的性质．
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线 （ ）经过点（
，0）．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点A（ ，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点
A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）将点（-2，0）代入求解；（2）分别求出点A、B坐标，根据图像开口方向及顶点坐标求解．
（1）
解：把（-2，0）代入 ，
可得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ，
∵ ，
∴抛物线顶点坐标为 ；
（2）
把 代入 ，
可得 ，
∴ ，
把 代入函数解析式得 ，
解得 或 ，
∴ 或 ，
∵n为正数，
∴ ，
∴点A坐标为 ，点B坐标为 ，
∵抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
∴抛物线顶点在 下方，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以
及待定系数法求函数解析式．
考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式
例题：（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 图像恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．
【答案】
【分析】利用待定系数法解答，即可求解．
【详解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入 ，得：
，
解得： ，
所以该抛物线解析式为 ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的方法是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023·湖北·襄州七中九年级阶段练习） 如图，已知二次函数 的图象经过点A(2，
0)，B(0，-6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式；
（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据 可得出答案．（1）
解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入 得：
，
解得： ，
故这个二次函数的解析式为： ．
（2）
∵二次函数的解析式为： ，
∴二次函数的对称轴为x＝4，
∴ （4，0），B（0，−6）
∴OC＝4， ，
∵点A（2，0），
∴AC＝2，
故 ．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的
坐标与线段长度之间的转换．
2．（2021·山东·嘉祥县金屯镇中学九年级阶段练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A
（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直
接写出所有符合条件的点Q的坐标．
【答案】(1)y＝
(2)存在，点P的坐标为：（﹣2+ ，﹣6）或（﹣2﹣ ，﹣6）或（﹣4，6）
(3)点Q的坐标为 （﹣2，2 ）或 （﹣2，﹣2 ）或 （﹣2，12）
【分析】（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入 解方程组即可；
（2）先假设存点P，设出P点坐标，利用△PAB的面积与△ABC的面积相等建立方程求解即可；
（3）如图1中，分三种情形①当 时，②当 时，③当 时，分别求解即可．
（1）
解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入 ，得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）
存在，P（﹣2+ ，﹣6）或（﹣2﹣ ，﹣6）或（﹣4，6），
理由如下：
∵A（2，0）、B（﹣6，0）、 ，
∴AB＝8，C（0，6），OC＝6，
设点P的纵坐标为 ，由△PAB的面积与△ABC的面积相等，得：，
∴ ．
解得： 或 ．
当 时， ＝﹣6，
解得 ，
当 时， ＝6，
解得： （此时与点C重合，舍去）， ，
综上所述，点P的坐标为：（﹣2+ ，﹣6）或（﹣2﹣ ，﹣6）或（﹣4，6）；
（3）
解：如图
∵抛物线的解析式为： ，
∴它的对称轴为直线x＝﹣2，
∴M（﹣2，0），
设点Q坐标为（﹣2，t）．
∵ 中，当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
∵M（﹣2，0），
∴ ， ， ．
①当CQ＝QM时， ，
解得 ，
∴点Q的坐标为 ，此时，MC不是腰，不符合题意，舍去；②当CM＝QM时， ，
解得： ，
∴点Q的坐标为 或 ，
③当CM＝CQ时， ，
解得：t＝0（舍去），或t＝12，
∴Q点坐标为
综上所述，符合条件的点Q的坐标为 （﹣2，2 ）或 （﹣2，﹣2 ）或 （﹣2，12）
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积问题等知识，解
题的关键是分类讨论思想的运用，属于中考压轴题．
考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式
例题：（2021·四川·邻水县坛同镇初级中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝ c的图象经过
（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)写出此抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．
【答案】(1)y＝
(2)抛物线的开口象上，对称轴为直线x＝﹣ ，顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），当x≤﹣ 时，y随x的增大而减小，当x＞ 时，y随x的增大增大，当x＝ 时，y取最小值﹣ ．
【分析】（1）用待定系数法直接可得函数的解析式；
（2）配成顶点式，根据二次函数性质可得答案．
（1）
解：把（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）代入y＝ 得：
解得 ，
∴这个函数的解析式为y＝ ；
（2）
∵y＝2 +x﹣2＝2 ﹣ ，
∴抛物线的开口象上，对称轴为直线x＝﹣ ，顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），
当x≤﹣ 时，y随x的增大而减小，当x＞ 时，y随x的增大增大，
当x＝ 时，y取最小值﹣ ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析式．
【变式训练】
1．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于点A（-2，0）
和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，求AD+CD的最小值．
(3)点P是直线BC上方的点，连接CP，BP，若△BCP的面积等于3，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接BD，根据二次函数的的对称性可得AD=BD，可得到当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最
小，最小值等于BC的长，利用勾股定理求出BC，即可求解；
（3）过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，先求出直线BC的解析式，设点 ，则点
，可得 ，再根据△BCP的面积等于3，列出方程，即可求解．
（1）
解：把点A（-2，0），点B（4，0），点C（0，4）代入得：
，
解得： ，∴抛物线的解析式为 ；
（2）
如图，连接BD，
∵点D在抛物线的对称轴上，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD≥BC，
∴当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最小，最小值等于BC的长，
∵点B（4，0），点C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴ ；
（3）
解：如图，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（4，0），点C（0，4）代入得：
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∵△BCP的面积等于3，∴ ，
解得：m=1或3，
∴点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，
利用数形结合思想解答是解题的关键．
2．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线 与x轴的交点坐标A(﹣
4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)求出△ABD的面积；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明理
由．
【答案】(1)y＝
(2)△ABD的面积为6
(3)存在，点E的坐标为(﹣1，﹣ )
【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论；
（2）利用抛物线解析式求得点D坐标，利用点的坐标表示出线段OA，OB，OD的长度，根据三角形的面
积公式即可求得结论；
（3）连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小；分别求得对称轴方程和直线AD的解析式，联立后解
方程组即可求得点E坐标．
（1）
∵物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），∴ ，
解得： ．
∴抛物线的解析式为y＝ ．
（2）
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
∴OD＝2．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝OA+OB＝6．
∴ AB•AD＝ ×6×2＝6．
∴△ABD的面积为6．
（3）
在抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，理由：
∵y＝ ＝ ＝ ，
∴抛物线y＝ 的对称轴为直线x＝﹣1．
连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小，如图，设直线AD的解析式为y＝kx+m，由题意得：
，
解得： ．
∴直线AD的解析式为y＝﹣ x﹣2．
∴ ．
解得： ．
∴E（﹣1，﹣ ）．
∴抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，点E的坐标为（﹣1，﹣ ）
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二
次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，轴对称的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长
度是解题的关键．
3．（2021·河南·睢县第二中学九年级期中）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0， )三点．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？
若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（1，1）
(3)存在， ， ， ， ，
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（3，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即
可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
（1）
解：设抛物线的解析式为 ，
， ， 三点在抛物线上，
，解得 ．
抛物线的解析式为： ．
（2）
抛物线的解析式为 ，
其对称轴为直线： ．
连接 ，设直线 的解析式为 ，
， ，
解得 ．
直线 的解析式为 ．
当 时， ．
；
（3）
存在．如图2所示．①当点 在 轴上方时，
抛物线的对称轴为直线 ， ，
；
②当点 在 轴下方时，
如图，过点 作 轴于点 ，
△ △ ．
，即 点的纵坐标为 ．
．解得 或 ，
， ， ， ．
综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ， ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合知识，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四
边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
考点四 已知顶点式求二次函数的解析式
例题：（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）已知抛物线经过点 ， ，
三点，求抛物线的解析式．【答案】
【分析】解法一：根据A（﹣2，0），B（ ，0），可设交点式，代入C点坐标即可求得二次函数的解
析式；
解法二：可设一般式，代入A、B、C点坐标即可求二次函数的解析式．
【详解】解：解法一：设
代入C（0，2）得
解得：
，
∴ ，
解法二：设
代入A（﹣2，0），B（ ，0），C（0，2）三点，得
，解得：
，
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【变式训练】
1．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如图，已知抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，连接 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)存在， ，
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，再把 代入求出 的值即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点 的坐标，利用待定系数法
求出直线 的解析式，求出 点的坐标，所以可得出 的面积，进而得出点 的坐标．
（1）
解：∵抛物线与x轴交于 ， 两点，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ；
（2）
解：∵抛物线的解析式为 ；∴其对称轴 ，顶点 的坐标为 ，
∵点 在抛物线的对称轴上，
∴设 ，
∵ ， ，
∴设过点 、 的直线解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴直线 与 轴的交点的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
当点 在 点上方时， ，解得 ，
∴此时 ；
当点 在 点下方时， ，解得 ，
∴此时 ，
综上所述，可得： ， ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、三角形的面积公式，解本题的关
键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题．
2．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于（-1，0），
(3，0)两点，且图象过点(0，3)，
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)写出它的开口方向、对称轴
【答案】(1)
(2)开口向下，对称轴为直线
【分析】（1）设这个二次函数的解析式为 ，然后把点(0，3)代入，即可求解；
（2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解．
（1）
解：设这个二次函数的解析式为 ，
把点(0，3)代入得： ，
解得： ，
∴这个二次函数的解析式为 ；
（2）
解：∵ ，
∴二次函数开口向下，
∵ ，∴二次函数的对称轴为直线 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常
选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为
顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函
数的性质．
3．（2022·河南·开封市东信学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，
0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点式和待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接BC，BC与直线l的交点即为M．
（1）
解：设二次函数的解析式为： ，
将点C（0，﹣3）代入得： ，
解得： ，
∴ ；
∴函数的解析式为： ．
（2）解：抛物线的对称轴为： ；
点A关于直线l的对称点为点B，
连接BC，则BC是点M到点A，点C的距离之和的最小值，
设直线BC的解析式为： ，则：
，解得： ，
∴ ，
设 ，代入得：
，
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，准确求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行解题是解题的
关键．本题的动点问题是将军饮马问题，找到定点的对称点，与另一个定点形成的线段即为最短距离．
考点五 已知交点式求二次函数的解析式
例题：（2021·宁夏·石嘴山市第九中学九年级期中）已知抛物线的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，
0），求此二次函数的解析式．
【答案】
【分析】设抛物线的顶点式 ，将顶点P（﹣2，3）及点A（﹣3，0）代入即可解答．
【详解】解：设二次函数解析式为： ，
∵顶点坐标为P（﹣2，3），
∴ ，将点A（﹣3，0）代入得 ，解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，正确设出二次函数解析式是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学九年级阶段练习）已知某二次函数的图象经过点（2，-6），当x＝
1时，函数的最大值为-4，求此二次函数的解析式．
【答案】
【分析】根据题意得到抛物线的顶点坐标为（1，-4），于是可设顶点式 ，然后把（2，-6）
代入求出a的值即可．
【详解】解：∵当x=1时，函数的最大值为-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），
设所求二次函数解析式为 ，
把（2，-6）代入得 ，解得a=-2，
∴此二次函数解析式为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
2．（2020·天津市西青区当城中学九年级阶段练习）抛物线的顶点坐标为（3，－1）且经过点（2，3），
求该抛物线解析式．
【答案】
【分析】因为抛物线的顶点坐标为M（3，﹣1），所以设此二次函数的解析式为 ，把点
（2，3）代入解析式即可解答．【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），
设此二次函数的解析式为 ，
把点（2，3）代入解析式，得：
a﹣1＝3，即a＝4，
∴此函数的解析式为 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式
求解简单．
3．（2020·天津市西青区张家窝中学九年级阶段练习）已知二次函数图像的顶点坐标（-1，-3），且经过点
（1，5），求此二次函数的表达式．
【答案】
【分析】由于已知二次函数的顶点坐标，则可设顶点式 ，然后把（1，5）代入求出a即可．
【详解】解：设二次函数的解析式为 ，
把（1，5）代入得a•4﹣3＝5，解得a＝2，
所以二次函数的解析式为 ．
即 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常
选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为
顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
4．（2022·湖北武汉·九年级期中）已知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，且函数有最小值－4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若0＜x＜4，求函数值y的取值范围．
【答案】(1) （或 ）
(2)
【分析】（1）利用二次函数的对称性可由抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，得到抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为 ，于是可设顶点式 ，然后把 代入求出a的值即
可；
（2）求得 和 的函数值，即可求得结论．
（1）
∵抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵函数有最小值-4，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 （或 ）．
（2）
∵ ，
∴抛物线开口向上，函数有最小值为 ，
当 时， ，
∴当 时，函数值y的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，
求得顶点坐标是解题的关键．一、选择题
1．（2022·云南·通海县东麓中学九年级期中）若抛物线 的顶点为 ，且经过点A关于
原点O的对称点 ，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得抛物线的解析式为 ，再求得点A关于原点O的对称点 的坐标，代入
求解即可
【详解】解：∵抛物线 的顶点为 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵点A关于原点O的对称点 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
故选：D
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关于原点对称的点的特征，熟练掌握二次函数的性
质及待定系数法求解二次函数解析式的方法进行计算是解决本题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，
则a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【答案】B
【分析】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx+1得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到a和b的值．【详解】解：根据题意得 ，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据已知条件列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断
不正确的是（ ）
x 0 1 2
y 0 1.5 2 1.5
A．当 时，y随x的增大而增大 B．当 时，
C．顶点坐标为(1，2) D． 是方程 的一个根
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出二次函的解析式，得出顶点坐标，可判断选项C；由函数的增减性质可判断
选项A；代入x=4，可求得y的值，可判断选项B；由x=-1时，y=0，可判断选项D；即可得出结论．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
∴二次函数y=ax2+bx+c的解析式为y=- x2+x+ =- （x-1）2+2，
∴顶点坐标为(1，2)，选项C不符合题意；
∵- 开口向下，∴x＜1时，y随x的增大而增大，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
当x=4时，y=-2.5，选项B符合题意；
∵x=-1时，y=0，∴x=-1是方程 的一个根，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识．熟练掌握二次函数图象的性质是解题
的关键．4．（2022·北京·日坛中学九年级期中）已知抛物线 上的部分点的横坐标 与纵坐标 的对应
值如表：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线 的开口向下 B．抛物线的对称轴是 轴
C．方程 的根为0和2 D．当 时， 随 增大而增大
【答案】C
【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据二次函数解析式和性质依次进行判断即可.
【详解】解：将 代入抛物线的解析式得；
，解得：
所以抛物线的解析式为：
A、 ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线 ，故选项错误，不符合题意；
C、方程 的根为 和 ，故选项正确，符合题意；
D、在 时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意.
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图像与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出
解析式，然后利用函数的图像及性质解答．
二、填空题
5．（2021·信达外国语学校九年级期中）抛物线 的顶点坐标是 ，则该抛物线的解析式
是__________．【答案】
【分析】根据解析式可知 ，设顶点式即可求解．
【详解】∵抛物线 的顶点坐标是 ，
设 ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，掌握顶点式是解题的关键．
6．（2022·天津市汇文中学九年级期中）已知二次函数 的图像经过点 ，且这个二次
函数图像的对称轴是 ，则二次函数的解析式为___________．
【答案】
【分析】根据抛物线经过点 与对称轴 ，用待定系数法求解二次函数的解析式即可．
【详解】解： 二次函数 的图像经过点 ，且这个二次函数图像的对称轴是 ，
，
解得
二次函数的解析式为： ；
故答案为： ．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，正确理解题意，准确列出方程组是解答此题的关键．
7．（2022·北京市房山区燕山教委九年级期中）小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 0 …
该二次函数的解析式是__________．
【答案】
【分析】设二次函数的解析式为 ，根据表格可把点 代入解析式进行求解即
可．
【详解】解：设二次函数的解析式为 ，由表格可把点 代入得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求解二次函数的解析式是解题的关键．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应
值如表． 下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=4时，y=5；④3是方程
ax2+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的有______ ．（填正确结论的序号）
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
【答案】①④##④①
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+3，然后判断出①正确，②错误；再根据代自
变量求函数值和一元二次方程的解法判定③④．
【详解】解：将（﹣1，﹣1）、（0，3）、（1，5）代入y＝ax2+bx+c，得 ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+3．
经检验，当x=3时，y=3满足函数关系式.
①ac＝﹣1×3＝﹣3＜0，
∴结论①正确；
②∵y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x− ）2 ，
∴当x 时，y的值随x值的增大而减小，
∴结论②不正确；
③当x＝4时，y＝﹣42+3×4+3＝﹣1，
∴结论③不正确；
④ax2+（b﹣1）x+c＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+1）（x－3）＝0，
∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
∴结论④正确；
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数的性质以及因式分解法解一元二次方程，
根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
三、解答题
9．（2022·福建·龙岩莲东中学九年级期中）若二次函数图象经过 ，求此二次函数的解析
式．
【答案】
【分析】根据题意可设抛物线解析式为 ，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：根据题意可设抛物线解析式为 ，将点 代入，得： ，
解得： ，
∴该二次函数解析式为 ，
即 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的的解析式，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键．
10．（2022·北京市回民学校九年级期中）已知二次函数的图像顶点为 ，且经过点 ．求这
个二次函数的表达式．
【答案】
【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式 ，然后把 代入求出a的值即可．
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为 ．
【点睛】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求．
11．（2022·广东·广州市第二中学九年级期中）已知二次函数的图象经过点 ，对称轴为直线 ，
函数的最小值为 ．
(1)求此函数的解析式；
(2)当y随x的增大而增大时，x的取值范围为______（请直接写出答案）．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设二次函数的解析式为 ，
∵二次函数的图象经过点 ，
∴ ，解得
∴ ．
（2）∵二次函数 ，对称轴为直线 ，
∴开口向上，
∴y随x的增大而增大时， ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是求出二次函数解析式．
12．（2022·福建·漳州三中九年级期中）已知：二次函数 中的x和y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y 3 0 0 m 8
(1)m的值为 ；
(2)当 时，则y的取值范围为 ；
(3)求出这个二次函数的解析式．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）观察表格可知当 与当 时的函数值相同，即可得到抛物线对称轴，然后根据对称性
可直接得出m的值；
（2）根据（1）中求出的对称轴，结合表中数据得到抛物线的顶点坐标，即可得出y的取值范围；
（3）代入表格中前三组值，运用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：由表格得当 与当 时的函数值相同，二次函数的对称轴为直线 ，
当 时与 时的函数值相同，
的值为3；
（2）解： 二次函数的对称轴为直线 ，当 时， ，
抛物线的顶点坐标为 ，
结合表中数据可知，
当 时，y的取值范围为 ；
（3）解：由题意得：
，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，利用二次函数的对称性求函数值，解题的关键是掌握二次函
数的对称性．
13．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期中）如图，抛物线 经过点 ， ，与
轴交于点 ．(1)求该抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)点 在射线 上，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ， （点 在点 的左侧）．若 ，
求点 的坐标．
【答案】(1) ，对称轴为直线
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解函数表达式，再利用对称轴公式 求解即可；
（2）设点 的横坐标为 ，由对称性质得 ，根据 得 ，然后解
方程 即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ，解得： ，
∴该抛物线的函数表达式为 ，对称轴为直线 ；
（2）解：设点 的横坐标为 ，由对称性质得 ，
∵ ，∴ ，则 ，
解得： ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的性质、解一元一次方程等知识，正确求
出函数表达式，并会利用对称性表示出 的长是解答关键．
14．（2021·内蒙古·呼和浩特市实验中学察哈尔校区九年级期中）已知，二次函数 （a≠0）
中的x，y满足下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y …… 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …
(1)求该二次函数的解析式；
(2)m的值为________；
(3)若 、 两点都在该函数的图象上，且 ，试比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）从表格中选取3组解，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）观察表格知 是二次函数的对称轴， 关于 对称，可得 ；
（3）根据函数的增减性来判断较 与 的大小．
【详解】（1）解：把点 ， ， 分别代入 中，得
，
解得 ，∴这个二次函数的关系式为： ；
（2）由已知表格可得
函数的对称轴为 ，
∴ ．
故答案为：0；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵对称轴为 ，
A、B两点位于对称轴的左侧，
又因为抛物开口向上，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，此题从表
格中找函数的对称轴，从而来运用函数的增减性来解题．
15．（2022·北京四中九年级期中）已知，抛物线 ： 经过点 ， ．
(1)求抛物线 的对称轴；
(2)平移抛物线 ： ，使其顶点在直线 上，设平移后的抛物线 的顶点的横坐标
为 ．求抛物线 与 轴交点的纵坐标的最大值．
(3)在（2）的条件下，抛物线 与 轴交于点 ，将其向左平移2个单位得到点 ，若抛物线 与线段
只有1个公共点，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)抛物线 与 轴交点的纵坐标的最大值为 ．
(3)当抛物线与线段 只有一个交点时， 的范围为： 或【分析】（1）把点 ， 代入抛物线的解析式 ，再利用待定系数法求解二次函数
的解析式，再求解对称轴方程即可；
（2）设平移后的抛物线的顶点为： 平移后的抛物线的解析式为： 再
令 建立二次函数的关系式，从而可得答案；
（3） 由平移先秋季 由平移后的抛物线 的解析式为： 分两种情况讨论：
当抛物线的顶点在 上时，此时抛物线与线段 只有一个交点，当抛物线 过点
时，可得： 结合（2）可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 ： 经过点 ， ，
∴ 解得：
∴抛物线为：
∴抛物线的对称轴为直线
（2）∵ 抛物线的顶点坐标为：
∵平移抛物线 ： ，使其顶点在直线 上，
∴设平移后的抛物线的顶点为：
∴平移后的抛物线 的解析式为：
当 时，
∴抛物线 与 轴交点的纵坐标的最大值为 ．
（3）∵∴
∵平移后的抛物线 的解析式为：
∴当抛物线的顶点在 上时，此时抛物线与线段 只有一个交点，
∴
解得：
由②得：当 时，抛物线为：
当 时，此时
解得：
此时抛物线刚好经过 两点，
当抛物线 过点 时，
∴
整理得：
解得：
∴当抛物线与线段 只有一个交点时，
综上：当抛物线与线段 只有一个交点时， 的范围为： 或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，构建二次函数利用二次函数的性质解决实际
问题，抛物线与线段的交点问题，灵活的运用二次函数的性质是解本题的关键．
