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专题 06 平行线的判定
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1.同位角、内错角、同旁内角：
同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型
两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。（三线八角）
同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样
的一对角叫做内错角。
同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这
样的一对角叫同旁内角。
2. 平行线的判定：
注意：几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在
的联系
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：
（1）平行线的定义：如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行
（2）平行于同一条直线的两直线平行。几何符号语言：
∵∠3＝∠2 E
A 3 B
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 1 4
∵∠1＝∠2
C 2 D
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
F
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
注意：请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然
后得出平行。平行线的判定是写角相等，然后写平行。
【经典题型】
考点1 同位角、内错角、同旁内角
【典例1】（2021秋•东坡区期末）如图，直线 a、b被c所截，下列说法中错误的是（
）
A．∠1的对顶角是47° B．∠1的内错角是47°
C．∠1的同旁内角是133° D．∠1的同位角是47°
【答案】A
【解答】解：A．∠1的对顶角不是47°，故A符合题意；
B．由题意得：
180°﹣133°＝47°，
∴∠1的内错角是47°，
故B不符合题意；
C．根据对顶角相等，可得：∠1的同旁内角是133°，故C不符合题意；
D．由题意得：
180°﹣133°＝47°，∴∠1的同位角是47°，
故D不符合题意；
故选：A．
【变式1-1】（2021秋•鲤城区校级期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确
的是（ ）
A．∠1与∠5是同位角 B．∠2与∠4是对顶角
C．∠3与∠6是同旁内角 D．∠5与∠2是内错角
【答案】D
【解答】解：由图可知：
A．∠1与∠5是同位角，正确，故A不符合题意；
B．∠2与∠4是对顶角，正确，故B不符合题意；
C．∠3与∠6是同旁内角，正确，故C不符合题意；
D．∠5与∠2是内错角，不正确，故D符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（2021秋•香坊区期末）在如图中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵同位角是F型，内错角是Z型，同旁内角是U型，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意，故选：D．
【变式1-3】（2021秋•绿园区期末）如图，直线 b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（
）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【答案】B
【解答】解：由题意可得，∠1与∠2是直线b，c被直线a所截而成的同位角．
故选：B．
【变式1-4】（2021秋•海口期末）已知图①～④，
在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①
【答案】C
【解答】解：图①③中，∠1与∠2是同位角；
故选：C．
【变式1-5】（2021春•自贡期末）如图，直线a，b被直线l所截，则与∠1互为同旁内角
的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】D
【解答】解：与∠1互为同旁内角的是∠5，
故选：D．
考点2 两直线平行的判定【典例 2】（2021秋•丹东期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，
④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，两直线平行）；
②∵∠2＝∠3，∴b∥c（内错角相等，两直线平行）；
③∠1＝∠4无法判断两直线平行；
④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：A．
【变式2-1】（2021秋•浚县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．∠B＝∠ADE B．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3 D．∠ACB+∠DEC＝180°
【答案】C
【解答】解：A、∠B＝∠ADE，能判定DE∥BC，不符合题意；
B、∠2＝∠4，能判定DE∥BC，不符合题意；
C、∠1＝∠3，能判定DF∥EC，符合题意；
D、∠ACB+∠DEC＝180°，能判定DE∥BC，不符合题意．
故选：C．
【变式2-2】（2021秋•天府新区期末）如图，BD平分∠ABC，若∠1＝∠2，则（ ）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AB∥CD D．AD∥BC
【答案】D
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故选：D．
【变式 2-3】（2021 秋•鼓楼区校级期末）如图，下列条件中不能判定 AB∥CD 的是
（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠1＝∠5
【答案】A
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5，
因为”同旁内角互补，两直线平行“，
所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
C、∵∠3+∠5＝180°，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠1＝∠5，
∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD，不符合题意．
故选：A．
【变式 2-4】（2021 秋•东坡区期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；
②∠EFD+∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能
判断AB∥CD的条件的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：①当∠1＝∠B时，根据同位角相等，两直线平行可得 AB∥CD，故①符
合题意；
②当∠EFD+∠B＝180°时，
∵∠BFC＝∠EFD，
∴∠BFC+∠B＝180°，
∴AB∥CD，故②符合题意；
③当∠B＝∠D时，无法判断AB∥CD，故③不符合题意；
④当∠E＝∠B时，无法判断AB∥CD，故④不符合题意；
⑤当∠BFD＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故⑤符合题意．
则符合题意的有①②⑤，共3个．
故选：B．
【典例 3】（2021 秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：
DE∥BC．
【答案】略【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
【变式3-1】（2021秋•礼泉县期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
【答案】（1）125° （2）略
【解答】（1）解：∵∠A＝78°，∠A＝∠D，
∴∠D＝78°，
∵∠C＝47°，
∴∠BFD＝∠D+∠C＝78°+47°＝125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD＝180°，∠CFD+∠BFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠A＝∠D，
∴（180°﹣∠A﹣∠B）+（∠C+∠D）＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
【变式3-2】（2021秋•商河县期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且∠ECD＝
∠EDC．求证：DE∥AC．【答案】略
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵∠ECD＝∠EDC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴DE∥AC．
【变式3-3】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，点 G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝
180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ ∠BAG（ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以 （ ）．
【答案】等量代换；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．
【解答】解：由题意，补充依据如下：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质），
所以∠BAG＝∠AGC（ 等量代换），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ ∠BAG（ 角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行），
故答案为：等量代换；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．
【变式3-4】（2021秋•三水区期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图
①），其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，设∠ACE＝
x．
（1）填空：∠BCE＝ ，∠ACD＝ ；（用含x的代数式表示）
（2）若∠BCD＝5∠ACE，求∠ACE的度数；
（3）若三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，当∠BCE等于多少度时
CD∥AB？
【答案】（1）90°﹣x，90°﹣x；
（2）∠ACE＝30° （3）当∠BCE等于30或150度时CD∥AB．
【解答】解：（1）由题知，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣x，∠ACD＝∠DCE﹣
∠ACE＝90°﹣x，
故答案为：90°﹣x，90°﹣x；（2）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD＝90°+（90°﹣x）＝180°﹣x，
∵∠BCD＝5∠ACE，
∴180°﹣x＝5x，
解得x＝30°，
即∠ACE＝30°；
（3）若CD∥AB分以下两种情况：
①如图①，此时∠BCD+∠B＝180°，
∵∠B＝60°，∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°+∠BCE，
∴（90°+∠BCE）+60°＝180°，
∴∠BCE＝30°；
②如备用图所示，
此时∠BCD＝∠B＝60°，
∵∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BCE＝90°+60°＝150°，
综上，当∠BCE等于30或150度时CD∥AB．
