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专题06 图形的相似（重点，期中测试精选）
一、单选题
1．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的基本性质逐项进行判断即可．
【解析】解：A、∵ ，∴四条线段不成比例；
B、∵ ，∴四条线段不成比例；
C、∵ ，∴四条线段成比例；
D、∵ ，∴四条线段不成比例；
故选：C．
【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的外项之积等于内项之积是解题的关键．
2．（2020秋·上海嘉定·九年级统考期中）如果 ，那么下列四个选项中一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例的性质作答即可．
【解析】∵ ，
∴ ，A项不正确；
只有当 ， 时，B项才正确，故B项不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 正确，故C项不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
1∴ ，
即有： ，故D项一定正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了比例的性质及运算，掌握比例的性质是解答本题的关键．
3．（2020秋·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）下列命题不一定成立的是（ ）
A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
B．两个等腰直角三角形相似
C．各有一个角等于 的两个等腰三角形相似
D．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，一定成立，不符合题意；
B、两个等腰直角三角形相似，一定成立，不符合题意；
C、各有一个角等于 的两个等腰三角形相似，一定成立，不符合题意；
D、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故原命题不一定成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似三角形的判定方法，难度不大．
4．（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ， ，则
的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出 ，进而求出 ．
【解析】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
2解得， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．（2022秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分
深度的方法如图所示，在处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆的顶端 观察井水水岸 ，视线 与
井口的直径 相交于点 ，如果测得 米， 米， 米，那么 为（ ）
A．7 B．7.4 C．8 D．9.2
【答案】A
【分析】根据 字模型相似三角形证明 ，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解析】解：∵ ，
， ，
∴ ，
，
，
解得： ，
答：古井水面以上部分深度 的长为 米，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握 字模型相似三角形是解题的关键．
6．（2022秋·宁夏中卫·九年级统考期中）如图，下列条件不能判定 的是（ ）
3A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，
分别判断得出即可．
【解析】解：A、∵ ， ，
∴ ，故此选项不合题意；
B、∵ ， ，
∴ ，故此选项不合题意；
C、∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故此选项不合题意；
D、 不能判定 ，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.
7．（2023春·广西北海·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标中，已知 ， 与
位似，原点 是位似中心．若 ，则 长为（ ）
4A．4. 5 B．6 C．7.5 D．9
【答案】A
【分析】由 得出 ，由位似图形的性质可得 ，即可求出 长．
【解析】解： ，
与 位似，原点 是位似中心，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意得出 是解此题的
关键．
8．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图， 是等边三角形，点 、 分别在 、 上，且
， ， ，则 的长等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
5【分析】根据等边三角形的性质，外角的性质，推出 ，列出比例式进行求解即可．
【解析】解：∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明 ．
9．（2023春·安徽宿州·九年级校考期中）如图，在 中， ，点 是 的中点，连接
并延长交 延长线于点 ，点 是 的中点，连接 交 于点 ，过点 作 ，交 于点
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中点的定义及平行四边形的性质可知 ，再根据中点的定义及全等三角
形的性质可知 ，最后根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例即可解答．
【解析】解：∵点 是 的中点，
∴ ，
6∵在 中，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选 ．
7【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，
掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10．（2023春·广东中山·八年级中山纪念中学校考期中）如图，在正方形 的对角线 上取一点 ．
使得 ，连接 并延长 到 ，使 ， 与 相交于点 ，若 ，有下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】①由正方形的性质可以得出 ， ，通过证明 ，就可以
得出 ．
②在EF上取一点G，使 ，连接 ，再通过条件证明 就可以得出 ．
③过 作 交于 ，根据勾股定理求出 ，根据三角形的面积公式即可求出高 ，根据三角
形的面积公式即可求得 ．
④解直角三角形求得 ，根据等边三角形性质得到 ，然后通过证得 ，求得
．
【解析】证明：① 四边形 是正方形，
， ， ．
在 和 中，
，
，
8，故①正确；
②在EF上取一点G，使 ，连接CG，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
，
是等边三角形．
， ，
，
．
， ，
．
在 和 中，
，
，
．
，
，故②正确；
9③过D作 交于M，
在 中，根据勾股定理求出 ，
由面积公式得： ，
，
，
，
中 ， 中 ，
在 中， ，
中， ，
， ．
．
，故③正确；
④在 中， ，
是等边三角形，
，
， ，
∴ ．
，故④错误；
10综上，正确的结论有①②③．
故答案选：A．
【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含 角
的直角三角形的性质以及三角形相似性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的
关键．
二、填空题
11．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）若 ，它们的面积比为 ，则 与
的周长之比为 ．
【答案】
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，可得 与 的相似比；即可得
与 的周长之比．
【解析】已知 与 相似且面积之比为 ，
得 与 的相似比为 ；
得 与 的周长之比为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相
似比的平方．
12．（2022秋·四川成都·九年级石室中学校考期中）已知点 是线段 的黄金分割点， ，若
，则 ．
【答案】 /
【分析】根据黄金分割的定义得到 ，再把把 代入可计算出 的长，然后计算
即可．
【解析】解： 点 是线段 的黄金分割点，
，
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段 分成两条线段 和 ，且使 是 和 的比例
11中项（即 ），叫做把线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点．其中
，并且线段 的黄金分割点有两个．
13．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）如图， ，要使 ，可以添加的条件是
．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】根据三角形相似的判定定理选择合适的条件即可．
【解析】添加的条件是 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： (答案不唯一)．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似的判定定理是解题的关键．
14．（2022秋·湖南岳阳·九年级校考期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度
，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点B在同一直线上，已知纸板的两条直
角边 米， 米，测得边 离地面的高度 米， 米，则树高 为 米．
【答案】
【分析】先判定 和 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 的长，再加上
即可得解．
12【解析】解：在 和 中，
，
，
，即 ，
解得： ，
，
，
即树高 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出
和 相似是解题的关键．
15．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知直线 ，直线m与直线 、 、 分别交于
点A、D、F，直线n与直线 、 、 分别交于点B、C、E．若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．
【解析】解： 直线 ，
，
，
13故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一
组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
16．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图， ， 于点 ， 于点 ，若
， ，则 ．
【答案】 /
【分析】要求 的值，又已知 ， ，且 分别是直角三角形 和
中的边，所以只要证明 即可求解．
【解析】解：∵ ， ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出条件证明 ．
17．（2022秋·四川成都·九年级川大附中校考期中）如图， 是 的中线，E是 的中点， 的延
长线交 于点F，那么 ．
14【答案】
【分析】根据题意先过D作 的平行线，交 边于G，得出 ，再根据D为 中点可得出
， ；同理求得 ，从而得出 ，即可得出 的
值．
【解析】解：过D作 的平行线，交 边于G，如图所示：
∵D为 中点， ，
∴ ，即： ，
又E为 的中点， 的延长线交 于F， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ .
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
18．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点E是 的中点，
点M是 的动点．将 沿 翻折至 ．再将 沿 翻折至 ，使点M，P，Q
在同一直线上，折痕 交射线 于点F．则：
（1） °；
（2）当点M是 的中点时， 的长为 ．
15【答案】 /90度 /
【分析】（1）由折叠知， .根据图中角的位置，求得 ；
（2）如图， ,由折叠可得 两点重合． 中， ，
勾股定理得 ，可证 ，得 ，求得 ，于是 ，
所以 ．
【解析】解：（1）如图，由折叠知， .
∴ ．
∴ ．
（2）如图，点M是 的中点时， ,
由折叠知，
∴ ,即 两点重合．
中， ，
16∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质；由折叠得到角相等，线段相等是
解题的关键．
三、解答题
19．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a，b，c满足 ，且 ．
(1)求线段a，b，c的长．
(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）根据题意可设 ， ， ，再代入，即可求解；
17（2）根据m是a、b的比例中项，可得 ，即可求解．
【解析】（1）解：∵ ，
∴可设 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ， ；
（2）解：∵m是a、b的比例中项，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
即线段 的长为 ．
【点睛】本题主要考查了比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成
连比例即 ，b叫做a和c的比例中项是解题的关键．
20．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期中）如图，在 中，点D，E在 上，点G在 上，连接
， ．求证：
【答案】证明见解析
【分析】根据平行线分线段成比例可得 和 ，即得
【解析】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
18∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例．
21．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，线段 、 是 的两条高．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据高线的定义，得到 ，再根据 ，即可得证；
（2）证明 ，列出比例式进行求解即可．
【解析】（1）解：∵线段 、 是 的两条高，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
19∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题
的关键．
22．（2022秋·四川成都·九年级川大附中校考期中）在正方形网格中， 的顶点分别为 ，
， ．
(1)以点 为位似中心，以位似比 在位似中心的异侧将 放大为 ，放大后点B，C两点
的对应点分别为 ， ，请画出 ；
(2)在（1）中，若点 为线段 上任一点，直接写出变化后点M的对应点 的坐标．（用含a，
b的代数式表示）
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用位似变换的性质， ， ，再结合 ， ， ，即可
分别作出B，C的对应点 ， ，再连接即可作答；
（2）探究坐标变化规律，可得结论．
【解析】（1）解：如图， 即为所求：
20（2）解：因为 ， ，且由（1）的图可知 ， ，
所以变化后点 的对应点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
23．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，已知在 中，P为边 上一点，连接 ，
M为 的中点，连接 并延长，交 于点D，N为 的中点，连接 ．若 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的长
【分析】（1）由三角形中位线定理得到 ，则 ，又由已知
，得到 ，则 ，即可得到结论；
21（2）求出 ，设 ，则 ， ，根据 得到
，解得 ，进一步得到 ，即可得到 的长．
【解析】（1）证明：∵M为 的中点，N为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ （不合题意，舍去）， ，
∴ ，
即 的长2 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌
握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图1，在等腰直角三角形 中，以 为边在 右侧作
正方形 ．
22(1)问题提出：图I中线段 与线段 的数量关系为 （直接写出答案）；
(2)深入探究：如图2，将正方形 绕点D在平面内旋转，连接 ．判断线段 与线段 的数
量关系并说明理由；
(3)拓展延伸：若 ，正方形 绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，请直接写出线段
的长．
【答案】(1)
(2) ，理由见解答过程
(3) 或
【分析】（1）根据 是等腰直角三角形，得 ，再由正方形的性质即可解答；
（2）连接 ，根据 和 都是等腰直角三角形，可证明 ，然后根据线段比
例即可解答；
（3）分当点F在线段 上或点F在线段 的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求得 ，
再由（2）得出 的长度即可．
【解析】（1）解：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
23（2）解： ，理由如下：
如图2，连接 ，
在 中， ，
∴ ，
在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
（3）解：线段BE的长为 或 ，
如图，当点F在线段 上时，
由（1）知， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
24由（2）知， ，
∴ ，
如图：当点F在线段 的延长线时，
由（1）知， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知， ，
∴ ，
∴当正方形 旋转到A、E、F三点共线时 或 ．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、
正方形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．
25．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线
过点 ，与 轴相交于点 ，与直线 相交于点 ，点 的横坐标为 ，点 为 轴上一动
点，横坐标为 ．
25(1)求直线 的表达式；
(2)过 作 轴的平行线，分别交直线 ，直线 于点 ，连接 ，
①当 时，求 的长；
②当 时，请直接写出 的值；
(3)若点 在线段 上，当 为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)直线 的解析式为
(2)① 的长为 ；② 的值是 或
26(3)当 为等腰三角形时，点 的坐标为 或
【分析】（1）根据点 在直线 的图像上，可求出点 的坐标，再把点 的坐标代入一次函数，
即可求解；
（2）①当 时，可得点 的横坐标，分别代入直线 中可求出点 的坐标，由此即可求解；②
根据题意，设 ， ，用含 的式子表示 的长，根据绝对值的性质即可求解；
（3）根据 为等腰三角形，分类讨论：第一种情况：当 时， 为等腰三角形；
第二种情况：当 时， 为等腰三角形；根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质
即可求解．
【解析】（1）解：∵点 在直线 的图像上，点 的横坐标为 ，
∴ ，则 ，
∵直线 过点 ，点 ，
∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ．
（2）解：①当 时，即点 的横坐标为 ，如图所示，
27∴点 的横坐标均为 ，
∵点 在直线 的图像上，
∴ ，即 ，
∵点 在直线 的图像上，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
②∵点 在直线 的图像上，点 在直线 的图像上，且点 的横坐标相同，
∴设 ， ，
∴ ，整理得， ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ 的值是 或 ．
（3）解：∵直线 与 轴相交于点 ，
∴令 ，则 ，
∴ ，则 ，
∵点 在线段 上运动，
28∴点 的横坐标的取值范围为 ，
∵ ， ，如图所示，过点 作 轴于点
∴ ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
第一种情况：当 时， 为等腰三角形，如图所示，
∴ ，
∴ ；
第二种情况：当 时， 为等腰三角形，如图所示，
29过点 作 于点 ，
∵ 为等腰三角形， ，
∴ 是线段 的中线，即 ，
∵点 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，当 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标
的计算方法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
26．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考期中）已知，在正方形 中，对角线 ， 交于点O，E是直
线 上一点，连接 ，过点C作 ，垂足为P．
30(1)如图1，当点E在线段 的延长线上时，我们探索线段 ， ， 之间的数量关系，可以过点O
作 的垂线交 的延长线于点H，连接 ，则可证 ________，进而得到 ，所以可
以证得 ________ ；
图1
(2)如图2，当点E在线段 上时，线段 ， ， 有怎样的数量关系，说明理由；
图2
(3)如图3，如果将正方形 换成菱形 ，且 ，当点E在线段 的延长线上时，请探
究 ， ， 三条线段的数量关系，直接写出你的结论________
31图3
【答案】(1) ，
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）作 ，交 的延长线于点H，如图1，根据正方形的性质可得 ，再由
， ，可得 ，由四边形 的内角和为 ，可得
，从而可证 ，即可证 ，可得 ， ，
即 ，再利用勾股定理即可得出结论；
（2）作 ，交 于点H，如图2．根据正方形的性质可得 ， ，再由
，利用等量代换可得 ，从而可得 ，可得
．即 ，即可证 ，可得 ， ，从而可得
，再利用勾股定理即可得出结论；
（3）根据菱形的性质可得 ， ， ，作 ，交 于点H，如图3，
由 ， ，可得 ，再由
，可得 ，即 ，从而可证 ，
可得 ，即 ， ，从而可得 ，再利用勾股定理
即可得出结论．
【解析】（1）解：证明：∵四边形 是正方形，
， ．作 ，交 的延长线于点H，如图1．
，
．
．
，
．
，
．
32，
，
，
．
，
．
， ．
，
．
在 中，由勾股定理，得 ．
；
（2）解：∵四边形 是正方形，
， ．
作 ，交 于点H，如图2．
，
．
．
又 ，
．
， ，
．
．即 ．
33，
，
， ．
，
，
在 中，由勾股定理，得 ．
；
（3）解： ，理由如下；
四边形 是菱形，
， ，
，
．
作 ，交 于点H，如图3．
34，
．
又 ， ，
，
由 ，知 ．
，
．即 ．
．
，
， ．
，
．
在 中，由勾股定理，得 ．
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判
定与性质及四边形的内角和，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
35
