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专题 04 因式分解必刷常考题
选择题必练
1．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
3．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
4．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9
6．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x+8）（x+1） B．（x+2）（x﹣4）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x﹣10）（x+8）
填空题必练
7．分解因式：x3﹣4x＝ ．
8．分解因式：x3﹣6x2+9x＝ ．
9．已知x+y＝6，xy＝4，则x2y+xy2的值为 ．
10．因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y＝ ．
11．若ab＝3，a﹣2b＝5，则a2b﹣2ab2的值是 ．12．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
13．因式分解：x2﹣x＝ ．
14．9x3y2+12x2y2﹣6xy3中各项的公因式是 ．
15．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为 ．
16．已知x+y＝1，则代数式 x2+xy+ y2＝ ．
17．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方
便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），
若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝
162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 4x3﹣xy2，取x＝
10，y＝10时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）．
解答题必练
18．分解因式：a3﹣ab2．19．分解因式
（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
20．先分解因式，再求值：已知a+b＝2，ab＝2，求 a3b+a2b2+ ab3的值．
21．（1）计算：（﹣ ）2+2﹣2﹣（2﹣ ）0；
（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2． π
22．分解因式：
（1）12xyz﹣9x2y2；
（2）x2（y﹣4）+9（4﹣y）．
23．因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）；
（2）x4﹣x2．
24．分解因式：（1）﹣2x2+4xy﹣2y2；
（2）x4﹣81y4．
25．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
26．若a+b＝10，ab＝6，求：
（1）a2b+ab2的值；
（2）a2+b2的值．
27．|a﹣5|+b2﹣4b+4＝0，求2a2﹣8ab+8b2的值．28．先化简 ÷（a+1）+ ，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代
入求值．
29．先化简，再求值：（ ﹣x+1）÷ ，其中x满足x2+x﹣2＝0．
30．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，
然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．
（3）若x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝ ．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．
如图③，它表示了 ．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）＝m2+4mn+3n2．
31．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，
两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上
长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪
线（虚线部分）长之和．专题 04 因式分解必刷常考题
选择题必练
1．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
【答案】A
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
＝a（x2﹣4x+4），
＝a（x﹣2）2．
故选：A．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【答案】D
【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确；
故选：D．
3．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
【答案】A
【解答】解：mx2﹣m＝m（x﹣1）（x+1），
x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．
故选：A．
4．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C
【解答】解：∵a+b＝2，
∴a2﹣b2+4b＝（a﹣b）（a+b）+4b，
＝2（a﹣b）+4b，
＝2a﹣2b+4b，
＝2（a+b），
＝2×2，
＝4．
故选：C．
5．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9
【答案】D
【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，故D正确．
故选：D．
6．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x+8）（x+1） B．（x+2）（x﹣4）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x﹣10）（x+8）
【答案】B
【解答】解：（x﹣1）2﹣9，
＝（x﹣1+3）（x﹣1﹣3），
＝（x+2）（x﹣4）．
故选：B．填空题必练
7．分解因式：x3﹣4x＝ ．
【答案】 x （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ）
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
8．分解因式：x3﹣6x2+9x＝ ．
【答案】 x （ x ﹣ 3 ） 2
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
＝x（x2﹣6x+9），
＝x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
9．已知x+y＝6，xy＝4，则x2y+xy2的值为 ．
【答案】 24
【解答】解：∵x+y＝6，xy＝4，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝4×6＝24．
故答案为：24．
10．因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y＝ ．
【答案】 ﹣ 2 y （ x ﹣ 3 ） 2
【解答】解：原式＝﹣2y（x2﹣6x+9）
＝﹣2y（x﹣3）2．
故答案为：﹣2y（x﹣3）2．
11．若ab＝3，a﹣2b＝5，则a2b﹣2ab2的值是 ．
【答案】 15
【解答】解：∵ab＝3，a﹣2b＝5，
则a2b﹣2ab2＝ab（a﹣2b）＝3×5＝15．
故答案为：15．
12．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．【答案】70
【解答】解：∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．
故答案为：70．
13．因式分解：x2﹣x＝ ．
【答案】 x （ x ﹣ 1 ）
【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）．
故答案为：x（x﹣1）．
14．9x3y2+12x2y2﹣6xy3中各项的公因式是 ．
【答案】 3 xy 2
【解答】解：9x3y2+12x2y2﹣6xy3中，
系数的最大公约数是3，
相同字母的最低指数次幂是xy2，
所以公因式是3xy2．
故答案为：3xy2
15．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为 ．
【答案】 12
【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1，
∴（a+1）2﹣（b﹣1）2
＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）
＝（a+b）（a﹣b+2）
＝4×（1+2）
＝12．
故答案是：12．
16．已知x+y＝1，则代数式 x2+xy+ y2＝ ．
【答案】【解答】解：原式＝ （x2+2xy+y2）＝ （x+y）2，
把x+y＝1代入得：原式＝ ．
故答案为：
17．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方
便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），
若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝
162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 4x3﹣xy2，取x＝
10，y＝10时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）．
【答案】 101030 或 103010 或 301010
【解答】解：4x3﹣xy2＝x（4x2﹣y2）＝x（2x+y）（2x﹣y），
当x＝10，y＝10时，x＝10；2x+y＝30；2x﹣y＝10，
用上述方法产生的密码是：101030或103010或301010．
故答案为：101030或103010或301010
解答题必练
18．分解因式：a3﹣ab2．
【解答】解：a3﹣ab2，
＝a（a2﹣b2），
＝a（a+b）（a﹣b）
19．分解因式
（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），
＝（x﹣y）（a2﹣16），
＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），
＝（x+y）2（x﹣y）2．
20．先分解因式，再求值：已知a+b＝2，ab＝2，求 a3b+a2b2+ ab3的值．【解答】解： a3b+a2b2+ ab3＝ ab（a2+2ab+b2）＝ ab（a+b）2．
∴当a+b＝2，ab＝2时，
原式＝ ×2×22＝ ×2×4＝4．
21．（1）计算：（﹣ ）2+2﹣2﹣（2﹣ ）0；
（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2． π
【解答】解：（1）原式＝ + ﹣1
＝ ﹣1
＝﹣ ；
（2）原式＝3（x2﹣2xy+y2）
＝3（x﹣y）2．
22．分解因式：
（1）12xyz﹣9x2y2；
（2）x2（y﹣4）+9（4﹣y）．
【解答】解：（1）原式＝3xy（4z﹣3xy）；
（2）原式＝x2（y﹣4）﹣9（y﹣4）
＝（y﹣4）（x2﹣9）
＝（y﹣4）（x+3）（x﹣3）．
23．因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）；
（2）x4﹣x2．
【解答】解：（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）
＝2（m+n）（3m﹣2n）；
（2）x4﹣x2
＝x2（x2﹣1）
＝x2（x+1）（x﹣1）．
24．分解因式：（1）﹣2x2+4xy﹣2y2；
（2）x4﹣81y4．
【解答】解：（1）﹣2x2+4xy﹣2y2
＝﹣2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣2（x﹣y）2；
（2）x4﹣81y4．
＝（x2+9y2）（x2﹣9y2）
＝（x2+9y2）（x+3y）（x﹣3y）．
25．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，
∴（x+y）2+（y+1）2＝0，
∴x+y＝0，y+1＝0，
解得，x＝1，y＝﹣1，
∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；
（2）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得
b2+4b+c2﹣6c+13＝0，
∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，
∴b+2＝0，c﹣3＝0，
解得，b＝﹣2，c＝3，
∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，
∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．
26．若a+b＝10，ab＝6，求：（1）a2b+ab2的值；
（2）a2+b2的值．
【解答】解：（1）∵a+b＝10，ab＝6，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝6×10＝60；
（2）∵a+b＝10，ab＝6，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣12＝88．
27．|a﹣5|+b2﹣4b+4＝0，求2a2﹣8ab+8b2的值．
【解答】解：∵|a﹣5|+b2﹣4b+4＝0，
∴|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝5，b＝2，
所以，2a2﹣8ab+8b2，
＝2（a2﹣4ab+4b2），
＝2（a﹣2b）2，
＝2×（5﹣2×2）2，
＝2×1，
＝2．
28．先化简 ÷（a+1）+ ，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代
入求值．
【解答】解：原式＝ • +
＝ +
＝ ，
当a＝2（a≠﹣1，a≠1）时，原式＝ ＝5．
29．先化简，再求值：（ ﹣x+1）÷ ，其中x满足x2+x﹣2＝0．【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝ ，
由x2+x﹣2＝0，解得x ＝﹣2，x ＝1，
1 2
∵x≠1，
∴当x＝﹣2时，原式＝ ＝ ．
30．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，
然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是
．
（3）若x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝ ．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．
如图③，它表示了 ．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）＝m2+4mn+3n2．
【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝72﹣40＝9；
（4）（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2；
（5）答案不唯一：例如：
．
31．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，
两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上
长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪
线（虚线部分）长之和．
【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10，
∴m2+n2＝29，
∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴（m+n）2＝29+20＝49，
∵m+n＞0，
∴m+n＝7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝42cm．
