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专题 04 因式分解必刷压轴题
1．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴ ．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
3．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角
形的形状．
4．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们
运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出
如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 3 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或
“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
5．对于多项式 x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现 x＝2能使多项式 x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a
代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把
多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10
＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
6．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，
则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下
列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
7．我们知道，任意一个正整数 x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且
m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）＝ ．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最
佳分解，所以f（18）＝ ＝ ．
（1）填空：f（6）＝ ；f（9）＝ ；
（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数
字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f
（t）的最大值；
（3）填空：
①f（22×3×5×7）＝ ；②f（23×3×5×7）＝ ；③f（24×3×5×7）＝
；④f（25×3×5×7）＝ ．专题 04 因式分解必刷压轴题
1．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴ ．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得：
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴ ．
解得：a＝4，k＝20．
故另一个因式为（x+4），k的值为20．
2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
选择C，
故答案为：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x﹣2）4；
故答案为：不彻底；（x﹣2）4；
（3）原式＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．
3．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角
形的形状．
【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0
即a＝b＝c，故该三角形是等边三角形．
4．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们
运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出
如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 3 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或
“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，
∴当x＝3时，有最小值3；故答案为3，3．
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴当x＝1时有最大值﹣2；
故答案为1，大，﹣2．
（3）∵﹣x2+3x+y+5＝0，
∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6，
∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6．
5．对于多项式 x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现 x＝2能使多项式 x3﹣
5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x
＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们
可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3
﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），
＝（x+1）（x+2）2．
解法二：把x＝﹣2代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+2）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝3，b＝2，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+2）（x2+3x+2），
＝（x+1）（x+2）2．
6．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，
则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下
列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
7．我们知道，任意一个正整数 x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且
m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n
是x的最佳分解．并规定：f（x）＝ ．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最
佳分解，所以f（18）＝ ＝ ．
（1）填空：f（6）＝ ；f（9）＝ ；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数
字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f
（t）的最大值；
（3）填空：
①f（22×3×5×7）＝ ；②f（23×3×5×7）＝ ；③f（24×3×5×7）＝
；④f（25×3×5×7）＝ ．
【解答】解：（1）6可分解成1×6，2×3，
∵6﹣1＞3﹣2，
∴2×3是6的最佳分解，
∴f（6）＝ ，
9可分解成1×9，3×3，
∵9﹣1＞3﹣3，
∴3×3是9的最佳分解，
∴f（9）＝ ＝1，
故答案为： ；1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，
根据题意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54，
∴b＝a+6，
∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，
∴满足条件的t为：17，28，39；
∵f（17）＝ ，F（28）＝ ，F（39）＝ ，
∵ ，
∴f（t）的最大值为 ；
（3）①∵22×3×5×7的最佳分解为20×21，
∴f（22×3×5×7）＝ ，故答案为： ；
②∵23×3×5×7的最佳分解为28×30，
∴f（23×3×5×7）＝ ，
故答案为 ；
③∵24×3×5×7的最佳分解是40×42，
∴f（24×3×5×7）＝ ＝ ，
故答案为： ；
④∵25×3×5×7的最佳分解是56×60，
∴f（25×3×5×7）＝ ＝ ，
故答案为： ．
