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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 04 平面直角坐标系
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·河南期末）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点 和
，并且知道藏宝地点的坐标是 ，则藏宝处应为图中的（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】B
【完整解答】解：∵点A（2，3）和B（1，-1），
∴坐标原点的位置如下图：
∵藏宝地点的坐标是（4，2）
∴藏宝处应为图中的：点N.
故答案为：B.
【思路引导】根据点A、B的坐标可知：将点B向左移动一个单位长度，再向上移动一个单位长度后的对
应点作为坐标原点，确定平面直角坐标系，再描出（4，2）的点即可判断.2．（2分）（2021八上·河南期末）如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点B
为圆心、 长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：当x=0时， ，点B的坐标为（0，-1）；当y=0时， ，解得， ，
点A的坐标为（2，0）；
即 ， ， ；
以点B为圆心、 长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，
故 ，则 ，
点C的坐标为 ；
故答案为：C.
【思路引导】 分别令x=0与y=0代入一次函数解析式求出对应的函数值y与自变量的值x，从而即可得
A、B坐标，从而利用勾股定理算出AB的长，然后根据同圆的半径相等得出BC=AB，进而即可解决问题.
3．（2分）（2021八上·长丰期末）已知点P（a-1，a+2）在x轴上，那么点Q（-a，a-1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【完整解答】解：∵点P（a-1，a+2）在x轴上，
∴a+2=0，
解得a=-2，
∴-a=2，a-1=-3，∴点Q的坐标为（2，-3），
∴Q（-a，a-1）在第四象限．
故答案为：D．
【思路引导】根据x轴上的点坐标的特征可得a+2=0，求出a的值，再求出-a=2，a-1=-3，即可得到点Q的
坐标为（2，-3），最后利用点坐标与象限的关系可得答案。
4．（2分）（2021八上·云梦期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标是 ，以
为边在右侧作等边三角形 ，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，以 为边在右侧作等边三角形
，再过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，以 为边在右侧作等边三角形 ……按此规律
继续作下去，得到等边三角形 ，则点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：∵点A的坐标是(0，2)，以OA为边在右侧作等边三角形OAA，过点A 作x轴的垂线，垂
1 1
足为点Q，
1
∴ ，
∴ ，即点 的纵坐标是
∵以 为边在右侧作等边三角形 ，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，∴ ，
∴ ，点 的纵坐标是 ，即
∵以 为边在右侧作等边三角形
同理，得点 的纵坐标是
按此规律继续作下去，得：点 的纵坐标是 ，即
故答案为：C.
【思路引导】 利用等边三角形的性质可求出∠AOO 的度数及OA 的长，利用30°角所对的直角边等于斜
1 1 1
边的一半，可求出AO 的长，即可得到点A 的纵坐标；再利用同样的方法分别求出A，A，的纵坐标，观
1 1 1 2 3
察其纵坐标的规律，可求出点A 的纵坐标.
2021
5．（2分）（2021八上·胶州期末）在平面直角坐标系中，已知点P（2a﹣4，a+3）在x轴上，则点（﹣
a+2，3a﹣1）所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【完整解答】解：∵点P（2a﹣4，a+3）在x轴上，
∴a+3=0，
解得a=-3，
∴﹣a+2=5，3a﹣1=-10，
∴点（﹣a+2，3a﹣1）所在的象限为第三象限，
故答案为：D．
【思路引导】根据x轴上的点坐标的特征可得a+3=0，求出a的值，即可得到点（﹣a+2，3a﹣1）为
（5，-10），再根据点坐标与象限的关系求解即可。
6．（2分）（2021八上·安丘期末）如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC=2，已知点A到y轴的距
离是3，那么点A关于x轴对称的点的坐标为（ ）A．(2，3) B．(3，2) C．(-2，-3) D．(-3，-2)
【答案】D
【完整解答】解：∵点A到y轴的距离是3，
∴点A横坐标为-3，
过点A作AE⊥OD，垂足为E，
∵∠DAO=∠CAO，AC⊥OB，AC=2，
∴AE=2，
∴点A的纵坐标为2，
∴点A的坐标为（-3，2），
∴点A关于x轴对称的点的坐标为（-3，-2），
故答案为：D．
【思路引导】过点A作AE⊥OD，垂足为E，利用角平分线的性质证明AE=2，从而求出点A的坐标，最后根
据关于x轴对称的点的坐标特征判断即可。
7．（2分）（2021八上·六盘水月考）在平面直角坐标系中，李明做走棋游戏，其走法是：棋子从原点出
发，第1步向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走
1个单位长度……依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度；当n被3除，
余数是1时，则向右走1个单位长度；当n被3除，余数是2时，则向右走2个单位长度.当走完第12步时，棋子所处位置的坐标是（ ）
A．（9，3） B．（9，4） C．（12，3） D．（12，4）
【答案】D
【完整解答】解：设走完第n步，棋子的坐标用A 来表示.
n
观察，发现规律：A（0，0），A（1，0），A（3，0），A（3，1），A（4，1），A（6，1），A（6，
0 1 2 3 4 5 6
2），…，
∴A （3n，n），A （3n+1，n），A （3n+3，n）.
3n 3n+1 3n+2
∵12＝4×3，
∴A （12，4）.
12
故答案为：D.
【思路引导】设走完第n步，棋子的坐标用A 来表示，先列出部分A的坐标，发现规律A （3n，n），A
n 3n 3n+1
（3n+1，n），A （3n+3，n），据此即可解答.
3n+2
8．（2分）（2021八上·河南期末）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°，
∠A=30°，顶点A的坐标为 ，将△OAB绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，
点A对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可
第一次旋转时：过点 作x轴的垂线，垂足为C，如下图所示：由A的坐标为 可知： ， ，
在 中， ，
由旋转性质可知： ，
， ，
，
在 与 中：
，
， ，
此时点A对应坐标为 ，
当第二次旋转时，如下图所示：
此时A点对应点的坐标为 .
当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为 .当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为 .
当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为 .
第6次旋转时，与A点重合.
故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为： 、 、 、 、 、 .
由于 ，故第2023次旋转时，A点的对应点为 .
故答案为：A.
【思路引导】由题知6次旋转为1个循环，故可分别求出前6次循环对应的A点坐标，由
，故第2023次旋转时点A坐标与第一次旋转后点A的坐标相同，据此解答即可.
9．（2分）（2021八上·雨城期中）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙
分别由点A(4，0)同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以2个单位/秒匀速运
动，物体乙按顺时针方向以6个单位秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是
（ ）
A．(0，2) B．(﹣4，0) C．(0，﹣2) D．(4，0)
【答案】A
【完整解答】解：矩形的边长为8和4，因为物体乙是物体甲的速度的3倍，
时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：3，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×1，
物体甲行的路程为24× ＝6，物体乙行的路程为24× ＝18，在DE边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×2，物体甲行的路程为24×2× ＝12，物体乙行的路程为24×2× ＝36，在DC边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×3，
物体甲行的路程为24×3× ＝18，物体乙行的路程为24×3× ＝54，在BC边相遇；
④第四次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×4，
物体甲行的路程为24×4× ＝24，物体乙行的路程为24×4× ＝72，在A点相遇；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇四次，两点回到出发点，
2021÷4＝505…1，
故两个物体运动后的第2020次相遇地点的是点A，故两个物体运动后的第2021次相遇地点的是第一次相
遇的地点
此时相遇点的坐标为：（0，2），
故答案为：A.
【思路引导】由于矩形的边长为8和4，因为物体乙是物体甲的速度的3倍，利用行程问题中的相遇问题，
求出每一次相遇的相遇地点，从而得出每相遇四次，两点回到出发点，继而求出结论.
10．（2分）（2020八上·苍南期末）直角坐标系中，我们定义横、纵坐标均为整数的点为整点在0<x<3
内，直线y=x+2和y=-x所围成的区域中，整点一共有( )
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】A
【完整解答】解：如图， 直线y=x+2与直线y=-x在0<x<3内 共有8个整点.故答案为：A.
【思路引导】在平面直线坐标系中，画出直线y=x+2与直线y=-x的图象，利用图象法在0<x<3内读出整个
点的个数即可.
二．填空题（共10小题，满分20分，每题2分）
11．（2分）（2021八上·南京期末）在平面直角坐标系中， AOB是等边三角形，点 的坐标为
(2，0)，将 AOB绕原点逆时针旋转 ，则点 的坐标为 .
【答案】
【完整解答】解：由旋转可得△A'B'O≌△ABO，
过点A'作A'D⊥y轴于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴OD=DB'= =1，
∴ ，
∴点A'的坐标为 ，
故答案为： .【思路引导】由旋转的性质可得△A'B'O≌△ABO，过点A'作A'D⊥y轴于D，根据等边三角形的性质可
OD=DB'= =1，利用勾股定理求出A'D的长，即得点A'的坐标.
12．（2分）（2021八上·本溪期末）在平面直角坐标系中，点A坐标为 ，点B在x轴上，若
是直角三角形，则OB的长为 ．
【答案】4或
【完整解答】解：∵B在x轴上，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，
①当 时，B点横坐标与A点横坐标相同，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②当 时， ，
∵点A坐标为 ， ，∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4或 ．
【思路引导】根据题意得出两种情况①当 时，②当 时，先画出图形，再求出
OB即可。
13．（2分）（2021八上·铁西月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交
于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 ．
【答案】(﹣ ，2)
【完整解答】∵直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)．
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝ ＝ ，
∴点C的坐标为(﹣ ，2)．
故答案为(﹣ ，2)．
【思路引导】利用y＝﹣ x+4求出点A(3，0)，点B(0，4)．过点C作CE⊥y轴于点E，可得OC＝OA=3，
OE＝ OB=2，利用勾股定理求出CE的长，即得点C坐标.
14．（2分）（2021八上·盐湖期中）如图，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若点P是△ABC三边垂
直平分线的交点，则点P的坐标为 ．
【答案】(－2，－1)
【完整解答】解：设p点坐标为(a，b)，则有 ，
解得：a= -2，b=-1，
所以P点的坐标为(-2，-1).故答案为(-2，-1)
【思路引导】设p点坐标为(a，b)，根据线段垂直平分线的性质及两点间的距离公式建立关于a、b的等式，
从而求出a、b的值，即得结论.
15．（2分）（2021八上·江油期末）如图，在平面直角坐标系中A（﹣2，1），B（3，4），连接OA、
OB、AB，P是y轴上的一个动点，当|PB﹣PA|取最大值时，点P的坐标为 ．
【答案】（0，﹣5）
【完整解答】解：如图，作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，
∵|P'A-P'B|=|P'N-P'B|＜ |PB﹣PA| ，此时|PB - PA|值最大，∵A(-2，1) ，N (2，1)，
设直线BM的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y=3x-5，
当x=0，y=-5，
∴P（0，-5）.
故答案为：（0，-5）.
【思路引导】作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，根据三角形三边的关系得出|P'A-P'B|
=|P'N-P'B|＜ |PB﹣PA| ，此时|PB - PA|值最大，然后利用待定系数法求出直线BM的解析式，令x=0，
即可求出P点坐标.
16．（2分）（2021八上·秀洲月考）如图，在平面直角坐标系中，将 沿x轴向右滚动到
的位置，再到 的位置…依次进行下去，若已知点 ，则点 的坐标为
.
【答案】（300，3）
【完整解答】解：∵∠AOB=90°，
点A（3，0），B（0，4），
根据勾股定理，得AB=5，
根据旋转可知：
∴OA+AB+BC=3+5+4=12，
1 1 2所以点B （12，4），A （12，3）；
2 1
继续旋转得，
B （2×12，4），A （24，3）；
4 3
B （3×12，4），A （36，3）
6 5
…
发现规律：
B （25×12，4），A （300，3）.
50 49
所以点A 的坐标为（300，3）.
49
故答案为：（300，3）.
【思路引导】由勾股定理求出AB=5，根据旋转可知OA+AB+BC=3+5+4=12，即得点B （12，4），A
1 1 2 2 1
（12，3）；继续旋转得，B （2×12，4），A （24，3）；B （3×12，4），A （36，3）
4 3 6 5
…发现规律：B （25×12，4），A （300，3）.
50 49
17．（2分）（2021八上·郑州期末）如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，
9），点D和点E分别位于线段AC，AB上，将△ABC沿DE对折，恰好能使点A和点C重合.若x轴上有一点
P，使△AEP为等腰三角形，则点P的坐标为 .
【答案】（8，0）或（-2，0）
【完整解答】解：∵四边形OABC矩形，且点A（3，0），点C（0，9），
∴BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，
∵将△ABC沿DE对折，恰好能使点A与点C重合.
∴AE=CE，
∵CE2=BC2+BE2，
∴CE2=9+（9-CE）2，
∴CE=5，
∴AE=5，∵△AEP为等腰三角形，且∠EAP=90°，
∴AE=AP=5，
∴点P坐标（8，0）或（-2，0）
故答案为：（8，0）或（-2，0）.
【思路引导】由矩形的性质及A、C坐标可得BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，由折叠的性质可得
AE=CE，由勾股定理可得CE2=BC2+BE2，即得CE2=9+（9-CE）2，据此求出CE=AE=5，由于
△AEP为等腰三角形，且∠EAP=90°，可得AE=AP=5，求出PO的长即可求解.
18．（2分）（2020八上·成都期中）把自然数按如图的次序排列在直角坐标系中，每个点坐标就对应着
一个自然数，例如点（0，0）对应的自然数是1，点（1，2）对应的自然数是14，那么点（1，4）对应的
自然数是 ；点（n，n）对应的自然数是 .
【答案】60；4n2﹣2n+1
【完整解答】解：观察图的结构，发现这些数是围成多层正方形，从内到外每条边数依次+2，所有正方形
内自然数个数即（每边自然数个数的平方数）都在第四象限的角平分线上（正方形右下角）． 其规律为
（n，﹣n）表示的数为（2n+1）2，而且每条边上有2n+1个数，点（1，4）在第四层正方形边上，该层每边有2×4+1＝9个数，右下角（4，﹣4）表示的数是81，
所以点（1，4）表示的是第四层从左下角开始顺时针（从81倒数）第21个数，即为81﹣8﹣8﹣5＝60，
点（n，﹣n）在第n层正方形边上，该层每边有2n+1个数，右下角（n，﹣n）表示的数是（2n+1）2，
点（n，n）是正方形右上角的数，是从左下角开始顺时针（从（2n+1）2倒数）第6n个数，即为（2n+1）2
﹣6n＝4n2﹣2n+1．
故答案为60，4n2﹣2n+1．
【思路引导】根据图的结构，奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，即可得到（n，-n）坐标的数，
继而根据图的结构求出（n，n）。
19．（2分）（2020八上·深圳期中）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴
上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
【答案】（ ，3）
【完整解答】如图，过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，∴AB=OA=2，∠BAD=60°，∴AD=1，BD= ，∴OD=OA+AD=3，∴B（3， ），将
△AOB绕点O逆时针旋转90° ，点B的对应点B'，∴B'C=BD= ，OC=AD=3，∴B'坐标为（ ）
【思路引导】过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，根据题意可知B（3， ），进而可知点B的
对应点B'的坐标。
20．（2分）（2018八上·福田期中）如图，过点A（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；点A
1 1 2
与点O关于直线AB 对称；过点A（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；点A 与点O关于直线AB
1 1 2 2 3 2 2对称；过点A（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；…，按此规律作下去，则点B 的坐标为
3 3 n
．
【答案】（2n﹣1，2n）
【完整解答】
∵点A坐标为（1，0），
1
∴OA＝1，
1
过点A作x轴的垂线交直线于点B，可知B点的坐标为（1，2），
1 1 1
∵点A与点O关于直线AB对称，
2 1 1
∴OA＝AA＝1，
1 1 2
∴OA＝1+1＝2，
2
∴点A的坐标为（2，0），B的坐标为（2，4），
2 2
∵点A与点O关于直线AB对称．故点A的坐标为（4，0），B的坐标为（4，8），
3 2 2 3 3
依此类推便可求出点A的坐标为（2n﹣1，0），点B的坐标为（2n﹣1，2n）．
n n
故答案为：（2n﹣1，2n）．
【思路引导】由点A 坐标可得OA＝1，过点A 作x轴的垂线交直线于点B，然后分别求出点A、A、A、
1 1 1 1 1 2 3
B、B、B 的坐标，根据结果可得点A的横坐标是后一个是前一个的2倍，纵坐标是0；B点的横坐标和点A
1 2 3
的横坐标相同，利用点B在y=2x上即可求出点B的坐标.
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·仙桃月考）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0）；点A的坐标
为（5，2）.如果将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B ，求点 的坐标.【答案】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点 作 轴于点D，
∴∠ACB=∠ =90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B ，
∴∠ =90°， ，
∴∠ABC+ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2），
∴OB=1，AC=2，OC=5，
∴BD=AC=2，BC=OC-OB=4，
∴ ，OD=OB+BD=3，
∵点 在第四象限内，
∴点 的坐标为（3，-4）.
【思路引导】过点A作AC⊥x轴于点C，过点A′作A′D⊥x轴于点D，证出Rt△ABC≌Rt△BA′D，得出
BD=AC，A′D=BC，再根据点A、B的坐标得出OB=1，AC=2，OC=5，从而得出OD=3，A′D=4，即可得出点
A′的坐标.
22．（5分）（2021八上·厦门开学考）在平面直角坐标系 中有 四点，其中， .
（Ⅰ）在下图中描出 四点，再连接 ；
（II）直接写出线段 与线段 的位置关系；
（Ⅲ）若 与 轴交于点 与 轴交于点 ，在线段 上是否存在一点 ，
使得三角形 与三角形 的面积相等.若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）先根据点 的坐标描点，再连接 ，如图所示：
（Ⅱ） ，
轴， 轴，，
即线段 与线段 的位置关系是平行；
（III）由题意，画出图形如下：
轴于 轴于 ，
，
，
，
设点 的坐标为 ，则 ，
三角形 的面积为 ，
三角形 的面积为 ，
三角形 与三角形 的面积相等，
，
解得 ，则点 的坐标为 .
【思路引导】( Ⅰ )根据坐标在坐标系中分别找出A、B、C、D四点，并把AB、CD连接起来即可；
( II )根据A、B两点的横坐标不相等，而纵坐标相等，得出AB∥x轴，同理得出 轴， 即可推出
AB∥CD；
( III )先读出M、N的坐标，求出AB和CD的长， 设点 的坐标为 ，然后把△ABP和△CDP
的面积分别用含a的代数式表示，然后根据面积相等，列方程求解，即可解答.
23．（5分）（2021八上·清涧期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分别是
， ， ， ，求四边形 的面积.
【答案】解：过B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵B（-10，8），
∴D（-10，0），
∴OD=10，BD=8，
∵A（0，12），C（-14，0），
∴OC=14，OA=12，
∴CD=4，
∴S =S +S
四边形OABC △BCD 四边形OABD= BD•CD+ (BD+OA)•OD
= ×8×4+ (8+12)×10
=16+100
=116.
【思路引导】过B作BD⊥x轴，垂足为D，根据A,B,C,O四点的坐标求出OC,CD,BD,OD,OA的长，进而根据
S =S +S 可求解.
四边形OABC △BCD 四边形OABD
24．（5分）（2020八上·霍林郭勒月考）如图，在 中， ， ，点
的坐标为 ，点 的坐标为 ，求点 的坐标.
【答案】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，AD=CE，
∵点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，6），
∴OC=2，AD=CE=1-(-2)=3，CD =BE=6，
∴OD=CD+OC=6+2=8，
∴则A点的坐标是（-8，3）．
【思路引导】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三
角形的性质和已知数据即可求出A点的坐标．
25．（12分）（2021八上·开化期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上.
（1）（1分）写出点A，B的坐标：A ，B .
（2）（5分）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△ABC
1 1 1
（3）（5分）求△ABC的面积.
【答案】（1）（-1，1）；（-3，3）
（2）解：如图，（3）解：S =3×5- ×2×2- ×3×3- ×5×1=6.
△ABC
【思路引导】（1）在坐标系中分别读出A、B两点坐标即可；
（2）分别作出A、B、C关于y轴的对称点 A，B 和C ，然后把这三点顺次连接起来即可；
1 1 1
（3）△ABC的面积等于其外接矩形的面积减去其周围三个小直角三角形的面积之和，依此列式计算即可.
26．（13分）（2022八上·青川期末）如图在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为： ，
，（1）（4分）在图中作△ ，使△ 和 关于 轴对称；
（2）（4分）写出点 ， ， 的坐标；
（3）（5分）求 的面积．
【答案】（1）解：如图所示：△ ，即为所求
（2）解：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
（3）解： 的面积为：
【思路引导】（1）根据轴对称的性质分别作出A，B，C关于x轴的对应点A'，B'，C'，然后将这三点顺
次连接起来即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点的坐标即可；
（3）△ABC的面积等于其外接矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，依此列式计算即可.
27．（8分）（2021八上·长沙期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B为y轴正半轴上
的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰 .（1）（1分）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 ；
（2）（3分）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作
等腰 ，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）（4分）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰 .连接CF，交y轴于
点P，求线段BP的长.
【答案】（1）（6，14）
（2）解：过点E作 轴于F，
已知等腰 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，，
， ，
点A的坐标为 ，
∵在等腰 中，
， ，
，
，
，
，
；
（3）解：过点C作 轴G，
由（1）可知： ，
， ，
， ，
在等腰 中， ， ，
， ，
又 ，
，
，
.【完整解答】解：（1）如图1，过点C作 轴于H，
在 中， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
点 ，
故答案为： ；
【思路引导】(1)过点C作 轴于H，根据余角的性质求出∠ABO=∠BCH，利用AAS证明
△ABO≌△BCH，则可求出CH和BH的长，然后求出OH长，则可得到D点坐标；
(2) 过点E作 轴于F， 利用AAS证明△BOD≌△DFE，得出OB=DF和OD=EF，根据等腰直角三角
形的性质求出OA长，则可得出OD=AF=EF，从而求出△AEF是等腰直角三角形，求出∠EAF=∠BAO=45°，即
可得证；(3)过点C作 轴G，由（1）得 ，得出BO=CG，AO=BG，然后利用AAS证明
△CPG≌△FPB，得出GP=PB，根据中点的性质，即可求出BP长.
28．（7分）（2021八上·西安月考）
（1）（3分）（初步探究）
如图1，在四边形ABCD中， ，点E是边BC上一点， ， ，连
接AE、DE。判断 的形状，并说明理由。
（2）（3分）（解决问题）
如图2，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个
等腰直角三角形的三个顶点，且 ， ，要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，
不写作法。
（3）（1分）（拓展应用）
如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，点 ，点C在第一象限内，若 是
等腰直角三角形，则点C的坐标是 .
【答案】（1）解：△AED是等腰直角三角形，
证明：在△ABE和△ECD中，
∵
∴△ABE≌△ECD （SAS）
∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，又∵在Rt△EDC中，∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC=90°.
∴∠AEB+∠DEC=90°.
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°.
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）解：如图，以点C为圆心，DP长为半径作弧与BE交于点E，以点D为圆心CP长为半径作弧与AD交于
点F，连接EF，EP，FP，则△PEF即为所求.
（3）点C坐标为： .
【完整解答】解：（3）①如图，当∠CAB=90°，CA=AB时，过点C作CF⊥AO于点F，过点B作BE⊥AO于
点E，
∵点A（2，0），点B（4，1），
∴BE=1，OA=2，OE=4，
∴AE=2，
∵∠CAB=90°，BE⊥AO，
∴∠CAF+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
又∵AC=AB，∠AFC=∠AEB=90°，∴△ACF≌△BAE（AAS）
∴CF=AE=2，AF=BE=1，
∴OF=OA-AF=1，
∴点C坐标为（1，2）
②如图，当∠ABC=90°，AB=BC时，过点B作BE⊥OA，过点C作CF⊥BE，交EB的延长线于F，
∵∠ABC=90°，BE⊥OA，
∴∠ABE+∠CBF=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
又∵BC=AB，∠AEB=∠CFB=90°
∴△BCF≌△ABE（AAS）
∴BE=CF=1，AE=BF=2，
∴EF=3
∴点C坐标为（3，3）
③如图，当∠ACB=90°，CA=BC时，过点C作CD⊥OA交x轴于点D，过点B作BF⊥CD交CD于点F，
∵∠ACD+∠BCF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCF=∠CAD，
又∵AC=BC，∠CDA=∠CFB，
∴△ACD≌△CBF（AAS）∴CF=AD，BF=CD=DE，
∵AD+DE=AE=2
∴2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1
∴点C坐标
综上所述：点C坐标为：
【思路引导】(1) 利用SAS证明△ABE≌△ECD，得出AE=DE，∠AEB=∠EDC，然后根据余角的性质求出
∠AEB+∠DEC=90° ，即可解答；
(2) 利用(1)的结论构造两个Rt△PDF和Rt△PCE全等即可；
(3) 分三种情况讨论，即当∠CAB=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°，分别作垂线，构造两个直角三角形全
等，得出对应边相等，再利用线段间的和差关系分别求点的坐标，即可解答.
