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专题04 勾股定理中的最值
1．如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈
金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）dm．
A．11 B． C． D．10
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为3dm，
∴AB＝3dm，BC＝BC′＝4dm，
∴AC2＝32+42＝25，
∴AC＝5（dm）．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10（dm）．
故选：D．
2．如图，一个棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的棱长都是1．如果一
只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A，B间的最短路程d的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
则AD＝4，BD＝3，
∴A，B间的最短路程d＝ ＝5，故选：B．
3．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆
柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（ ）
A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm
【解答】解：将圆柱体展开，连接DC，
圆柱体的底面周长为24cm，则DE＝12cm，
根据两点之间线段最短，
CD＝ ＝13（cm）．
而走D﹣B﹣C的距离更短，
∵BD＝5，BC＝ ，
∴BD+BC≈13．
故选：C．
4．如图，桌面上的正方体的棱长为 2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从 A点出发，
到达B点，则它运动的最短路程为（ ）A． B．4 C． D．5
【解答】解：如图，
它运动的最短路程AB＝ ＝ ，
故选：C．
5．如图，有一个正方体盒子，棱长为1cm，一只蚂蚁要从盒底点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，
蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A． cm B．3cm C． cm D．2cm
【解答】解：如图，将正方体展开，
则线段AB即为最短的路线，
∵这个正方体的棱长为1cm，
∴AB＝ ＝ （cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
故选：A．
6．如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最
短路径的长是（ ）
A．（3+2 ）cm B． cm C． cm D． cm
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是 ＝ ；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是 ＝ ；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是 ＝ ；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
故选：C．
7．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm
【解答】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路
径为AB′，如图，
AC＝24，CB′＝7，
在Rt△ACB′，AB′＝ ＝25，
所以它爬行的最短路程为25cm．
故选：D．
8．如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B
处，则这条丝线的最小长度是（ ）
A．170cm B．70cm C．145cm D．130cm
【解答】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，矩形的长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm，
根据勾股定理得：
AB＝ ＝130（cm），
根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为130cm，
故选：D．
9．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝ cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A
点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（ ）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【解答】解：已知如图：
∵圆柱底面直径AB＝ cm、母线BC＝12cm，P为BC的中点，
∴圆柱底面圆的半径是 cm，BP＝6cm，
∴AB＝ ×2× × ＝8cm，
π
在Rt△ABP中，AP＝ ＝ ＝10（cm），
∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm，
故选：B．10．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底面周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一
只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（
）
A．2 cm B．2 cm C．4 cm D．10cm
【解答】解：如图，将杯子侧面展开，则CE＝2cm，CB＝10cm，AB＝ ＝6（cm），
BE＝BC﹣CE＝10﹣2＝8（cm）．
连接AE．
则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离
AE＝ ＝ ＝10（cm），
故选：D．
11．如图所示的正方体中，Q，R，S是棱PB上的点，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬
行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是（ ）
A．P B．Q C．R D．S
【解答】解：如图所示：一只蚂蚁从 A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经过 PB上一点，爬
行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是
R点．
故选：C．
12．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，有一只甲虫从顶点A沿盒的表
面爬到顶点B处，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；
（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；
（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；
∵74＜80＜90，
所以最短路径长为 cm．
故答案为： ．
13．如图，已知圆柱的底面直径BC＝ ，高AB＝3，小虫在圆柱表面爬行，从点C爬到点A，然
后在沿另一面爬回点C，则小虫爬行的最短路程为 6 ．【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在RT△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝3，
所以AC＝3 ，
∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC＝6 ，
故答案为：6 ，
14．如图，长方体中，AB＝6m，BC＝4m，BE＝2m，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点
F，至少需要爬行 6 米．
【解答】解：如图，若从前面再到上面可得：AF＝ ＝6 ，如图，若从前面再到右面可得：AF＝ ＝4 ，
如图，若从左面再到上面可得：AF＝ ＝2 ，
∵6 ＜4 ，
∴蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点F，至少需要爬行6 米，
故答案为：6 ．
15．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知AD＝6米，AB＝5米，该
木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处
需要走的最短路程是 米．
【解答】解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB﹣1+3个正方形的宽，
∴长为5﹣1+3×1＝7米；宽为6米．
于是最短路径为： 米．
故答案为：16．在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线l平行于BC，折叠
三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，
折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的
最大值与最小值之和为 1 4 ﹣ 2 （计算结果不取近似值）．
【解答】解：当点M与A重合时，AT取最大值是6，
当点N与C重合时，由勾股定理得此时AT取最小值为8﹣ ＝8﹣2 ．
所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：6+8﹣2 ＝14﹣2 ．
故答案为：14﹣2 ．
17．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶
上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点
最短路程是 2. 5 米．
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，
解得x＝2.5．18．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不
与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为
．
【解答】解：如图，连接DE，
∵DB′≥DE﹣EB′，DE＝ ＝ ＝ ，EB′＝1，
∴DB′≥ ﹣1，
∴当D，B′，E共线时，DB′的值最小，不妨设此时点B′落在DE上的点B″处，设BF′＝
F′B″＝x，
∵F′D2＝CD2+F′C2＝B″D2+B″F′2，
∴22+（4﹣x）2＝（ ﹣1）2+x2，
解得x＝
故答案为
19．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍 能
放入（填“能”或“不能”）．【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2＝502+402+302＝5000，
702＝4900，
因为4900＜5000，所以能放进去．
故答案是：能．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别
是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点
Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝ ，
∵S△ABC ＝ AB•CM＝ AC•BC，
∴CM＝ ＝ ．
故答案为： ．
21．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为 3cm，高为
4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为 2 cm．
【解答】解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2＝32+42，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，
故答案为：2．
22．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面
爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 1 3 cm．
【解答】解：
∵PA＝2×（4+2）＝12，QA＝5
∴PQ＝13．
故答案为：13．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，已知BD＝1，AD＝CD＝2，BC上方有一动点P，且
点P到A，D两点的距离相等，则△BCP周长的最小值为 +3 ．
【解答】解：∵点P到A，D两点的距离相等，
∴P点在AD的垂线平分线l上，
作B点关于l的对称点B'，连结B'C交l于点P，
∴BP＝B'P，
∴BP+CP＝B'P+CP＝B'C，此时△BCP的周长最小，
∵AD⊥BC，BD＝1，AD＝CD＝2，
∴BB'＝2，BC＝3，
在Rt△BCB'中，B'C＝ ＝ ＝ ，
∴△BCP的周长最小值为 +3，
故答案为： +3．
24．在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平
行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要
走的最短路程是 2. 6 米．【解答】解：如图，将木块展开，得到右图的长方形，
右图长方形的AB相当于是2+0.4+0.4﹣0.4＝2.4，
宽仍然为1米．
于是最短路径为： ＝2.6米．
故答案为：2.6．
25．一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶
的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
【解答】解：如图1所示：
AB＝ ＝20（cm），
如图2所示：
AB＝ ＝4 （cm）．
故蚂蚁爬行的最短路线为A﹣P﹣B（P为CD的中点），
最短路程是20cm．26．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知
AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 + 的最小值．
【解答】解：（1）AC+CE＝ + ；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）如右图所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，
连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数 + 的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝ ＝ ＝13，
即 + 的最小值为13．
故代数式 + 的最小值为13．27．如图，四边形ABCD是正方形（四个角为直角，四条边相等），F为DC的中点，E为BC上
一点，EC＝ BC．
（1）求证：∠EFA＝90°；
（2）若AB＝4，M为AD上一动点，连FM．
①若BM⊥AF于G，求MF的长；
②设AM＝x，直接写出 的最小值为 2 ．
【解答】（1）证明：如图1，
设EC＝a，
在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝AD＝4a，
∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴BE＝BC﹣EC＝3a，
∵F是DC的中点，
∴CF＝DF＝ ＝2a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AE2＝AB2+BE2
＝（4a）2+（3a）2
＝25a2，
同理可得，
EF2＝5a2，
AF2＝20a2，
∴EF2+AF2＝AE2，
∴∠EFA＝90°；
（2）①解：如图2，
∵BM⊥AF，
∴∠AOM＝90°，
∴∠AMO+∠FAD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ABM+∠AMO＝90°，
∴∠FAD＝∠ABM，
∵∠BAD＝∠D＝90°，
AB＝AD，
∴△ABM≌△DAF（ASA），
∴AM＝DF＝2，
∴DM＝2，
∴MF＝ ＝2 ；
②如图3，∵BM＝
＝ ，
MF＝
＝ ，
∴BM+MF＝ ，
延长BA至G，使AG＝AB＝4，连接GF，交AD于M，
∵AD⊥AB，
∴GM＝BM，
∴BM+MF＝GM+MF＝GF，
作FH⊥AB于H，
在矩形AHFD中，
AH＝DF＝2，HF＝AD＝4，
∴HG＝AH+AG＝6，
∴GF＝
＝
＝2 ，
∴ 最小值是2 ，
故答案是2 ．
