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专题03 一元二次方程（重点）
一、单选题
1．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．以x＝ 为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0
4．方程 的根是（ ）
A．-1，3 B．1，-3 C．0，-1，3 D．0，-1，-3
5．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（ ）；
A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法
B．因式分解法、公式法、公式法、配方法
C．配方法、因式分解法、配方法、公式法
D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法
6．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”受广大群众的喜爱，某官方旗舰店首日上架3000个销售，很快就
被消费者一抢而空，为了满足消费者的需求，上架个数逐日增加，到第三天共上架了10920个“冰墩墩”，
设平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．一元二次方程 的两个根为 ，则 的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
18．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是（ ）．
A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数．
9．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正
方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆
盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部
分的面积为（ ）
A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2
10．对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有①②③
二、填空题
11．方程 的解是 ．
12．若关于x的一元二次方程 的二次项系数是 ，则a的值为 ．
13．关于 的一元二次方程 的一个根为零，则 ．
14．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的最大整数值为 ．
15．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，
解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ．
16．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，
2第一轮传染后患流感的人数共有 人．
17．如图是一张菱形纸片， ， ，点 在边 上，且 ，点 在 边上，把
沿直线 对折，点 的对应点为点 ，当点 落在菱形对角线上时，则 ．
18．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这
样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
三、解答题
19．用适当方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
20．阅读材料，并回答问题：
小明在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下：
解： ．
3①
②
③
④
⑤
⑥
问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：_____________；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
21．已知关于 的方程 .
（1）当 为何值时，方程只有一个实数根？
（2）当 为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
22．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)试说明：对于任意实数 ，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于 ，另一根小于 ，求 的取值范围．
23．已知 ， 是方程 的两根，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
424．一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
25．2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若
圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
26．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售 品牌头盔，
此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上
涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该
品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
27．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
① ，
∵ ，
∴ ．
因此，代数式 有最小值﹣2；
② ，
∵ ，
∴ ．
因此，代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式 的最小值为______；
5(2)求代数式 的最大值．
28．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形 空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修
两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地
方种植花草．
(1)如图1，要使种植花草的面积为 ，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示， 均为全等的直角三角
形，其中 ，设 米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都
为2m，且竖向道路出口位于 和 之间，横向弯折道路出口位于 和 之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
29．（1）如图1，四边形ABCD是矩形，以对角线AC为直角边作等腰直角三角形EAC，且 ．
请证明： ；
（2）图2，在矩形ABCD中， ， ，点P是AD上一点，且 ，连接PC，以PC为直
角边作等腰直角三角形EPC， ，设 ， ，请求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接BE，若点P在线段AD上运动，在点P的运动过程中，当 是等腰三角
形时，求AP的长．
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