文档内容
2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 01 勾股定理的应用
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2分）（2021八上·嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三
角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；
再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边
为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝
繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）A．1 B．2020 C．2021 D．2022
3．（2分）（2021八上·巴中期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有
一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音
“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
4．（2分）（2021八上·禅城期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，
它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（
）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
5．（2分）（2021八上·南阳月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，
乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距
（ ）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
6．（2分）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为
49，小正方形面积为4，若用 、 表示直角三角形的两直角边 ，下列四个说法：①
，② ，③ ，④ ．其中说法正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
7．（2分）（2020八上·龙岗月考）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就
有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关
系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ， ， .点D，E，
F，G，H，I都在矩形 的边上，则矩形 的面积为（ ）．
A．288 B．400 C．432 D．440
8．（2分）（2017八上·郑州期中）如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知
大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：
①x2+y2=49；②x−y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
9．（2分）一位无线电爱好者把天线杆设在接收效果最佳的矩形屋顶之上．然后，他从杆顶到屋顶四角之
间安装固定用的支撑线．有两根相对的支撑线分别长7米和4米，另一根长1米，则最后一根的长度应为
（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
10．（2分）（2021八上·寿阳期中）如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到
离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河
水的深度为（ ）
A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m
评卷人 得 分
二．填空题（共10小题，满分22分）
11．（2分）（2021八上·南海期末）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前
推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索
AD的长是 m．
12．（4分）（2021八上·房山期末）如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意
识仍显淡薄，应提醒注意．下图是房山某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角 （），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC” ．已知 米， 米，他
们踩坏了 米的草坪，只为少走 米的路．
13．（2分）（2021八上·宽城期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一
丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其
大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺
（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深
度是多少？则水深DE为 尺．
14．（2分）（2021八上·诸暨月考）如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在
△ABC外作三个正方形，S，S，S分别表示这三个正方形的面积，若S＝81，S＝225，则BC＝
1 2 3 1 2
．
15．（2分）（2021八上·灌云期中）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，
若测得 ， ，则M，C两点间的距离为 km.16．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷
径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
17．（2分）（2021八上·揭阳月考）动手操作：在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10．如图所示，折
叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移
动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ．
18．（2分）（2021八上·揭阳月考）如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若
， ，则 ．
19．（2分）（2020八上·金山期末）已知，如图，在 中，
是 上的中线，如果将 沿 翻折后，点B的对应
点 ，那么 的长为 ．20．（2分）（2020八上·温州期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等
的直角三角形围成．若较短的直角边BC=2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到
图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共9题，满分58分）
21．（5分）（2021八上·南京期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛.如图，某款滑撑杆由滑道 ，撑杆
、 组成，滑道 固定在窗台上.悬窗关闭或打开过程中，撑杆 、 的长度始终
保持不变.当悬窗关闭时，如图①，此时点A与点O重合，撑杆 、 恰与滑道 完全重合；
当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆 与撑杆 恰成直角，即 ，测量得
，撑杆 ，求滑道 的长度.
22．（5分）（2021八上·南山期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出
水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦
苇长为多少？
23．（5分）（2021八上·浦东期末）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章
产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八
尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱 ，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8
尺，求：绳索AC的长度．
24．（5分）（2021八上·佛山月考）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂
到地面B处后还多2米 当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为
6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．25．（5分）（2021八上·河源月考）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端A系有一根升旗用的绳子，绳
子垂直到地面时还剩1米长在地面（如图①），小芳为了测量旗杆AB的高度，将绳子拉直，使绳子的另一
端C刚好着地（如图②）．量得BC＝5米，求旗杆AB的高度．
26．（5分）（2020八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方
法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是多少平方厘米？27．（9分）（2021八上·朝阳期末）（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四
个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为 、
，斜边长为 ．图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，即
，所以 ．
（1）（4分）（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直
角三角形拼成一个直角梯形 ，其中 ， ，根据拼图证明勾股定理．
（2）（5分）（定理应用）在 中， ， 、 、 所对的边长分别为 、 、
．求证： ．28．（10分）（2021八上·吉安期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 ，
，连接AC、EC．已知 ， ， ，设 ．
（1）（3分）用含x的代数式表示 的长．
（2）（3分）请问点C满足什么条件时， 的值最小，并求出此时 的最小值．
（3）（4分）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式 的最小值．
29．（9分）如图勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）（5分）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定
理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）（2分）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的
关系是 ．
（3）（2分）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，
则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为 ．
