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专题 01 勾股定理的基本应用
题型一 求线段长
1．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2
【解答】解：∵BC＝ ＝5，
∵S△ABC ＝4×4﹣ ×1×1﹣ ×3×4﹣ ×3×4＝ ，
∴△ABC中BC边上的高＝ ＝ ，
故选：B．
2．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为 49，小
正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x
﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：由题意 ，
①﹣②得2xy＝45 ③，
∴2xy+4＝49，
①+③得x2+2xy+y2＝94，
∴（x+y）2＝94，
∴①②③正确，④错误．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，则DE的长 2
．
【解答】解：设BD＝x，则AD＝5﹣x，
在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2，
∴AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即62﹣（5﹣x）2＝42﹣x2，
解得，x＝ ，
则BD＝ ，
∴DE＝BE﹣BD＝2，
贵答案为：2．4．直角三角形两直角边的和为17，斜边长为13，则这个直角三角形的面积为 3 0 ，斜边上的高为
．
【解答】解：设两直角边为a、b（a＞b），
由题意知a+b＝17①，
∵斜边长为13，
∴a2+b2＝132②，
联立①、②解得：a＝12、b＝5，
所以这个直角三角形的面积为S＝ ab＝30．
斜边上的高为： ．
故答案为：30、 ．
5．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（
）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：
S△ABC ＝ ×BC×AE＝ ×BD×AC，
∵AE＝4，AC＝ ＝5，BC＝4
即 ×4×4＝ ×5×BD，
解得：BD＝ ．
故选：C．6．如图，在△ABC中，BC＝2 ，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB
的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：过B作BE⊥AC于E，
∵AB＝BD，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE，
∵D是AC的三等分点（AD＞CD），
∴AE＝DE＝DC，
在Rt△BEC中，BC＝2 ，∠C＝45°，
∴∠EBC＝∠C＝45°，
∴BE＝CE，
由勾股定理得：2BE2＝DC2＝（2 ）2＝8，解得：BE＝EC＝2，
∴AE＝1，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ ，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边上的高CD的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．10
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则由勾股定理得到：AB＝ ＝
＝10．
∵S△ABC ＝ AB•CD＝ AC•BC，
∴CD＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
8．在△ABC中，AB＝25，AC＝26，BC边上的高AD＝24，则△ABC的周长为 6 8 或 5 4 ．
【解答】解：①如果角B是锐角，此时高AD在三角形的内部，
在Rt△ABD中，BD＝ ，在Rt△ACD中，CD＝ ，
∴BC＝7+10＝17，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝68；
②如果角B是钝角，在Rt△ABD中，BD＝ ，在Rt△ACD中，CD＝ ，
∴BC＝10﹣7＝3，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝54；
综上可得△ABC的周长为68或54．
故答案为：68或54．
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2 ，AC＝ ，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线
段AD的长为 或 ．
【解答】解：当点D在BC的下方，如图，
过D 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
则四边形AEDF是矩形，
∴∠EDF＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF，
∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝DC，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，BE＝CF，
∴∠DAE＝∠DAF＝45°，
∴AE＝AF，
∴2 ﹣BE＝ +BE，
∴BE＝ ，
∴AE＝ ，∴AD＝ AE＝ ，
当点D在BC的上方，如图，
作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
则四边形AEDF是矩形，
∴∠EDF＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF，
∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝DC，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，BE＝CF，
∴∠DAE＝∠DAF＝45°，
∴AE＝AF，
∴2 ﹣BE＝BE﹣ ，
∴BE＝ ，
∴AE＝ ，
∴AD＝ AE＝ ，
故答案为： 或 ．
10．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长．（2）求AB的长．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，∵BC＝15，DB＝9，
∴CD＝ ＝ ＝12；
（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，
∴AD＝ ＝ ＝16，
则AB＝AD+DB＝16+9＝25．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC．
（1）当AD＝7，CD＝5时，求BC的长；
（2）当AD＝ ，BC＝ 时，求BD的长．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，AD＝7，CD＝5，
∴AC＝ ＝2 ，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝ ×2 ＝2 ；
（2）延长DC，过点B作BE⊥DC于点E，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝ ，
∴AC＝2，
∵∠ACD＝90°，AD＝ ，AC＝2，
∴DC＝ ＝3，
∵AC⊥DC，BE⊥DC，
∴AC∥BE，
∴∠ACB＝∠CBE＝45°，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴BE＝EC＝ × ＝1，
则DE＝3+1＝4，BE＝1，
故DB＝ ．
12．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等
腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．
（1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，△ABD的周长为 3 2 m ；
（2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，△ABD的周长为 （ 20+ 4 ） m ；
（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AD＝10m，AC⊥BD，AC＝8m，
∴DC＝ ＝6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6＝32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图2，当BA＝BD＝10m时，
则DC＝BD﹣BC＝10﹣6＝4（m），
故AD＝ ＝4 （m），
则△ABD的周长为：AD+AB+BD＝10+4 +10＝（20+4 ）m；
故答案为：（20+4 ）m；
（3）如图3，∵DA＝DB，
∴设DC＝xm，则AD＝（6+x）m，
∴DC2+AC2＝AD2，
即x2+82＝（6+x）2，
解得；x＝ ，
∵AC＝8m，BC＝6m，
∴AB＝10m，
故△ABD的周长为：AD+BD+AB＝2（ +6）+10＝ （m）．题型二 求面积
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S ，S ，S ，
1 2 3
且S ＝4，S ＝16，则S ＝（ ）
1 3 2
A．20 B．12 C．2 D．2
【解答】解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12，
则S ＝AC2＝12，
2
故选：B．
14．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中
图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）
A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【解答】解：标记如下：∵S正方形PQMN ＝S正方形ABCD ﹣4S
Rt△ABN
，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4×
＝a2﹣2ab+b2．
故选：C．
15．在直线l上依次摆放着五个正方形（如图所示）．已知斜放置的两个正方形的面积分别是 2、3，正放
置的三个正方形的面积依次是S 、S 、S ，则S +2S +S ＝ 5 ．
1 2 3 1 2 3
【解答】解：如图，∵都是正方形，
∴∠CAE＝90°，AC＝AE，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠ACB＝∠DAE，
在△ABC和△EDA中， ，
∴△ABC≌△EDA（AAS），
∴AB＝DE，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC2+AB2＝AC2，
所以，BC2+DE2＝AC2，
∵S ＝BC2，S ＝DE2，AC2＝2，
1 2
∴S +S ＝2，
1 2
同理可得，S +S ＝3，
2 3
∴S +2S +S ＝2+3＝5．
1 2 3
故答案为：5．16．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高
等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则
△ACH的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴ AC2+ BC2＝ AB2，
∵△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的
高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，
∴△ACH的面积是10﹣8＝2．
故选：A．
17．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
【解答】解：根据勾股定理得出：AB＝ ，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 8cm，
则图中所有正方形的面积的和是（ ）
A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2
【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，
正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，
又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2），
则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）．
故选：D．
19．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，
以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，
再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64ccm2
【解答】解：第一个正方形的面积是S；
第二个正方形的面积是 ；
第三个正方形的面积是 ；
…
第n个正方形的面积是 ，
∵正方形⑤的面积是2，
∴正方形①的面积32．
故选：C．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝4，DA＝2 ，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的
面积是（ ）
A．4 B．1+2 C．2+4 D．1+
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝8，
又∵DC＝4，AD＝2 ，
∴DC2＝16，AD2＝24，
在三角形ACD中有：DC2+AC2＝16+8＝24＝AD2，
∴三角形ACD是直角三角形，∠DCA＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝三角形DCA的面积+三角形ABC的面积＝ DC×AC+ AB×BC＝ ×4×2 +
×2×2＝4 +2，
故选：C．
21．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．13cm2 B．26cm2 C．48cm2 D．52cm2
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2＝144，
∴（a+b）2﹣2ab＝144，
∴196﹣2ab＝144，
∴ab＝26，
∴S△ABC ＝ ab＝13cm2．
故选：A．
22．规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题. ； （S 是
1△OA A 的面积）；
1 2
； （S 是△OA A 的面积）；
2 2 3
； （S 是△OA A 的面积）；
3 3 4
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式S ＝ ；
n
（2）推算出OA ＝ ；
10
（3）求出 的值．
【解答】解：（1）结合已知数据，可得：S ＝ ；
n
故答案为： ；
（2）∵ ；
；
；
……
∴OA 2＝ ＝10；
10
∴OA ＝ ．
10
故答案为： ．（3）
＝ + + +
＝ + + +
＝2×（ ﹣ + ﹣ + ﹣ ）
＝2×
＝2 ﹣2．
题型三 利用勾股定理证明平方关系
23．已知长方形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2﹣PB2＝
AB2，PD2﹣PC2＝DC2，而AB＝CD，则，请你探究：当点P分别运动到图②、图③中的位置时，又有
怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．
答：对图②的探究结论为 PA 2 + PC 2 ＝ PB 2 + PD 2 ．对图③的探究结论为 PA 2 + PC 2 ＝ PB 2 + PD 2 ．
证明：如图②：
【解答】解：图②，过点P作EF∥AB，作MN∥BC，
则四边形AMPE，四边形BFPM，四边形FCNP，四边形NDEP都是矩形，根据勾股定理得，PA2＝AE2+PE2，
PB2＝BF2+PF2，
PC2＝FC2+PF2，
PD2＝DE2+PE2，
∵AE＝BF，DE＝FC，
∴（AE2+PE2）+（FC2+PF2）＝（BF2+PF2）+（DE2+PE2），
即PA2+PC2＝PB2+PD2；
图③，过点P作PF∥AB交AD于点E，则四边形ABEF，四边形FCDE都是矩形，
根据勾股定理得，PA2＝AE2+PE2，PB2＝BF2+PF2，PC2＝FC2+PF2，PD2＝DE2+PE2，
∵AE＝BF，DE＝FC，
∴（AE2+PE2）+（FC2+PF2）＝（BF2+PF2）+（DE2+PE2），
即PA2+PC2＝PB2+PD2．
故答案为：PA2+PC2＝PB2+PD2，PA2+PC2＝PB2+PD2．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：AB2﹣AP2＝PB•PC．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F．
P在BF上，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2；
在Rt△APF中，AF2＝AP2﹣FP2；
则AB2﹣BF2＝AP2﹣FP2；
即AB2﹣AP2＝BF2﹣FP2＝（BF+FP）（BF﹣FP）；
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC；
∴BF+FP＝CF+FP＝PC，BF﹣FP＝BP；
∴AB2﹣AP2＝BP•PC．
P在CF上，同理可得AB2﹣AP2＝PB•PC．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点，连接AP．
（1）若P为BC上的中点，求证：AB2﹣AP2＝PB•PC；
（2）若P为线段BC上的任意一点，猜想AB、AP、PB、PC之间的数量关系，说明理由；
（3）若P为BC延长线上的任意一点，试说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，P为BC上的中点，
∴AP⊥AB，PB＝PC，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得：
AB2﹣AP2＝BP2＝PB•PC；
（2）解；若P为线段BC上的任意一点，AB、AP、PB、PC之间的数量关系为AB2﹣AP2＝PB•PC，理
由如下：
①过A作AF⊥BC于F，如图1所示：
P在BF上时，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2，
在Rt△APF中，AF2＝AP2﹣FP2，
则AB2﹣BF2＝AP2﹣FP2，
∴AB2﹣AP2＝BF2﹣FP2＝（BF+FP）（BF﹣FP），
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC，
∴BF+FP＝CF+FP＝PC，BF﹣FP＝BP，∴AB2﹣AP2＝BP•PC；
②P在CF上时，同理可得AB2﹣AP2＝PB•PC；
综上所述，若P为线段BC上的任意一点，AB、AP、PB、PC之间的数量关系为AB2﹣AP2＝PB•PC；
（3）解：过A作AF⊥BC于F，如图2所示：
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2＝AB2﹣BF2，
在Rt△APF中，由勾股定理得：AF2＝AP2﹣FP2，
则AB2﹣BF2＝AP2﹣FP2，
