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专题01 勾股定理的证明
1．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为
a，b，c的正方形，把它们按下图所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明
勾股定理：a2＋b2＝c2
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据不同图形拼成的两个正方形面积相等即可证明
【详解】
证明：①左图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了四个直角边为a，b，斜边为c
的全等的直角三角形和一个边长为c的小正方形，
；
②右图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了边长为a的一个正方形，边长为b的
一个正方形，还有四个直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形，
；
综上所述： ，即 ．
【点睛】
本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组
合图形．
2．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，
也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形
ABCD）【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，根据S ADCB＝S ACD+S ABC＝
四边形
S ADB+S DCB即可求解． △ △
【△解答】 △
证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S ADCB＝S ACD+S ABC＝ b2+ ab．
四边形
△ △
又∵S ADCB＝S ADB+S DCB＝ c2+ a（b﹣a）
四边形
△ △
∴ b2+ ab＝ c2+ a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2．
【点睛】
本题考查了等面积法证明勾股定理．解题得关键在于利用等面积法进行证明．
3．如图，四边形ACFD是一个边长为b的正方形，延长FC到B，使BC＝a，连接AB，使AB＝
C；E是边DF上的点且DE＝a．
（1）判断 ABE的形状，并证明你的结论；
（2）用含△b的式子表示四边形ABFE的面积；
（3）求证：a2+b2＝c2．【答案】(1) ABE是等腰直角三角形，证明见解析；（2）b2；（3）证明见解析．
【解析】 △
【分析】
（1）由题意可以得到△ADE≌△ACB，从而得到△ABE是等腰直角三角形；
（2）由（1）可得四边形ABFE的面积=正方形ACFD的面积=b2；
（3）由（2）可得正方形ACFD的面积= ABE的面积+ BEF的面积，把a、b、c代入上式即可整
理得a2+b2＝c2． △ △
【详解】
解：(1) ABE是等腰直角三角形，
理由如下△：
∵四边形ACFD是正方形，
∴AC=AD，∠D=∠DAC=∠ACB=90°，
∵CB=a=DE，
∴△ADE≌△ACB，
∴AB=AE，∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形．
(2)∵△ADE≌△ACB，
∴四边形ABFE的面积=正方形ACFD的面积=b2．
(3)证明：∵四边形ABFE的面积= ABE的面积+ BEF的面积，
∴正方形ACFD的面积= ABE的面△积+ BEF的面△积，
△ △
∴ ，
∴ ，
∴a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角
形的判定方法、三角形与四边形面积的灵活计算是解题关键 ．
4．如图，小明用6个图1中的矩形组成图2，其中四边形 ， ， 都是正方形，
证明： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据 ，列式计算即可求解．
【详解】
证明：由图得： ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，得到 是解题的关键．
5．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现
了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”． 中，
，若 ， ，请你利用这个图形说明 ；【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四个直角
三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
【详解】
解：∵大正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，小正方形面积为 ，
∴ ，
即 ．
【点睛】
本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系．
7．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的
重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学
好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定
理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．
求证：AB2＝BE2+AE2．【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接AC，根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．
【详解】
解：连接AC，
∵△ABE≌△BCD，
∴AB=BC，AE=BD，BE=CD，∠BAE=∠CBD，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ABC=90°，
∴S ABCD= ，
四边形
又∵S ABCD= ，
四边形
，
∴AB2=AE2+BD•BE-BE•DE，
∴AB2=AE2+（BD-DE）•BE，即AB2=BE2+AE2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
8．【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中
一种方法的示意图及部分辅助线．
在 中， ，四边形 、 和 分别是以 的三边为一边的正
方形．延长 和 ，交于点 ，连接 并延长交 于点 ，交 于点 ，延长 交 于
点 ．
(1)证明： ；
(2)证明：正方形 的面积等于四边形 的面积；
(3)请利用（2）中的结论证明勾股定理．
(4)【迁移拓展】
如图2，四边形 和 分别是以 的两边为一边的平行四边形，探索在 下方是否
存在平行四边形 ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 、 的面积之和．
若存在，作出满足条件的平行四边形 （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)存在，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质和SAS证明△ACB≌△HCG，可得结论；
（2）证明S CHG＝S CHL，所以S AMI＝S CHL，由此可得结论；
△ △ △ △
（3）证明正方形ACHI的面积+正方形BFGC的面积＝▱ADJK的面积+ KJEB的面积＝正方形
ADEB，可得结论； ▱（4）如图2，延长IH和FG交于点L，连接LC，以A为圆心CL为半径画弧交IH于一点，过这一
点和A作直线，以A为圆心，AI为半径作弧交这直线于D，分别以A，B为圆心，以AB，AI为半
径画弧交于E，连接AD，DE，BE，则四边形ADEB即为所求．
(1)
证明：如图1，连接HG，
∵四边形ACHI，ABED和BCGF是正方形，
∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∴∠GCH＝∠ACB，
∴△ACB≌△HCG（SAS），
∴GH＝AB＝AD，
∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°，
∴四边形CGLH是矩形，
∴CL＝GH，
∴AD＝LC；
(2)
证明：∵∠CAI＝∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝∠MAI，
∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°，
∴△ABC≌△AMI（ASA），
由（1）知：△ACB≌△HCG，∴△AMI≌△HGC，
∵四边形CGLH是矩形，
∴S CHG＝S CHL，
△ △
∴S AMI＝S CHL，
△ △
∴正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
(3)
证明：由正方形 可得 ，
又 ，所以四边形 是平行四边形，
由（2）知，四边形 是平行四边形，
由（1）知， ，
所以 ，
延长 交 于 ，
同理有 ，
所以 ．
所以 ．
(4)
解：如图为所求作的平行四边形 ．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的证明等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判
定与性质，根据图形面积的关系证出勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
9．阅读理解下列材料，并解决相应的问题．
材料一：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
如图1，四边形ABCD中，若 ，则 ．
材料二：人教版教材八年级下册介绍了几种利用全等直角三角形通过拼图证明勾股定理的方法．
这些方法的共同特点：利用两种不同的方法计算同一个拼图的面积，然后建立等量关系，化简即
可证明勾股定理．
小文发现：把两块全等的直角三角板ACB和直角三角板DEF摆成图2的形状，点C与点F重合，
并且点C，E，B在同一条直线上，连接DA，DB．利用这种摆放方式，也能证明勾股定理．
问题：
如图2，已知 ，
AB，CD交于点O．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质得到∠CAB=∠DCE，利用等角的余角相等得到结论（2）根据四边形的对角线垂直得到四边形的面积，再利用 得到四边形
的面积，即可得到结论．
(1)
证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠CAB=∠DCE，
∵∠DCE+∠ACO=90°，
∴∠CAB+∠ACO=90°，
∴∠AOC=90°，即AB⊥CD；
(2)
∵四边形ACBD中，若AB⊥CD，
∴ ．
∵
=
=
= ，
∴ ，即 ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质，应用题意的结论进行推论论证，正确理解题意并应用是解题的关
键．
10．数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，
俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦
图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图
1），彰显了这一中国古代的重大成就．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：
“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分
别为 和 ，且 ；最长的那条边叫做斜边，边长为 ）围成一个边长为 的大正方形（如图
3），中间空的部分是一个边长为 的小正方形．
(1)验证过程：大正方形的面积可以表示为 ，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表
示为 ，∴ ．
化简等号右边的式子可得∴ _______．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过
程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．
【答案】(1)a2+b2；
(2)见解析
【解析】
【分析】（1）化简等号右边的式子，即可得出答案；
（2）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a+b的正方形的面积建立方程，
即可得出结论．
(1)
解：（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S=c2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的
和表示为S=4× ab+（b-a）2，
∴c2=4× ab+（b-a）2．
化简等号右边的式子可得c2=a2+b2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
故答案为：a2+b2；
(2)
如图4，
∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，
大的正方形的面积又可以表示为c2+4× ab，
∴c2+2ab=a2+b2+2ab，
∴a2+b2=c2．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．
11．阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算
经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边
长为c）．(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若 ， ，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，
，求该风车状图案的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)52；
(4)24．
【解析】
【分析】
（1）运用等面积法 计算即可；
（2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法 化简计算即可；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用 计算面积即可；
（4）将风车周长表示出来 ，其中a=OC=3，得到b、c的等量关系，再结合
勾股定理求解出b，最后计算面积即可．
(1)
证明：由图可知，每个直角三角形的面积为 ，
空白小正方形的面积为 ，
整个围成的大正方形的面积为 ，
∵ ，即 ，
故 ；
(2)
如下图所示，连接大正方形一条对角线DE可知 ，
其中， ， ， ，
代入可得， ，
即 ；
(3)
由图2可知， ，
∵ ， ，
∴ ，
则 =100，
∴ ，
故空白部分的面积为52；
(4)
由题意可知，风车的周长为 ，
其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b，
且 ，即 ，将c=9-b代入得，
，解得b=4，
则 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
12．勾股定理在全世界有超过400种证法，下面介绍欧几里得的证法：（不得直接运用勾股定理
结论进行证明）
在 中， 分别以 ， ， 为边向 外侧做正方形，求正方形，分
别得到正方形 ，正方形 ，正方形 ．
(1)如图1，连接 ， ，试证明线段 和线段 的数量关系．
(2)如图2，过点C作直线 交正方形 中 边于点H， 边于点I，求证：
．
(3)设 ， ， ，运用此图合勾股定理的学习经验证明结论： ．（不得
直接运用勾股定理结论证明）
【答案】(1)EB＝CF，证明见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BE，CF，再证明 即可；
（2）首先得出， ， ，再根据 可得结论；
（3）根据第第二问结论，可得出 ， 即可证明．
(1)
解：如图，连接BE，CF∵ACDE，BCJK为正方形
∴AC＝AE，AB＝AF，
∠EAC＝90°，∠BAF＝90°
∴
∴EB＝CF．
(2)
证明：过B作BR 于点R，
．
．
∵BR＝AC
∴ ＝ （同底等高三角形面积是长方形的一半）
．
．∵AH＝SC
∴
又∵
∴
∴ ．
(3)
证明：如图，
已知
同理可证
∴ ．
即
又∵ ， ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的验证，理解题意根据图形，找出等量关系是解题的关键．
13．（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数
学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根
据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作
FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．
若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
【答案】（1） ，见解析；（2）EF为 或
【解析】
【分析】
（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积和证明；
（2）分a＞b和a＜b两种情况求解．
【详解】
解：（1） （直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），
证明如下：
∵如图①，∵ ABE≌ BCF≌ CDG≌ DAH，
∴AB=BC=CD△=DA=c，△ △ △
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BAE+∠HAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
同理可证，四边形EFGH是正方形，且边长为（b﹣a），∵
∴ ，
∴
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
分两种情况：
①a＞b时，
∴a+b＝12，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，
∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5，
∴
解得：a= ，
∴EF= ；
②a＜b时，同①得： ，
解得：a= ，∴EF= ；
综上所述，EF为 或 ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明和应用，熟练掌握面积法证明勾股定理，并灵活运用是解题的关键．
14．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，
我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、
方法和思想探究以下问题．
【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关
系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家
达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如
图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边
为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是：__________．迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 ， ， ，
的边长分别是 ， ， ， ，则正方形 的面积是________．
【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之
间满足的等量关系是________．
迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，分别以三边为直径作
半圆．若 ， ，则图中阴影部分的面积等于________．
【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去
本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱
上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部
尺处时绳索用尽．问绳索长多少？【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S+S=S；迁移应用：47；【探究三】S+S=S；迁
1 2 3 1 2 3
移应用：30；【探究四】绳索长为 尺．
【解析】
【分析】
【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S+S=S；
1 2 3
迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为
正方形E的面积；
【探究三】利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S、S、S 的大小；
1 2 3
迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解；
【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】
解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+2 ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2 ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，
即a2+b2=c2；
【探究二】S+S=S．
1 2 3
证明如下：
∵S=c2，S=a2，S=b2，
3 1 2
∴S+S=a2+b2=c2=S；
1 2 3
故答案为：S+S=S；
1 2 3
迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知
SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案为：47；
【探究三】S+S=S．
1 2 3
证明如下：
∵S= πc2，S= πa2，S= πb2，
3 1 2
∴S+S= πa2+ πb2= πc2=S；
1 2 3
故答案为：S+S=S；
1 2 3
迁移应用：
阴影部分面积和=S+S+ ab-S= ab，
1 2 3
∵a=5，c=13，
∴ 12，
∴阴影部分面积和= ×5×12=30，
故答案为：30；
【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得：
x2-（x-3）2=82，
解得：x= ，
答：绳索长为 尺．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的
面积是解题的关键．
